Digital Corpus for Graeco-Arabic Studies

Aristotle: Analytica Priora (Prior Analytics)

〈الفرق بين البرهان بالخلف والبرهان المستقيم〉

والفرق بين البرهان المستقيم والذى بالخلف أن الذى بالخلف يضع ما نريد إبطاله، إذ يسوق إلى كذب مقر به؛ وأما المستقيم فإنه يبتدى من مقدمات مقر بها صدقاً. وكلا البرهانين من مقدمات مقر بها، إلا أن المستقيم يكون من المقدمات التى عنها القياس؛ وأما الذى بالخلف فإحدى مقدمتيه من مقدمات القياس المسقيم، والأخرى نقيضة النتيجة. وفى المستقيم ليس يجب ضرورةً أن تكون النتيجة معروفةً قبل كون القياس. وأما الذى بالخلف فإنه يجب لا محالة أن تعرف هى ليوضع نقيضها، ولا فرق فى ذلك بين أن تكون النتيجة موجبة أو سالبة. وكل الذى يتبين باستقامة القياس فقد يبين بالخلف؛ وكل الذى يتبين بالخلف، فقد يبين باستقامة وبحدود واحدة.

وإذا كان القياس الذى بالخلف فى الشكل الأول، فإن القياس المستقيم يكون فى الشكل الثانى والثالث: أما السالب منها ففى الشكل الثانى، وأما الموجب ففى الثالث. فإذا كان القياس الذى بالخلف فى الشكل الثانى، يكون قياسه المستقيم بالشكل الأول فى كل المسائل. فإذا كان القياس الذى بالخلف فى الشكل الثالث، فإن قياسه المستقيم يكون فى الشكل الأول والثانى: أما الموجبات ففى الأول، وأما السالبات ففى الثانى.

وبيان ذلك أن نبين فى الشكل الأول بالخلف أن ا ليست موجودة فى شىء من ٮ، أو ليست موجودة فى كل ٮ، فوضعنا أن ا فى بعض ٮ، فعلى هذه الجهة يعرض المحال فى الشكل الأول. وقياس ذلك المستقيم فى الشكل الثانى، وهو أن توجد حـ موجودة فى كل ا وغير موجودة فى شىء من ٮ؛ فإذن هو بين أن ا غير موجودة فى شىء من ٮ. وكذلك يعرض إن تبين فى الشكل الأول بالخلف أن ا غير موجودة فى كل ٮ بوضعنا أنها موجودة فى كل ٮ. وقياس ذلك المستقيم يكون فى الشكل الثانى، وهو أن تؤخذ حـ موجودة فى كل ا وغير موجودة فى كل ٮ. وكذلك يعرض إن أخذت مقدمة حـ سالبة. وأيضا ليكن منتجاً فى الشكل الأول بالخلف أن ا موجودة فى بعض ٮ بوضعنا أن ا غير موجودة فى شىء من ٮ. فعلى هذه الجهة يعرض المحال فى الشكل الأول. وقياس ذلك المستقيم يكون فى الشكل الثالث، وهو أن تؤخذ ٮ موجودة فى كل حـ، وا فى كل حـ أو فى بعضها. فإذن ا موجودة فى بعض ٮ. وكذلك يعرض إن أخذت ٮ أو ا موجودة فى بعض حـ.

