Nicomachus of Gerasa: Introductio Arithmeticae (Introduction to Arithmetic)

المساواة عن نسب المساواة اذا حفظت فى ذلك الثلث الوصايا التى قدمنا ذكرها والتى بها يرد ذلك على العكس وذلك ان فى كل واحد من الاعمال التى ذكرنا هناك توسطاً هندسياً يجب فيه الخواص التى وصفنا كلها ويجب مع ذلك ايضا امر رابع وهو ان النسبة تكون واحدة فى الحدود الكبار وفى الحدود الصغار وايضا فانا ان وضعنا هاهنا ايضا السطر المشترك للاعداد المختلفة الطولين والاعداد المربعة وجعلنا ترتيب ما فيه ترتيبا يحيط بجميع ما فى هذين الجنسين على ان نجعل منه واحداً من احدهما وواحداً من الاخر ثم تاملنا كل ثلثة نقط تقع منها وابتدانا من الواحد بعد ان نجعل المقدمة منها موخرة والموخرة مقدمة [كانا] نجد هذه النسب تبتدى من الضعف ثم تاخذ ذاهبة فى جميع نسب ذوات المثل والرابع وما بعد ذلك على هذا المثال وقد ينبغى لنا الان ان نذكر معنى تابعاً لما قلنا مما نحتاج اليه فى بعض المعانى التى ذكرها افلاطون وهو ان المسطحات انما يقول انه يصل فيما بينها حد واحد متوسط فيما بينها حدان متوسطان لها نحن نذهب فى ذلك الى هذا التوسط الهندسى فان هذا النوع من تساوى القياس وذلك انه انما يوجد للعددين المربعين اذا كانا متواليين عدد واحد فقط يوجد فيه | هذا النوع من تساوى القياس الذى هو الهندسى وهو المتقدم فى النسبة بقياسه الى الحد الاصغر والثانى فى النسبة بقياسه الى الحد الاعظم وليس يوجد فيما بين عددين من الاعداد التى وصفنا اكثر من عدد واحد على ما قلنا فيكون بين الحد الاوسط وبين الحدين اللذين فى الطرفين بعدان تكون النسبة فيهما جميعاً نسبة واحدة وايضا فان كل عددين مكعبين متواليين فانه يوجد بينهما حدان متوسطان من الاعداد على سبيل المناسبة الهندسية ولا يوجد بينهما اكثر من ذلك فتكون الابعاد بينهما ثلثة واحد منها فيما بين الحدين الاوسطين واثنان اخران فيما بين هذين الحدين وبين الحدين اللذين فى الطرفين من الجهتين جميعا وعلى هذه الجهة يقال فى المجسمات انها ذوات ثلثة ابعاد وان المسطحات ذوات بعدين مثل