من كلام غيره من المهندسين المتقدمين ومن كلام من شرح كتاب اوقليدس منهم.

وعلم هذا الكتاب مقدمة لعلم كتاب بطلميوس الكبير فى حساب النجوم ومعرفة الاوتار التى تقع على قسى قطع الدوائر من افلاك الكواكب التى يسميها المنجّمون الكردجات لتعديل مسير الكواكب فى الطول والعرض وسرعتها وابطائها واستقامتها ورجوعها وتشريقها وتغريبها ومساقط شعاعها وعلم ساعات الليل والنهار ومطالع البروج واختلاف ذلك فى اقاليم الارض وحساب القران والاستقبال وكسوف الشمس والقمر واختلاف النظر اليهما من آفاق الارض فى جميع نواحى السماء وغير ذلك الذى يقال له المجسطى فمن نظر فى هذا الكتاب فى علم هذه الاصول التى فيه سهل عليه العلم بما فى كتاب المجسطى حتى يحيط به علماً ان شاء الله ومن لم ينظر فيه ولم يعلمه لم يعلم ما فى المجسطى الّا علم رواية وتقليد امّعة فامّا علم احاطة فلا سبيل الى ذلك الّا بعلم هذه الاصول وبالله لا شريك له التوفيق.

قال اوقليدس ان الاسباب التى منها يكون العلم وبمعرفتها يحاط بالمعلوم هى الخبر والمثال والخلف والترتيب والفصل والبرهان

والتمام. امّا الخبر فهو الاخبار المقدّم عن جملة الـ[ـتفـ]ـسير وامّا المثال فهو صور الاجسام والاشكال المخبر عنها المدلول بصفتها على معنى الخبر وامّا الخلف فهو خلاف المثال وصرف الخبر الى ما لا يمكن وامّا التـ[ـرتيب فهو تأليف العمل] المتّفق على مراتبه فى العلم وامّا الفصل فهو فصل ما بين الخبر الممكن [وغيـ]ـر الـممـ[ـكن وا]مّا البرهان فهو الحجّة على تحقيق الخبر وامّا التمام فهو تمام العلم بالمعلوم [التابع لجميع] ما ذكرنا.

النقطة هى شى لا جزء له.

قال النريزى قال [سنبليـ]ـقيوس النقطة هى مبدأ المقادير ومنشأها وهى وحدة غير متجزيّة ذات وضع

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

بين الخطين المتوازيين هو عمود عليهما وذلك قد بيّنه اوقليدس فى الشكل الثامن والعشرين من المقالة الاولى فيقول فى جواب ذلك ان الحدّ لا يحتاج فيه الى ذكر العمود بل يكتفى فيه بأن يقال ان البعد الذى بينهما متساو ولتبيّن ذلك اختيج ان يقال ان الخط الواحد عمود عليهما جميعاً فامّا الفيلسوف اغانيس فانه ذكر فى حد الخطوط المتوازية انها فى سطح واحد فقال ان الخطوط المتوازية هى التى فى سطح واحد واذا اخرجت اخراجاً دائماً غير متناه فى الجهتين جميعاً كان البعد بينهما ابداً بعداً واحداً

وقد يظن ان مساواة البعد بينهما هى العلة التى لها صارت لا يلتقى ان كان كيس المعنى فى القولين جميعاً واحداً ولعلّ ما استثنى به حدّها من ان الخطين فى سطح واحد ليس يحتاج اليه ضرورة فانه ان كان اذا كان البعد بينهما بعداً واحداً لم يكن لاحدهما ميل الى الاخر بتّةً فهما لا محالة فى سطح واحد اعنى المخرج عليهما جميعاً وان كان موضع احدهما منخفضاً وموضع الاخر متعالياً فامّا ان البعد المحدوده اقصر الخطوط التى تصل بين المتفرقين فقد قيل فيما تقدّم وهذا البعد هو امّا فى النقطتين المتفرقتين فالخط المستقيم مطلقاً الذى يصل بينهما لان الخط المستقيم اقصر الخطوط التى ... ياتها واحدة اعنى التى تصل بين نقطتين فامّا البعد بين نقطة وخط او بين نقطة وسطح فهو العمود الذى يخرج منها اليه وهو اقصر الخطوط التى تصل بين النقطة وبين السطح او بين الخط وامّا البعد الذى بين خط وخط نانهما ان كانا متوازيين فهو بعد واحد متساو فى كل موضع منهما اقصر الابعاد التى بينهما فهو عمود على كل واحد منهما فى كل موضع فيهما فامّا ان لم يكونا متوازيين فان اقصر الخطوط التى تصل بينهما مختلفة بحسب اختلاف النقط المفترضة عليهما وهذا الخط من طريق [طريقه .l] انه من نقطة الى خط هو عمود على الخط الذى اخرج اليه الا انه ليس عموداً على الخط الذى فرضت النقطة عليه ولكنّ هذا القول قد يحتاج فى بيانه الى اقناع هندسى.

