Nicomachus of Gerasa: Introductio Arithmeticae (Introduction to Arithmetic)

الى الاثنين وللتوسط العددى خاصة ليست لشى من الباقية وهى ان نسب اختلافات ما بين الحدود بعضها الى بعض كنسب الحدود انفسها الى الحدود التى تليها اذا نسبت الكبار منها الى الصغار والصغار الى الكبار ويكون نسب الاختلافات اذا عكست كنسب الحدود اذا عكست ولهذا التوسط خاصة اخرى وهى ان اختلاف ما بين الحدود الكبار من كل واحد من نسبة وبين الصغار منها اذا كانت النسبة بين الحدود نسبة الضعف مساو للحدود الصغار واختلاف ما بين حدوده الكبار مخالف اختلاف ما بين حدود الصغار بمثل اختلاف ما بين الحدود الصغار فاما ان كانت النسبة التى بين الحدود | نسبة الثلثة الامثال فان اختلاف ما بين الحدود التى ذكرنا واختلاف ما بين الاختلافات التى ذكرنا يكون مرتين مثل ما قلنا واما ان كانت النسبة التى بين الحدود نسبة الاربعة امثال فان ذلك يكون ثلث مرات مثل ما قلنا وان كانت النسبة خمسة امثال فان ذلك يكون اربع مرات مثل ما قلنا وما بعد ذلك الى حيث ما اراد المريد وليس انما يكون استوا القياس الهندسى فى ذوات الاضعاف فقط لكنه يكون ايضا فى جميع انواع الزايدة جزاً والزايدة اجزآ وما يتركب من ذلك ومن خواص هذه التوسطات التى تسلم وتلزم فى جميع هذه الانواع ان الذى يكون من ضرب احدى الطرفين منها احدهما فى الاخر مساو الذى يكون من ضرب الحد الاوسط فى نفسه اذا كان هذا التوسط على سبيل الاتصال واما اذا كان هذا التوسط على سبيل الانفصال وكانت حدوده اكثر مما قلنا او ان كانت على سبيل الاتصال الا ان عددها عدد زوج وان الذى يكون من ضرب احدى الطرفين احدهما فى الاخر مثل الذى يكون من ضرب الاوسطين احدهما فى الاخر واما المثال الذى نبين به ان هذه الخاصة التى ذكرنا فيه على حال واحدة فى جميع نسب ذوات الاضعاف والزايدة جزاً والزايدة اجزا وفيما يتركب من ذلك فانا نكتفى فيه بما اتينا به من ذلك فى وصفنا للوجه الذى يتولد بسببه 〈نسب〉 غير