Nicomachus of Gerasa: Introductio Arithmeticae (Introduction to Arithmetic)

حتى يكون شكلهما الشكل الذى يقال له دوقيدس او الذى يقال له الملبن وان كانا من التى تجتمع من ضرب شى فيما لا يساويه وما اجتمع فيما لا يساوى الاولين حتى 〈يكون〉 شكلهما الشكل الذى يقال له يقالينوس وكان فيما بين الحدين اللذين ذكرنا حدان اخران من جنسهما وكانا مناسبين لهما على جهة الابدال او على غير الابدال وكان احد الحدين المتوسطين يتم منه مع الحدين الاولين توسط تاليفى فان الحد الاخر منهما يتم منه مع الحدين الاولين توسط عددى ومن ضرورة متى وضعت هذه الاربعة الحدود هذا الوضع ان يظهر التوسط الهندسى 〈و〉يكون عن تركيب التوسطين الاخرين اللذين ذكرنا وذلك يكون متى نسبت الحد الاعظم من هذه الحدود الى الحد الثالث منها فوجدنا نسبته اليه كنسبة الحد الثانى الذى دون الاول الى الحد الرابع وان الامر متى كان كذلك صار المجتمع من ضرب العددين الاوسطين احدهما فى الاخر مثل المجتمع من ضرل الطرفين احدهما فى الاخر وايضا فانه متى وجد فضل ما بين الحد الاعظم وبين الحد الذى دونه مساوياً لفضل ما بين ذلك الحد الاصغر كان ذلك توسطاً عددياً ومتى جمع الطرفان كانا ضعف الحد الاوسط وان كانت زيادة الحد الاوسط على احد الطرفين وزيادة الطرف الاخر عليه جزاً واحداً بعينه من الطرفين كان ذلك توسطاً تاليفياً والذى يكون من ضرب الحد الاوسط فى احد الطرفين مجموعين وهو ضعف المجتمع من ضرب الطرفين احدهما فى الاخر ونجعل مثال ما قلنا هذه الاعداد و ح ط يب واما عدد الستة منها فشكله شكل الذى يقال له سقالينوس وهو المختلف الاضلاع اذ كان مجتمعاً من ضرب الواحد فى الاثنين فى الثلثة واما عدد الاثنى عشر فانه مجتمع من عدد الاثنين الذى يتلو الواحد فى الاثنين فى الثلثة واما العددان الاوسطان فان الاصغر منهما يجتمع من ضرب الواحد فى الاثنين