فامّا قوله اذا اخراجا فى الجهتين جميعاً فذلك بالواجب فان الخطين المستقيمين اللذين يلتقيان

فى احدى الجهتين لا يلتقيان فى الجهة الاخرى لكن يكون بعد كل واحد عن صاحبه اكثر وهما غير متوازيين.

وامّا قوله اذا اخرجا اخراجاً دائما غير متناه فانه انما فاله على سبيل التخيّل ليلّا يلزمهما تقدير عن ذلك لا انّ اخراجهما يجوز كرة الكواكب الثابتة لكن لكى لا نكون اذا وضعنا (?) لاخراجهما آجزاء لا يلتقيان فيه نحكم على خطين يمكن فيهما اذا تجاوزا ذلك الحد ان يلتقيا فانهما لا يلتقيان فهذا ما جرت العادة بأن يقال فى هذا العارض بل هو اختصار وتحصيل لما كثّر فيه غير... (غيرنا).

النقطة علة الاشياء المتصلة والواحدة علة الاشيا المنفصلة النقطة اصل الخط الـ.... (? المستقيم) واصل الدايرة. والكرة و المخروط اصل المجسميات.

ـع قال اوقليدس المصادرات هى خمس

ـع قال سنبليقيوس ان اوقليدس بعد ذكر الحدود الدالّة على جوهر كل واحد من المحدودات انتقل بكلامه الى تعديد المصادرات والمصادرات بالجملة هى ما ليس مقرّاً به لكن يفارق المتعلم على الاقرار به على طريق المسامحة ليكون اصلاً موضوعاً بينه وبين المعلِّم مقرّاً به وهذا الاصل اما ان يكون غير ممكن مثل المصادرة التى طلب ارخميذس ان يقرّ له بها وهى ان يصادر على انه واقف خارج الارض فانه تضمّن إن سلّم له ذلك ان تبيّن انه يحرك الارض اذ يقول ايّها الفتى اقرّ لى بانه ممكن ان ارتفع فأقف خارج الارض وانا اريك انّى احرّك الارض وذلك عند افتخاره بوجدانه القوة الهندسية فطلب ان يصادر على ذلك وينزل انه كذلك وإن كان غير ممكن لسياقة التعليم فالمصادر عليه امّا ان

يكون غير ممكن على ما قلنا وامّا ممكن معلوم عند الاستاذين مجهول عند المتعلّمين يحتاج ان يستعمل فى اوّل التعليم فان الاشياء التى تبرهن هى ايضاً معلومة عند الاستاذين مجهولة عند المتعلّمين لكنّها لا توضع على طريق المصادرة لانها ليست اوايل لكنها تبرهن.

فامّا المصادرات فانما يطلب الواضع لها ان يصادر عليها من قبل انها مبادى فمنها ما يطلب ان يصادر عليه من قبل انه لازم فقط للتعليم كالثلاث المصادرات الاولى ومنها ما يحتاج الى بيّن يسير حتّى تصدّف بها وتقبل بذاتها والفصل بينهما وبين العلوم المتعارفة ان العلوم المتعارفة مقبولة بنفسها مع اوّل وقوع الفكر عليها والمصادرات متوسّطة فى الطبع بين المبادى الماخوذة من العلم الاوّل والتى عللها مجهولة عند المستعملين لها كالحدود [و]بين العلوم المتعارفة التى يقبلها جميع الناس على مثال واحد اذ كانت المصادرات معروفة لكن ليس عند جميع الناس بل عند الاستاذين فى كل واحدة من الصناعات: وقد ظن قوم ان المصادرات الهندسيّة انما قصد بها لان يسلم العنصر فقط اذ كان لا يتهيّا فيه كل الاعمال فيكون قد يتهيّا لمعاند ان يعاند من قبل العنصر فيقول انه لا يمكننى ان اخرج خطاً مستقيما على سطح البحر ولا يمكننى ان اخرج ايضا خطاً مستقيما اخراجاً دائماً بلا نهاية اذ كان لا نهاية غير موجود ولكن اصحاب هذا القول امّا اوّلا فانّهم يظنّون انّ المصادرات انما يحتاج اليهما من كانت هندسته عنصرية فقط ـع ومن بعد ذلك ماذا يقولون فى مساواة الزوايا القايمة كيف يوجدوننا ان

