Nicomachus of Gerasa: Introductio Arithmeticae (Introduction to Arithmetic)

تقلب الحدود لم توجد على استوا من ناحية الحد الاصغر فانه يتولد عن ذلك نسبة من نسب الامثال والجز وهى الضعف الزايد نصفاً مثل التسعة والستة والاربعة فانه يتولد عنها التسعة والخمسة وعشرون ويتولد عنها الاربعة والعشرة والخمسة وعشرون واما من نسبة المثل والثلث اما متى ابتدى من ناحية الحد الاعظم فانه يتولد عن ذلك من ذوات المثل والاجزا الزايد على المثل ثلثة ارباع واما متى ابتدى من ناحية الحد الاصغر فانه يتولد عن ذلك الضعف الزايد ثلثاً كما يتولد عن الستة عشر والاثنا عشر والتسعة اعداد يو كح مط او اعداد ط كا مط واما من الزايدة ربعاً اذا ابتدى من الحد الاعظم فانه يتولد نوع من الزايدة اجزا وهو الزايد اربعة اخماس واما اذا ابتدى من الحد الاصغر فانه يتولد نوع من ذى الاضعاف الزايد جزاً وهو الضعف الزايد ربعاً كما يتولد عن الخمسة وعشرين 〈وعشرين〉 والستة عشر اعداد كه مه فا ويوجد فى جميع هذه الاعداد التى تزدوج العدد الاخير المربع من الاعداد المتولد عنها على كل واحدة من الجهتين اللتين قدمنا ذكرهما باقياً ابداً على حاله واما الاول فانه يتغير الى الصغر الا ان الحدين اللذين فى الطرفين على كل حال مربعان وايضا فانه يتولد على جهة اخرى من ذوات الاضعاف الزايدة اجزآ عن الزايدة اجزآ ويتولد عن الزايدة اجزا على جهة اخرى الزايدة اجزا كما ان الزايد ثلثين اذا نحن ابتدانا من الحد الاصغر من حدوده... كان ذلك الزايد ثلثة اخماس كما يكون عن التسعة والخمسة عشر والخمسة والعشرين اعداد التسعة والاربعة وعشرين والاربعة وستين واعداد الخمسة وعشرين والاربعين والاربعة وستين ويكون عن الزايد ثلثة ارباع اما اذا ابتدى من الحد الاصغر فالضعف الزايد ثلثة ارباع واما اذا ابتدى من الحد الاعظم فالزايد اربعة اسباع كما يتولد عن الستة عشر والثمانية وعشرين والتسعة واربعين اعداد يو مد قكا واعداد مط عز