زوايا قائمة (٩) وأسمّيه مائلاً إذا لم يكن سهمه قائماً على قاعدته على زوايا قائمة (١٠) وكلّ خطّ منحنٍ يكون في سطح واحد مستوٍ ويخرج من نقطة منه في سطحه خطّ ما مستقيم يقطع كلّ الخطوط التي تخرج في الخطّ المنحني وتنتهي أطرافها إليه وتكون موازية لخطّ ما موضوع بنصفين نصفين فإنّي أسمّي ذلك الخطّ المستقيم قطراً لذلك الخطّ المنحني (١١) وأسمّي طرف ذلك الخطّ المستقيم الذي عند الخطّ المنحني رأساً للخطّ المنحني (١٢) وأسمّي الخطوط المتوازية التي وصفنا خطوط الترتيب لذلك القطر (١٣) وكذلك أيضاً إذا كان خطّان منحنيان في سطح واحد فإنّي أسمّي ما كان واقعاً فيما بين الخطّين المنحنيين من الخطّ المستقيم الذي يقطع جميع الخطوط المستقيمة الخارجة في كلّ واحد من الخطّين المنحنيين الموازية لخطّ ما بنصفين نصفين قطراً مجانباً (١٤) وأسمّي طرفي القطر المجانب اللذين على الخطّين المنحنيين رأسين للخطّين المنحنيين (١٥) وأسمّي الخطّ المستقيم الذي يقع بين الخطّين المنحنيين ويقوم على القطر المجانب ويقطع جميع الخطوط المستقيمة الموازية للقطر المجانب إذا أخرجت فيما بين الخطّين المنحنيين حتّى تنتهي أطرافها إلى الخطّين المنحنيين بنصفين نصفين قطراً قائماً (١٦) وأسمّي هذه الخطوط المتوازية خطوط الترتيب لذلك القطر القائم (١٧) وإذا كان خطّان مستقيمان وكانا قطرين لخطّ منحنٍ أو لخطّين منحنيين وكان كلّ واحد منهما قاطعاً للخطوط الموازية للآخر بنصفين نصفين فإنّي

أسمّيهما قطرين مزدوجين (١٨) وأسمّي الخطّ المستقيم إذا كان قطراً للخطّ المنحني أو للخطّين المنحنيين وكان قاطعاً للخطوط المتوازية التي هي خطوط الترتيب له على زوايا قائمة سهماً للخطّ المنحني أو للخطّين المنحنيين (١٩) وأسمّي القطرين إذا كانا مزدوجين وكان يقطع كلّ واحد منهما الخطوط الموازية للآخر على زوايا قائمة سهمين مزدوجين للخطّ المنحني أو للخطّين المنحنيين.

المقالة الخامسة من كتاب أبلونيوس في المخروطات نقل ثابت بن قرّة وإصلاح بني موسى

من أبلونيوس إلى أطالوس سلام عليك إنّي قد وضعت في هذه المقالة الخامسة أشكالاً في الخطوط الكبار والصغار وينبغي أن يعلم أنّ من تقدّمنا ومن في عصرنا هذا إنّما شامّوا النظر في الصغار منها مشامّة يسيرة وبذلك بيّنوا أيّ الخطوط المستقيمة تماسّ القطوع وعكس ذلك أيضاً أعني أيّ شيء تعرّض للخطوط التي تماسّ القطوع فإذا عرض ذلك كانت الخطوط مماسّة فأمّا نحن فقد بيّنّا هذه الأشياء في المقالة الأولى من غير أن نستعمل في تبيين ذلك أمر الخطوط الصغار ورمنا أن نجعل مرتبتها قريباً من موضع ذكرنا لحدوث القطوع الثلثة لنبيّن بذلك أنّه قد يكون منها في كلّ واحد من القطوع ما لا نهاية لعدده ممّا يعرض ويلزم فيها كما عرض في الأقطار الأول وأمّا الأشكال التي تكلّمنا فيها في الخطوط الصغار فإنّا أفردناها وعزلناها على حدة من بعد فحص كثير وضمّنّا القول فيها إلى القول في الخطوط الكبار الذي ذكرنا

آنفاً للذي رأينا من حاجة طالبي هذا العلم إليها في معرفة تقسيم المسائل وتفصيلها وتركيبها مع ما لها في أنفسها من أنّها أحد الأشياء التي تستحقّ النظر فيها والسلام.