وأيضا لنبرهن فى الشكل الثانى بالخلف أن ا موجودة فى كل ٮ بوضعنا أن ا ليست فى كل ٮ. وقياس ذلك المستقيم يكون فى الشكل الأول، وهو أن تؤخذ ا موجودة فى كل حـ، وحـ فى كل ٮ، فإذن ا فى كل ٮ. وكذلك يعرض إن برهن فى الشكل الثانى بالخلف أن ا فى بعض ٮ بوضعنا أن ا ليست فى شىء من ٮ، وقياس ذلك المستقيم يكون فى الأول، وهو أن ا موجودة فى كل حـ، و حـ فى بعض ٮ. فإن كان القياس الذى بالخلف سالبا، فإن الموضوع يكون أن ا موجودة فى بعض ٮ. وقياس ذلك المستقيم يكون فى الشكل الأول، وهو أن ا غير موجودة فى شىء من حـ، وحـ فى كل ٮ. وكذلك يعرض أيضا وإن لم يكن القياس كليا، مثل أن يبرهن 〈أن ا غير موجودة فى〉 بعض ٮ بوضعنا أن ا موجودة فى كل ٮ. وقياس ذلك المستقيم يكون فى الشكل الأول، وهو أن ا غير موجودة فى شىء من حـ، و حـ فى بعض ٮ. وأيضا ليتبين بالخلف فى الشكل الثالث أن ا موجودة فى كل ٮ بوضعنا أن ا ليست فى كل ٮ، فعلى هذه الجهة يعرض المحال. وقياس ذلك المستقيم يكون فى الشكل الأول، وهو أن ا موجودة فى كل حـ، و حـ فى كل ٮ.

وكذلك يعرض وإن كان البرهان على بعض الموضوع بوضعنا أن ا غير موجودة فى شىء من ٮ. وقياس ذلك المستقيم يكون فى الشكل الأول، وهو أن ا موجودة فى كل حـ، وحـ فى بعض ٮ. فإن كان القياس الذى بالخلف سالبا، فإن الموضوع يكون أن ا موجودة فى بعض ٮ. وقياس ذلك المستقيم يكون فى الشكل الثانى، وهو أن تؤخذ حـ غير موجودة فى شىء من ا وموجودة فى كل ٮ.

وكذلك يعرض وإن لم يكن البرهان كليا، فالموضوع هو أن ا موجودة فى كل ٮ، وقياس ذلك المستقيم هو أن حـ غير موجودة فى بعض ٮ — وذلك الشكل الثانى.

فقد تبين أن كل المسائل التى تتبرهن بالبراهين التى بالخلف يمكن أن تبرهن بالمقاييس المستقيمة وبحدود واحدة؛ وأن فى كل الحدود التى مقاييسها مستقيمة يمكن أن يقاس بالخلف إذا وضعت نقيضة النتيجة، لأن المقاييس التى بالخلف الكائنة عن المقاييس المستقيمة، هى هى المقاييس المنعكسة بأعيانها. فإذن المعرفة أيضا بالأشكال التى بها يكون كل واحد من المقاييس هى لنا موجودة. وقد تبين أيضا أن كل مسئلة على كلتا الجهتين تتبرهن بالخلف وبالاستقامة، ولا يمكن أن تفترقا.