المصادرة على ذلك من قبل العنصر وكذلك الامر فيما يتلو هذه من المصادرات فالاجود ان يقال ان المصادرات هى ما ليس بمقبول عند المتعلّم فى اول ما يقرع سمعه ويحتاج اليها فى البرهان فمنها ما هو غير ممكن ولذلك ليس يسهل قبولها كما يسهل قبول الثلث الاول لكن انما يطلب الاقرار بها لسياقة التعليم على ما قلت ومنها ما هو معلوم عند الاستاذ مقبول عنده وهو عند المتعلم فى العاجل بعيد غير بيّن ولذلك يطلب منه الاقرار به كالخال فيما بعد الثلث من المصادرات ومنفعة الثلث من المصادرات الاول ان لا يعوق عن البراهين ضعف العنصر وتخلفه (تخلّفه .l). وامّا التى بعد الثلث الاول فانه قد يحتاج اليها فى براهين ما

ـع قال اوقليدس ليصدر على ان نخرج خطاً مستقيماً من كلّ نقطة الى كل نقطة.

قال سنبليقيوس انما قال هذا القول لانه قد يوجد لا محالة بين كل نقطتين تفرضان بعد هو اقصر الابعاد بينهما فاذا اخرجناه كان المخرج خطا مستقيما وكانت نهايتاه النقطتين المفروضتين وليس يمكن ان يخرج خط مستقيم يمرّ بثلث نقط الاّ ان يكون النقطة الوسطى تستر النقطتين اللتين فى الطرفين اعنى ان يكون الثلث فى سمت واحد وقد يمكن ايضا ان يخرج من كل نقطة الى كل نقطة قوس من دايرة فانا اذا اخرجنا الخط المستقيم الذى يصل بين النقطتين مثل خط

اب وعملنا عليه مثلثا متساوى الاضلاع مثل مثلث ابﺟ وصيّرنا نقطة ﺟ مركزاً وادرنا ببعد ﺟا دائرةً جازت على نقطة ب لانّ بعد ب عن ﺟ هو مثل بعد ا عنها فيكون خط اب قوساً من دائرة. وهذا الامر بالواجب طلب ان يصادر عليه اذا كان قوام عنصر الهند[سـ]ـة فى التخيّل فانه لو كان فى الاجسام ذوات العنصر انفسها لكان من التقحّم ان يطلب ان يصادر على ان يخرج خط مستقيم من الحمل الى الميزان

قال اوقليديس وعلى ان نخرج خظا مستقيما ذا نهاية من خط مستقيم متصلاً به على استقامة

قال سنبليقيوس المتصلات هى التى نهايتها واحدة وقد يمكن أن نخرج خطا مستقيما على استقامة اخراجاً متّصلا ليكون باسره خطا واحداً مستقيما وذلك انه قد يمكن ان يكون المخرج متصلا بالخط ولا يكون الاتصال على استقامة اذا احاط بزاوية وبعكس ذلك ايضا قد يمكن ان يكونا على استقامة ولا يكونا خطاً واحداً وذلك متى لم يكونا متصلين ونعلم ما قيل فى التحديد ان يكون الخط ذا نهاية لانّه ان كان غير متناه كيف يمكن ان يخرح فامّا الخط المتناهى فانه قد يوضع ان يكون اخراجه غير متناه ان اختيج الى ذلك فيه وذلك لئلاّ يعوقنا فى شى من الاشكال تقصير الخط عن ذلك فامّا ان الخط الذى يخرج على استقامة خط مستقيم ذى نهاية هو معه خط واحد لا خطّان فانا نبيّن ذلك بهذا العمل بعد ان نشترط ان يسلّم لنا احدى المصادرات وهى التى بعد هذه اعنى ان نخط دائرةً على كل مركز وبكل بعد فنقول انا نفرض خطا مستقيما ذا نهاية