ا إذا كان قطع زائد أو ناقص وأقيم على طرف قطر من أقطاره نصف الضلع القائم لذلك القطر على زاوية قائمة وأخرج من طرفه خطّ إلى مركز القطع وأخرج من موضع من القطع خطّ ترتيب إلى القطر فإنّ هذا الخطّ يقوى على ضعف سطح ذي أربعة أضلاع يعمل على نصف الضلع القائم على ما نذكره في المثال؛ فليكن القطع الزائد أو الناقص اب والقطر بج والمركز د والضلع القائم للقطر به ونصف به، بح ونصل خطّ دح ونخرج خطّ ترتيب عليه از ونخرج من نقطة ز خطّاً موازياً لخطّ به عليه زط فأقول إنّ المربّع الذي يكون من از هو مثلا سطح بزطح، برهان ذلك أنّا نخرج من نقطة ه خطّ هج فخطّ دح موازٍ لخطّ جه لأنّ خطّي جب، به قد قسما بنصفين على نقطتي د، ح فننفذ خطّ زط إلى ك فيكون ط ك موازياً لخطّ حه فهو مساوٍ له وحه مثل بح فبح مثل ط ك ونجعل زط مشتركاً فخطّ زك مساوٍ لخطّي بح، زط مجموعين فالذي يكون من ضرب زك في بز مساوٍ للذي يكون من ضرب بح وزط مجموعين في بز ولكنّ السطح الذي يكون من ضرب كز في بز مساوٍ لمربّع خطّ از كما سبق في الشكل (١٢) من (١) والشكل (١٣) منها فالسطح الذي يكون من ضرب بح، زط مجموعين في بز مساوٍ لمربّع از والسطح الذي يكون من ضرب

بح، زط مجموعين في بز هو مثلا سطح بزطح فالمربّع الذي يكون من از مثلا سطح بزطح.

ب وإن كان الخطّ الذي خرج على ترتيب واقعاً على نقطة د التي هي المركز في القطع الناقص وجعل به ضعف بز ووصل خطّ دز فإنّ المربّع الذي يكون من اد مثلا مثلّث بزد، برهان ذلك أنّا نصل خطّ جه فيكون بز مثل زه وزه مثل دح الذي يوازي به فالذي يكون من ضرب دح في دب ضعف مثلّث دزب والذي يكون من ضرب دح في دب مساوٍ للمربّع الذي يكون من اد كما تبيّن في الشكل ١٣ من ١ فالمربّع الذي يكون من اد مثلا مثلّث زبد.

ج وإن كان الخطّ الذي خرج على ترتيب في القطع الناقص واقعاً في الجهة الأخرى عن نقطة د التي هي المركز كخطّ از وجعل نصف به الذي هو الضلع القائم بح ووصل خطّ حد وأنفذ على استقامة وأخرج من نقطة ز خطّ مواز لخطّ به حتّى يلقى خطّ حد عليه زط فإنّ المربّع الذي يكون من از مثلا فضل ما بين مثلّثي بدح، دزط؛ برهان ذلك أنّا نخرج من نقطة ج خطّاً موازياً لخطّ به عليه جك وننفذ حد حتّى يلقى خطّ جك على نقطة ك ونتمّم قطع اب وننفذ از على استقامة إلى ل فيكون مربّع زل مثلي سطح جكطز كما تبيّن في الشكل ١ من هذه المقالة وخطّ زل مثل خطّ از فالمربّع الذي يكون من از مثلا سطح جكطز ذي الأربعة الأضلاع وسطح جكطز هو فضل ما بين مثلّث جكد ومثلّث دزط ولكن مثلّث جكد

مساوٍ لمثلّث دبح لأنّ دك مثل دح فالمربّع الذي يكون من از مثلا فضل ما بين مثلّثي دبح، دزط وذلك ما أردنا أن نبيّن.

