Nicomachus of Gerasa: Introductio Arithmeticae (Introduction to Arithmetic)

المثل والثلث والاتفاق الذى بخمس نسبته نسبة الاثنى عشر الى الثمانية وذلك ان نسبته نسبة المثل والنصف فاما الاتفاق الذى بالكل اذ كان مثل الاتفاقين اللذين ذكرنا مجموعين وان نسبته تكون كنسبة الاثنا عشر الى الستة وذلك انها نسبة الضعف فاما الاتفاق الذى بالكل والخمس معا فان نسبته لما كانت نسبة الثلثة الامثال صارت كنسبة اختلاف ما بين الطرفين الى اختلاف ما بين الحدين الاصغرين واما اتفاق ضعف الذى بالكل فان نسبته كنسبة الحد الاوسط الى اختلاف ما بينه وبين الاصغر فبالواجب اذا سمى هذا التوسط توسطاً تاليفياً

وكما ان 〈فى〉 قسمة القانون من صناعة الموسيقى ايضا تمد وترا واحداً ويوضع انبوب له طول ما ويبقى الطرفان | من كل واحد منهما ثابتين لا يتحركان ويتعين فيتنقل وسط ما بين الطرفين اما فى الانابيب فبالثقب التى فيها واما فى الاوتار فبالحاملة التى تكون تحتها وتكون من ذلك الثلثة الاجناس التى ذكرنا انفاً من اجناس التوسط وهو التوسط العددى والتوسط الهندسى والتوسط التاليفى فسمى كل واحد منهما توسطا من معنى مفهوم واجب اذ كانت تكون عن تغير موضع الحد الاوسط وانتقاله كذلك ايضا يكون الحال فى الاعداد متى وضع حدان من الاعداد اما فرادان جميعاً واما زوجان فانه قد يمكننا ويجب علينا ان نعلم متى اردنا كيف نترك ذينك الحدين ثابتين على امرهما غير متغيرين ونضع بينهما حداً متوسطاً لهما على كل واحد من اجناس التوسط الثلثة على حسب التوسط العددى فبان يكون الحد المتوسط الذى يزيد على احد الطرفين ويزيد هو على الطرف الاخر زيادة مساوية واما على حسب التوسط الهندسى فبان تكون نسبة ما بين الاوسط والطرفين متساوية واما على حسب التوسط التاليفى فبان تكون زيادة الاوسط على احد الطرفين وزيادة الاخر عليه مقادير تكون نسبته الى تلك الاطراف مساوية كل واحدة الى نظيرها فليكن اولاً الحدان الموضوعان اللذان نريد ان نبين كيف يحد بينهما كل واحد من الحدود المتوسط على الثلثة الاجناس