عليه اب فاقول ان الخط الذى يخرج متصلاً به على استقامة هو معه خط واحد برهان ذلك انه ان لم يكن الخط الذى يخرج متصلاً بخط اب على استقامته معه خطاً واحداً فانا نخرج خط ابﺟ وخط اﺏد مستقيم وندير على مركز ب وببعد ﺏا دائرة اجد فان كل واحد من خطى ابﺟ اﺏد خطا مستقيما فان كل واحد منهما قطر لانه يجوز على مركز الدائرة فكل واحد منهما يقسم الدائرة بنصفين فقوس اﺟد مساوية لقوس اﺟ العظمى للصغرى هذا خلف لا يمكن فاذا الخط الذى يخرج على استقامة خط اب متصلا به هو معه خط واحد

ـع قال اوقليدس وعلى ان نخط دائرة على كل مركز وبكل بعد

قال سنبليقيوس يريد بالبعد الذى يدار عليه الدائرة البعد المتناهى فى الجهتين جميعاً فظاهر انه ان كان يمكن ان يخرج من كل نقطة الى كل نقطة خط مستقيم والدائرة تكون اذا ثبتت احدى نقطتى الخط المستقيم وهى مركز الدائرة واديرت النقطة الاخرى حتى يحدث المحيط فانه ممكن ان يدار على مركز وبكل بعد دائرة.

قال اوقليدس وعلى ان الزوايا القائمة كلها متساوية

قال سنبليقيوس من استعمل فى هذا القول البحث المنطقى ظهر له صحّته ظهوراً بيّنا وذلك انه ان كانت الزاوية القائمة هى التى تحدث عن الخط القائم قياماً لا ميل فيه بتةً والقيام الذى لا ميل فيه بتةً لا يحتمل الزيادة. ولا النقصان لكنه ابداً على حال واحدة فان الزوايا القائمة هى ابداً متساوية وقد يبيّنون ذلك ايضاً بالخطوط الهندسية بهذا العمل. اقول انه لا يمكن ان تكون

زاوية قائمة اعظم من زاوية قائمة فان امكن ذلك فلتكن زاويتان قائمتان مختلفتين وهما زاويتا ابﺟ ﻩزح ولتكن زاوية ﻩزح اعظم من زاوية ابﺟ فظاهر انه اذا ركبت زاوية ابﺟ على زاوية ﻩزح ووضع خط اب على خط ﻩز يقع خط بﺟ داخل زاوية ﻩزح لان زاوية ﻩزح فرضت اعظم من زاوية ابﺟ فلنفرض انه قد وقع داخلاً وصار وضعه على خط زﮐ فتكون زاوية ﻩزح اعظم من زاوية ﻩزﮐ ولنخرج خط زط على استقامة زح فتكون زاوية ﻩزح مساوية لزاوية ﻩزط لانهما متتاليتان فلان خط ﻩز اذ كان قائما قياماً لا ميل فيه بتة فالزاويتان اللتان عن جنبتيه متساويتان ولكن زاوية ﻩزح اعظم من زاوية ﻩزﮐ فاذاً زاوية ﻩزط اعظم من زاوية ﻩزﮐ ولنخرج خط زل على استقامة خط زﮐ فتكون زاوية ﻩزل مساوية لزاوية ﻩزﮐ لانهما متتاليتان وهما قائمتان ولكن زاوية ﻩزط اعظم من زاوية ﻩزﮐ فيجب ان تكون ايضا اعظم من زاوية ﻩزل فالصغرى اذا اعظم من العظمى هذا خلف لا يمكن فاذا لا يمكن ان تكون زاوية قائمة اعظم من زاوية [قائمة] ولا اصغر منها. فالزوايا القائمة اذا كلها متساوية وليس كل الزوايا المتساوية قائمة الا ان تكون متتالية فانه قد يمكن ان تتساوى الزوايا وهى منفرجة وحادّة. وليس الزوايا المساوية لقائمة هى ايضا قائمة اضطراراً (الا) ان ينقل اسم الزاوية الى القسى ايضا فتصير الزوايا التى تحيط بها قسى زاوية قائمة على طريق الاستعارة مثال ذلك ان نفرض زاوية قائمة عليها ابﺟ ونعلم على مركز ب وبلىّ بعد شئنا علامتين على خطى اب و بﺟ وهما علامتا ده وندير على