د إذا تعلّمت نقطة على سهم القطع المكافئ وكان بعدها من رأس القطع مساوياً لنصف الضلع القائم وأخرجت من تلك النقطة خطوط إلى القطع فإنّ أصغرها هو الخطّ الذي يخرج إلى رأس القطع وما قرب منه أصغر ممّا بعد ومربّعاتها أعظم من مربّعه بمثل المربّع الذي يكون من ضرب ما تفصل الأعمدة التي تقع على السهم من طرف كلّ خطّ منها من السهم ممّا يلي رأس القطع؛ فليكن سهم القطع المكافئ جه وليكن جز مساوياً لنصف الضلع القائم ولنخرج من نقطة ز إلى قطع ابج خطوط زح، زط، زب، زا، فأقول إنّ أصغر الخطوط التي تخرج من نقطة ز إلى قطع ابج هو خطّ جز وما قرب منه فهو أصغر ممّا بعد وكلّ واحد منها يقوى على المربّع الذي يكون من جز مع المربّع الذي يكون من الخطّ الذي بين نقطة ج وبين مسقط عموده برهان ذلك أنّا نخرج أعمدة حك، طل وليكن نصف الضلع القائم جم فخطّ جز مساوٍ لخطّ جم والذي يكون من ضرب جم في جك مرّتين مساوٍ للمربّع الذي يكون من حك كما تبيّن في الشكل ١١ من ١ والذي يكون من ضرب جم في جك مرّتين مساوٍ للذي يكون من ضرب زج في جك مرّتين والمربّع الذي يكون من كح مساوٍ للذي يكون من جز في جك مرّتين والذي يكون من جز في جك مرّتين مع مربّع كز مساوٍ للمربّعين الكائنين

من زك، كح وهذان المربّعان مساويان لمربّع زح فالذي يكون من زج في جك مرّتين مع مربّع زك مساوٍ لمربّع زح فمربّع زح أعظم من مربّع زج بمثل مربّع جك، ويتبيّن من هذا أنّ طز أعظم من زح و زح من زج فخطّ زج هو الأقصر وما قرب منه أقصر ممّا بعد وتبيّن أنّ فضل ما بين مربّع كلّ واحد منها وبين مربّع الخطّ الأقصر يمثل المربّع الذي يكون من الخطّ الذي تفصله الأعمدة الواقعة من أطرافها على السهم ممّا يلي رأس القطع وذلك ما أردنا أن نبيّن.

ه وإذا تعلّمت نقطة على سهم القطع الزائد وصيّر بعدها من رأس القطع مساوياً لنصف الضلع القائم فإنّه يعرض في ذلك مثل الذي عرض في القطع المكافئ إلّا أنّ زيادة مربّعات الخطوط على مربّع الخطّ الأقصر تكون بمثل السطح الذي يعمل على الخطّ الذي بين مسقط الأعمدة وبين رأس القطع الشبيه بالسطح الذي يحيط به القطر المجانب وخطّ مساوٍ للقطر المجانب مع الضلع القائم ويكون القطر المجانب نظيراً للخطّ الذي فيما بين كلّ واحد من الأعمدة وبين رأس القطع؛ فليكن قطع زائد عليه اج وعلى سهمه جه وليكن نصف الضلع القائم جز ونخرج من نقطة ز خطوطاً إلى قطع ابج كم كانت وهي زا، زب، زح، زط، فأقول إنّ خطّ جز أصغر الخطوط التي تخرج من نقطة ز إلى القطع وإنّ ما قرب منه أصغر ممّا بعد وإنّ كلّ واحد من خطوط زط، زح، زب، زا ينقص مربّع جز عن مربّعه بمثل السطح الذي يعمل على الخطّ الذي بين مسقط الأعمدة

ونقطة ج الشبيه بالسطح الذي يحيط به دج الذي هو قطر القطع وخطّ مساوٍ لخطّ دج مع الضلع القائم؛ فليكن الضلع القائم جخ، ونصفه جك ومركز القطع ث؛ برهان ذلك أنّا نخرج أعمدة إلى جه وننفذها وهي طمن، حلس، اهف ونخرج عمود بز إلى ع ونخرج خطّين موازيين لخطّ جم عليهما كش، ون، فالمربّع الذي يكون من طم مثلا سطح جكنم ذي الأربعة الأضلاع كما تبيّن في الشكل الأوّل من هذه المقالة والمربّع الذي يكون من زم هو مثلا مثلّث زمي، لأنّ زم يساوي مي وذلك أنّ جك، جز متساويان والمربّع الذي يكون من طز، مثلا مثلّثي جكز، كني لأنّه مساوٍ لمربّعي طم، مز، ولكنّ مربّع جز مثلا مثلّث جكز لأنّ جز مثل جك وسطح ونكت ذو الأربعة الأضلاع مثلا مثلّث يكن فالمربّع الذي يكون من جز أقلّ من المربّع الذي يكون من طز بمثل سطح توني ذي الأربعة الأضلاع ونسبة دج إلى جخ كنسبة ثج إلى جك ونسبة ثج إلى جك كنسبة كش إلى شن و كش مثل شي لأنّ مي مثل مز وذلك أنّ جك مساوٍ لج ز فنسبة دج إلى جخ كنسبة شي إلى شن فإذا خالفنا صارت نسبة جخ إلى جد كنسبة شن إلى شي وإذا ركّبنا صارت نسبة خج و جد مجموعين إلى جد كنسبة ني إلى شي وخطّ شي مساوٍ لخطّ تي فنسبة ني إلى تي كنسبة خج، جد مجموعين إلى جد ونخرج خطّ خج إلى ر وليكن جر مساوياً لخطّ جد فنسبة ني إلى تي كنسبة خر إلى رص وهذه الأضلاع المتناسبة تحيط بزوايا متساوية