Διαφέρει δ᾿ ἡ εἰς τὸ ἀδύνατον ἀπόδειξις τῆς δεικτικῆς τῷ τιθέναι ὃ βούλεται ἀναιρεῖν, ἀπάγουσα εἰς ὁμολογούμενον ψεῦδος· ἡ δὲ δεικτικὴ ἄρχεται ἐξ ὁμολογουμένων θέσεων ἀληθῶν. Λαμβάνουσι μὲν οὖν ἀμφότεραι δύο προτάσεις ὁμολογουμένας· ἀλλ᾿ ἡ μὲν ἐξ ὧν ὁ συλλογισμός, ἡ δὲ μίαν μὲν τούτων, μίαν δὲ τὴν ἀντίφασιν τοῦ συμπεράσματος. Καὶ ἔνθα μὲν οὐκ ἀνάγκη γνώριμον εἶναι τὸ συμπέρασμα, οὐδὲ προϋπολαμβάνειν ὡς ἔστιν ἢ οὔ· ἔνθα δὲ ἀνάγκη ὡς οὐκ ἔστιν. Διαφέρει δ᾿ οὐδὲν φάσιν ἢ ἀπόφασιν εἶναι τὸ συμπέρασμα, ἀλλ᾿ ὁμοίως ἔχει περὶ ἀμφοῖν. Ἅπαν δὲ τὸ δεικτικῶς περαινόμενον καὶ διὰ τοῦ ἀδυνάτου δειχθήσεται, καὶ τὸ διὰ τοῦ ἀδυνάτου δεικτικῶς διὰ τῶν αὐτῶν ὅρων, οὐκ ἐν τοῖς αὐτοῖς δὲ σχήμασιν. Ὅταν μὲν γὰρ ὁ συλλογισμὸς ἐν τῷ πρώτῳ σχήματι γένηται, τὸ ἀληθὲς ἔσται ἐν τῷ μέσῳ ἢ τῷ ἐσχάτῳ, τὸ μὲν στερητικὸν ἐν τῷ μέσῳ, τὸ δὲ κατηγορικὸν ἐν τῷ ἐσχάτῳ. Ὅταν δ᾿ ἐν τῷ μέσῳ ᾖ ὁ συλλογισμός, τὸ ἀληθὲς ἐν τῷ πρώτῳ ἐπὶ πάντων τῶν προβλημάτων. Ὅταν δ᾿ ἐν τῷ ἐσχάτῳ ὁ συλλογισμός, τὸ ἀληθὲς ἐν τῷ πρώτῳ καὶ τῷ μέσῳ, τὰ μὲν καταφατικὰ ἐν τῷ πρώτῳ, τὰ δὲ στερητικὰ ἐν τῷ μέσῳ. Ἔστω γὰρ δεδειγμένον τὸ Α μηδενὶ ἢ μὴ παντὶ τῷ Β διὰ τοῦ πρώτου σχήματος. Οὐκοῦν ἡ μὲν ὑπόθεσις ἦν τινὶ τῷ Β ὑπάρχειν τὸ Α, τὸ δὲ Γ ἐλαμβάνετο τῷ μὲν Α παντὶ ὑπάρχειν, τῷ δὲ Β οὐδενί· οὕτω γὰρ ἐγίνετο ὁ συλλογισμὸς καὶ τὸ ἀδύνατον. Τοῦτο δὲ τὸ μέσον σχῆμα, εἰ τὸ Γ τῷ μὲν Α παντὶ τῷ δὲ Β μηδενὶ ὑπάρχει. Καὶ φανερὸν ἐκ τούτων ὅτι οὐδενὶ τῷ Β ὑπάρχει τὸ Α. Ὁμοίως δὲ καὶ εἰ μὴ παντὶ δέδεικται ὑπάρχον. Ἡ μὲν γὰρ ὑπόθεσίς ἐστι παντὶ ὑπάρχειν, τὸ δὲ Γ ἐλαμβάνετο τῷ μὲν Α παντί, τῷ δὲ Β οὐ παντί. Καὶ εἰ στερητικὸν λαμβάνοιτο τὸ Γ Α, ὡσαύτως· καὶ γὰρ οὕτω γίνεται τὸ μέσον σχῆμα. Πάλιν δεδείχθω τινὶ ὑπάρχον τῷ Β τὸ Α. Ἡ μὲν οὖν ὑπόθεσις μηδενὶ ὑπάρχειν, τὸ δὲ Β ἐλαμβάνετο παντὶ τῷ Γ ὑπάρχειν καὶ τὸ Α ἢ παντὶ ἢ τινὶ τῷ Γ· οὕτω γὰρ ἔσται τὸ ἀδύνατον. Τοῦτο δὲ τὸ ἔσχατον σχῆμα, εἰ τὸ Α καὶ τὸ Β παντὶ τῷ Γ. Καὶ φανερὸν ἐκ τούτων ὅτι ἀνάγκη τὸ Α τινὶ τῷ Β ὑπάρχειν. Ὁμοίως δὲ καὶ εἰ τινὶ τῷ Γ ληφθείη ὑπάρχον τὸ Β ἢ τὸ Α.