مركزى ده وببعدى ﻩب دب نصف دايرة ازب ونصف دائرة ﺏطﺟ فتكون زاوية اﺏز مساوية لزواية ﺟﺏط لانّ انصاف الدوائر اذا كانت متساوية كانت زواياها متساوية ونجعل زاوية اﺏط مشتركة فيكون جميع زاوية ازﺏط مساوية لزاوية اﺏﺟ وزاوية ابﺟ قائمة فزاوية ازﺏط هلالية فقد صارت زاوية هلالية مساوية لزاوية قائمة

ـع قال اوقليدس واذا وقع على خطين مستقيمين خط مستقيم فصيّر الزاويتين اللتين فى جهة واحدة اصغر من قائمتين فان الخطين يلتقيان فى الجهة التى فيها الزاويتان اللتان هما اصغر من قائمتين

قال سنبليقيوس ان هذه المصادرة لسيت بظاهرة [فى] كل ذلك لكنّه قد اختيج فيها الى بيان بالخطوط حتى انّ اىطساطوس (?) وديودرس بيّناه باشكال كثيرة مختلفة

قال النريزى قد ذكرنا تفسيره مع زيادات اغانيس بعد برهان الشكل السادس والعشرين من المقالة الاولى.

قال اوقليدس وعلى انّ خطين مستقيمين لا يحيطان بسطح

قال سنبليقيوس ان هذه المصادرة ليست توجد فى النسخ القديمة ولعلّ ذلك لانّها ظاهرة بينّة ولذلك رسمت المصادرات بانها خمس فامّا الحدث فانهم برهنوه على هذا السبيل فقالوا انه ان امكن ان يكون خطان مستقيمان يحيطان بسطح فليحط خطا اﺟب ادب المستقيمان بسطح على ما هو مرسوم ونخرج خطى ﺏه ﺏز على استقامتهما ولنرسم على مركز ب وببعد ﺏا دائرة اﻩزح فمن اجل ان نقطة ب مركز لدائرة اﻩزح يكون كل واحد من خطى اﺟﺏه ادﺏز المستقيمين قطر الدائرة فقوس از مساوية لقوس ازه العظمى للصغرى هذا خلف لا يمكن

فليس اذاً يحيط خطان مستقيمان بسطح. فان قال قائل ان القوس ليست مساويةً للقوس لكن تكسير قطعة ادﺏز مساو لتكسير قطعة اﺟﺏﻩز لزمه ضرورةً ان زاوية زاد مساوية لزاوية زاﺟ وذلك غير ممكن وانما لزمه ذلك لانا قد بيّنا ان انصاف الدوائر يتطابق وايضا فان كانت قطعة ادﺏز مساوية لقطعة اﺟﺏﻩح والمركز على نقطة ب فان كل واحدة من القطعتين نصف دائرة وتكون قطعة زﺏه خارج الدائرة.

قال اوقليدس القضايا المقبولة والعلوم المتعارفة.

قال سنبليقيوس انا قد قلنا فيما تقدّم ان العلوم المتعارفة ينبغى ان تكون مقبولة بذاتها عند الناس كلهم ويصدقّون بها بانفسها اعنى بغير توسّط.

قال اوقليدس المساوية لشى واحد فبعضها مساو لبعض.

قال سنبليقيوس ان هذا القول اذا قيل فى المتساوية فهو حقّ تريب من الفهم واما اذا قيل على [الـ]ـطريق الاعمّ لم يكن بحق فان الاشياء التى هى اطول من شى واحد ليس يجب اضطراراً ان يكون

بعضها اطول من بعض ولا الذين هم اخوة انسان واحد فبعضهم اخوة لبعض اذا كان ذلك الاخ الواحد اخاً لبعضهم من الاب واخا لبعضهم من الامّ ولذلك ينبغى ان تكون الاضافة فى ذلك بسيطةً ماخوذةً من جهة واحدة بعينها لا على جهات مختلفات كما مثّلنا ذلك فى الاخوة ولا طريق من طريق الاكثر والاقل كما مثلنا ذلك فى الذين هم اطول من شى واحد

ـع قال اوقليدس وان زيد على المتساوية متساوية كانت مجموعاتها متساويةً

وان نقص من المتساوية متساوية كانت الباقية متساويةً

واذا زيد على غير المتساوية متساوية كانت مجموعاتها غير متساوية ـع واذا نقص من غير المتساوية متساوية كانت الباقية غير متساوية والتى هى اضعاف لواحد بعينه فبعضها مساو لبعض والتى كل واحد منها نصف لواحد بعينه فبعضها مساو لبعض