فسطحا يو، خص متشابهان وخطّ تي الذي هو مساوٍ لخطّ جم نظير لخطّ رص الذي هو مساوٍ لخطّ جد والسطح الذي يعمل على جم الشبيه بالسطح الذي يحيط به دج وخطّ مساوٍ لخطّ دج والضلع القائم هو سطح يو ذو الأربعة الأضلاع فالمربّع الذي يكون من طز أعظم من المربّع الذي يكون من جز بمثل السطح الذي يعمل على جز الشبيه بالسطح الذي يحيط به خطّ جد وخطّ مساوٍ لخطّ جد والضلع القائم مجموعين وكذلك أيضاً يتبيّن أنّ المربّع الذي يكون من زح يزيد على المربّع الذي يكون من خطّ زج بمثل السطح الذي يعمل على جل الشبيه بالذي ذكرنا، وأقول إنّ المربّع الذي يكون من بز يزيد على المربّع الذي يكون من جز بمثل نظير السطح الذي ذكرنا وذلك أنّ المربّع الذي يكون من بز مثلا سطح جكعز كما تبيّن في الشكل الأوّل من هذه المقالة والمربّع الذي يكون من جز مثلا مثلّث جكز فيكون مربّع بز أعظم من مربّع جز بمثلي مثلّث زكع وكذلك نبيّن أنّ السطح الذي هو مثلا زكع هو سطح يعمل على جز شبيه بالسطح الذي ذكرنا فالمربّع الذي يكون من بز يزيد على المربّع الذي يكون من جز بمثل السطح الذي يعمل على جز الشبيه بالسطح الذي ذكرنا؛ وأقول أيضاً إنّ المربّع الذي يكون من از حاله الحال الذي ذكرنا وذلك أنّ المربّع الذي يكون من اه مثلا سطح جكفه، ذي الأربعة الأضلاع كما تبيّن في الشكل الأوّل من هذه المقالة والمربّع الذي يكون من زه مثلا مثلّث قزه، فالمربّع

الذي يكون من از مثلا مثلّثي قكف، جكز، لأنّ مربّع از مساوٍ لمربّعي اه، هز، ومثلا جكز، هو المربّع الذي يكون من جز، ففضل ما بين المربّع الذي يكون من از وبين المربّع الذي يكون من جز هو مثلا قكف وكذلك أيضاً نبيّن أنّ السطح الذي هو مثلا مثلّث قكف هو السطح الذي يعمل على جه الشبيه بالسطح الذي ذكرنا، ولأنّ زيادات مربّعات هذه الخطوط على مربّع جز هي السطوح المعمولة على جه، جز، جل، جم، وهذه السطوح مختلفة السطح الذي يعمل على جه أعظم من الذي يعمل على جز والذي يعمل على جز من الذي يعمل على جل والذي يعمل على جل من الذي يعمل على جم يكون جز أصغر الخطوط التي أخرجت ويكون ما قرب من الخطوط الباقية منه أصغر ممّا بعد ويقوى كلّ واحد من الخطوط المخرجة على المربّع الذي يكون من أقصر الخطوط مع السطح الذي يعمل على الخطّ الذي بين مسقط العمود وبين نقطة ج الشبيه بالسطح الذي يحيط به خطّ جد وخطّ مساوٍ لخطّ جد والضلع القائم مجموعين وذلك ما أردنا أن نبيّن.