Πάλιν ἐν τῷ μέσῳ σχήματι δεδείχθω τὸ Α παντὶ τῷ Β ὑπάρχον. Οὐκοῦν ἡ μὲν ὑπόθεσις ἦν μὴ παντὶ τῷ Β τὸ Α ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Α παντὶ τῷ Γ καὶ τὸ Γ παντὶ τῷ Β· οὕτω γὰρ ἔσται τὸ ἀδύνατον. Τοῦτο δὲ τὸ πρῶτον σχῆμα, τὸ Α παντὶ τῷ Γ καὶ τὸ Γ παντὶ τῷ Β. Ὁμοίως δὲ καὶ εἰ τινὶ δέδεικται ὑπάρχον· ἡ μὲν γὰρ ὑπόθεσις ἦν μηδενὶ τῷ Β τὸ Α ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Α παντὶ τῷ Γ καὶ τὸ Γ τινὶ τῷ Β. Εἰ δὲ στερητικὸς ὁ συλλογισμός, ἡ μὲν ὑπόθεσις τὸ Α τινὶ τῷ Β ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Α μηδενὶ τῷ Γ καὶ τὸ Γ παντὶ τῷ Β, ὥστε γίνεται τὸ πρῶτον σχῆμα. Καὶ εἰ μὴ καθόλου ὁ συλλογισμός, ἀλλὰ τὸ Α τινὶ τῷ Β δέδεικται μὴ ὑπάρχειν, ὡσαύτως. Ὑπόθεσις μὲν γὰρ παντὶ τῷ Β τὸ Α ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Α μηδενὶ τῷ Γ καὶ τὸ Γ τινὶ τῷ Β· οὕτω γὰρ τὸ πρῶτον σχῆμα.

Πάλιν ἐν τῷ τρίτῳ σχήματι δεδείχθω τὸ Α παντὶ τῷ Β ὑπάρχειν. Οὐκοῦν ἡ μὲν ὑπόθεσις ἦν μὴ παντὶ τῷ Β τὸ Α ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Γ παντὶ τῷ Β καὶ τὸ Α παντὶ τῷ Γ· οὕτω γὰρ ἔσται τὸ ἀδύνατον. Τοῦτο δὲ τὸ πρῶτον σχῆμα. Ὡσαύτως δὲ καὶ εἰ ἐπί τινος ἡ ἀπόδειξις· ἡ μὲν γὰρ ὑπόθεσις μηδενὶ τῷ Β τὸ Α ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Γ τινὶ τῷ Β καὶ τὸ Α παντὶ τῷ Γ. Εἰ δὲ στερητικὸς ὁ συλλογισμός, ὑπόθεσις μὲν τὸ Α τινὶ τῷ Β ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Γ τῷ μὲν Α μηδενί, τῷ δὲ Β παντί· τοῦτο δὲ τὸ μέσον σχῆμα. Ὁμοίως δὲ καὶ εἰ μὴ καθόλου ἡ ἀπόδειξις. Ὑπόθεσις μὲν γὰρ ἔσται παντὶ τῷ Β τὸ Α ὑπάρχειν, εἴληπται δὲ τὸ Γ τῷ μὲν Α μηδενί, τῷ δὲ Β τινί· τοῦτο δὲ τὸ μέσον σχῆμα.

Φανερὸν οὖν ὅτι διὰ τῶν αὐτῶν ὅρων καὶ δεικτικῶς ἔστι δεικνύναι τῶν προβλημάτων ἕκαστον καὶ διὰ τοῦ ἀδυνάτου. Ὁμοίως δ᾿ ἔσται καὶ δεικτικῶν ὄντων τῶν συλλογισμῶν εἰς ἀδύνατον ἀπάγειν ἐν τοῖς εἰλημμένοις ὅροις, ὅταν ἡ ἀντικειμένη πρότασις τῷ συμπεράσματι ληφθῇ. Γίνονται γὰρ οἱ αὐτοὶ συλλογισμοὶ τοῖς διὰ τῆς ἀντιστροφῆς, ὥστ᾿ εὐθὺς ἔχομεν καὶ τὰ σχήματα δι᾿ ὧν ἕκαστον ἔσται. Δῆλον οὖν ὅτι πᾶν πρόβλημα δείκνυται κατ᾿ ἀμφοτέρους τοὺς τρόπους, διά τε τοῦ ἀδυνάτου καὶ δεικτικῶς, καὶ οὐκ ἐνδέχεται χωρίζεσθαι τὸν ἕτερον.