والتى يطابق بعضها بعضاً فبعضها مساو لبعض

والكل اعظم من الجزء

وخطان مستقيمان لا يحيطان بسطح قال سنبليقيوس

قوله ان ريد على المتساوية متساوية صارت كلّها متساوية هذا المعنى

يتبين بالاعداد بياناً واضحاً وان كان فى نفسه بغير اعداد بياناً مقبولاً والقضايا المقبولة توجد فى النسخ القديمة ثلثا فقط وامّا فى النسخ الحديثة فانّه قد زيد فيها هذه وهى بيّنة لا يحتاج الى شرح وكذلك التى بعدها بيّنة ظاهرة وهذه اوضاع ليلّا يكون فى الهندسة شى مبرهن باوائل غير مقرّ بها فامّا بنبس فانه قد زاد هذا المعنى ايضاً على انه من القضايا المقبولة وهو انّ المتساوية اذا زيد عليها مختلفة كان تقاضل المجتمع من ذلك مساوياً لتفاضل المختلف بالمزيد وذلك يتبيّن بهذا العمل نفرض مقدارين متساويين وهما اب ﺟد ولنزد عليهما مقدارين مختلفين وهما ﻩا زﺟ وليكن ﻩا اعظمهما فاقول ان زيادة ﻩب على زد مساوية لزيادة اه على زﺟ برهان ذللا انّا نفصل من اه مقداراً مساوياً لمقدار زﺟ وهو اح فمن اجل ان زيادة ﻩب على ﺏح هى حﻩ وﺏح مثل دز واح مثل جز صارت زيادة بﻩ على ﺏح هى زيادة ﻩا على جز ـع وايضا ان ريد على المختلفة متساوية كان تفاضلها بعد الزيادة مساوياً لتفاضلها قبل الزيادة ومثال ذلك انا ان زدنا على مقدارى ﻩا جز المختلفين مقدارى اب جد المتساويين كان تفاضل ﻩب زد مساوياً لتفاضل ﻩا زﺟ وذلك قد بيّناه قبيل. وزاد ايضا بنبس اشياء اخر. وهى هذه ان البسيط يقاطع البسيط على خط فان كان البسيطان المتقاطعان مسطّحين كان تقاطعهما على خط مستقيم والخط يقاطع الخط على نقطة. فانا قد نختاج الى هذا المعنى فى الشكل الاول والخط المستقيم والبسيط المسطّح قد يمكن من اجل استواهما

ان يخرجا اخراجاً دائماً ابداً. وقد ينبغى ايضا ان تقدّم من قبل الطرق الجزءية هذه الاشيآء فتقول انّ غرض الهندسة كما تقدّم من قولنا الابانة عن المقادير والاشكال والوضع ونسب هذه بعضها عند بعض وقصدها فى كل واحد امّا علمى وامّا عملىّ وما كان قصدها فيه افادة علم سمّى علماً وما كان قصدها فيه افادة عمل سمّى عملاً فالعلمىّ هو ما كانت غايته ان تعرف شياً ما مثل الشكل الرابع من المقالة الاولى وما كان شبيهاً به وهذه الاشكال هى التى من عادتهم ان يقولوا فى اواخرها وذللا ما اردنا ان نبيّن. وامّا العملىّ فهو ما كانت غايته فيما يظهر ان تعمل شياً ما وهذه هى الاشكال التى من عادتهم ان يقولوا فى اواخرها وذلك ما اردنا ان نعمل. ولعلّه ان يقال لنا فكيف تقول ان الهندسة انما قصدها كلّه ان تفيدنا علوماً اذ كانت قد توجد علوماً واعمالاً معاً فنقول فى ذلك ان غاية هذه الاعمال ايضا ان تفيدنا معرفةً فان عمل مثلث متساوى الاضلاع مطلقاً هو افادة معرفة لا افادة صنعة باليد فانّا قد نجد العالم بهذا العمل لا يقدر ان يعمله فى عنصر ولا يضع هذه الصورة فيه لكن يكون عنده ان يصف طريق العمل وحيلته فقط لا غير ذلك فان كان ذلك قد يصير مبداء واوّلاً لصناعات اخر تعالج باليد فليس بمنكر فان الهندسة قد تكون لصناعات كثيرة مبداء واوّلاً وايضاً فان الاعمال التى فى صناعة الهندسة تقوم عند العلوم مقام المقدّمات التى توطّا لها ويشبه ان تكون انما تتقدّم فيستعمل بسببها وبعض الناس قد صيّر فى الاشكال فصلاً ثالثاً