و وإذا كان ما ذكرنا على حاله إلّا أنّ القطع قطع ناقص والسهم سهمه الأعظم فإنّ أقصر الخطوط التي تخرج من تلك النقطة هو المساوي لنصف الضلع القائم وأطولها تمام السهم وأمّا الخطوط الباقية فإنّ ما قرب منها من الخطّ الأقصر أقصر ممّا بعد منه ومربّع كلّ واحد منها يزيد على مربّع الخطّ الأقصر بمثل السطح الذي يعمل على الخطّ الذي بين مسقط عموده

وبين رأس القطع الشبيه بالسطح الذي يحيط به القطر المجانب في فضل ما بين القطر المجانب والضلع القائم إذا كان القطر المجانب نظيراً للخطّ الذي بين مسقط العمود ورأس القطع؛ فليكن قطع ناقص عليه ابج، وسهمه الأعظم اج وليكن جد مساوياً لنصف الضلع القائم ولنخرج من نقطة د إلى القطع خطوط دز، ده، دب، دح فأقول إنّ دج أقصر الخطوط التي تخرج من نقطة د وإنّ خطّ دا أعظمها وإنّ ما قرب من الخطوط الباقية من خطّ دج أصغر ممّا بعد والمربّع الذي يكون من دز أعظم من المربّع الذي يكون من دج بمثل السطح الذي يعمل على الخطّ الذي بين مسقط عموده وبين نقطة ج الشبيه بالسطح الذي يحيط به خطّ جا في زيادته على الضلع القائم برهان ذلك أن نجعل نصف الضلع القائم جط والمركز ي ونخرج أعمدة زكر، هل، بدق، ونخرج من نقطة ا خطّاً موازياً لخطوط الترتيب التي أخرجت عليه اس، ونخرج خطّي شت، رث موازيين لخطّ جا فالمربّع الذي يكون من زك مثلا سطح جطرك ذي الأربعة الأضلاع كما تبيّن في الشكل الأوّل من هذه المقالة والمربّع الذي يكون من دك مثلا مثلّث كشد، لأنّ كد مثل كش وذلك أنّ دج مثل جم فالمربّع الذي يكون من دز مثلا مثلّثي دجط، شطر ولكنّ المربّع الذي يكون من دج مثلا مثلّث دجط وسطح شتثر مثلا مثلّث شطر فمربّع دز أعظم من مربّع خطّ دج بمثل سطح شرتث ونسبة يج إلى جد كنسبة اج إلى الضلع القائم وكنسبة

رث إلى ثط فنسبة اج إلى الضلع القائم كنسبة رث إلى ثط و رث مثل تط فنسبة اج إلى الضلع القائم كنسبة تط إلى طث فإذا قلبنا كانت نسبة جا إلى زيادته على الضلع القائم كنسبة طت إلى تث، وطت مثل تش لأنّ جد مثل جط فنسبة تش إلى شر كنسبة اج إلى زيادته على الضلع القائم وخطّ اج هو نظير تش الذي هو مثل جك وسطح تر مساوٍ للسطح الذي يعمل على كج الشبيه بالسطح الذي يحيط به خطّ اج في زيادته على الضلع القائم والمربّع الذي يكون من زد يزيد على المربّع الذي يكون من دج بمثل سطح تر والمربّع الذي يكون من زد يفضل على المربّع الذي يكون من جد بمثل السطح الذي يعمل على جك الشبيه بالسطح الذي ذكرنا، وأقول أيضاً إنّ مربّع دب حاله كحال الخطّ الذي ذكرنا، وذلك أنّ المربّع الذي يكون من بد مثلا سطح دجطق، ذي الأربعة الأضلاع والمربّع الذي يكون من جد مثلا مثلّث دجط ففضل ما بين مربّع دب وبين مربّع دج مساوٍ لمثلي مثلّث دطق والسطح الذي يعمل على جد الشبيه بالذي ذكرنا هو مثلا مثلّث دطق ففضل ما بين مربعّ دب ومربّع دج هو مثل السطح الذي يعمل على جد الشبيه بالسطح الذي ذكرنا، وأقول أيضاً إنّ المربّع الذي يكون من دح أعظم من المربّع الذي يكون من دج بمثل السطح الذي يعمل على مج الشبيه بالسطح الذي ذكرنا وذلك أنّ مربّع حم مثلا سطح ماعذ كما تبيّن في الشكل الأوّل من هذه المقالة والمربّع الذي يكون من مد مثلا مثلّث دمن وذلك