سمّاه الوجدان وهو اذا لم نجعل قصدنا ان نعلم ولا ان نعمل بل ان نقف على ما هو موجود مثل قصدنا فى الشكل الاول من المقالة الثالثة فان قصدنا فيه ان نجد مركز دائرة مفروضة فالفصل بين الوجدان وبين العمل ان الوجدان انما غايته الوقوف على الشى الذى هو موجود ليس ان نستخرج شياً ليس هو موجوداً وامّا الفصل بينه وبين العلم فهو ان المعنى الذى نفيده بالعلم لا نعلم انه موجود او ليس هو موجوداً قبل ان يبرهن مثل ان زوايا المثلث مساويات لزاويتين قائمتين وامّا فى الوجدان فانا نعلم ان للدائرة مركزاً ولكنّا نطلب ان نجد موضعه الّا ان يقول قائل ان الشى الذى يلتمس وجوده ايضاً لا يعلم هل وجوده ممكن ام غير ممكن مثل ملتمس لو التمس ان نجد ترسيم دائرة مفروضة. وقد سمّى الاشكال كلها علوماً واعمالاً باسم مشترك وكل واحد من هذه اعنى العلم والعمل والوجدان ان كان شياً آخر غيرهما ينقسم بستّة اقسام وهى مقدّمة ومثال وتفصيل وعمل وبرهان ونتيجة اما المقدمة فى هذا الموضع فهى الشى الذى يسمّيه المنطقيون الموضوع لان يبيّن وهى والنتيجة فى المعنى شى واحد بيعينه مثل ان نقول انّ كل مثلث فان زواياه الثلث معادلات لزاويتين قائمتين فهذا هو المقدّمة وهو ايضاً النتيجة لانّا متى برهنّا انّ زوايا المثلث الثلث معادلات لزاويتين قائمتين نكون قد حققنا هذا الخبر فيصير نتيجةً وهو ان نقول انه نبيّن ان زوايا كل مثلث معادلات لزاويتين قائمتين وليس هده المقدّمة جزء من القياس الموتلف وحدّها انّها قول يقدّم لنا المعنى الذى

نريد ان نعلمه او نعمله او نجده فإن كان فى ذلك المعنى شى نعطاه وشى يطلب منّا كالحال فى الشكل الاوّل فانا اعطينا فيه خطاً مستقيماً وطلب منّا ان نعمل عليه مثلثا متساوى الاضلاع فانه يحتاج ان يذكر فى المقدّمة المعطى والمطلوب جميعاً وامّا المثال فهو الذى يوقع المعطى فى المقدّمة تحت البصر وامّا التفصيل فهو الذى يفصل المطلوب فى المقدّمة الموضوع فى المثال من جنسه المشترك ويطلب ان يعمل ويبرهن وامّا العمل فهو الذى يرسم الاشيا التى نحتاج اليها فى البرهان بخطوط ويعمل الاشياء التى امرنا ان نعملها وذلك مثل ما فى الشكل الاول من اخراج اضلاع المثلث المتساوى الاضلاع ورسم الدوائر التى تكون بها صنعة المثلث والبرهـ[ـان عـ]ـليه فهذه الاشياء المقدّمة التى قدِّمت لتنتج لنا المطلوب وامّا البرهان فهو الذى يجمع المطلو[ب والا]ـشياء قد تقدّم الاقرار بها فربّما كان من معانى اوليّة فى العقل واقدم الطبع وعند ذلك سمى بر[هان]..... مثل برهان الشكل الاول فان الدوائر المتساوية الخطوط التى تخرج من مراكزها الى محيطاتها متساوية وبهذا القول يتبيّن المطلوب فيه والدائرة اقدم من المثلث وربّما كان البرهان من استدلال مثل ان نبين ان زوايا المثلث الثلث مساوية لزاويتين قائمتين اذ كان هذا المعنى انما يتبيّن من ان كل مربع ينقسم الى مثلثين فانّ المربع هو بعد المثلث بالطبع وامّا النتيجة فهو الذى يفيد المقدمة مثل ان تقول فقد نبيّن ان كل مثلث فان زواياه الثلث معادلات لزاويتين قائمتين فنذكرها بثقةَ اذ قد تبرهنت ولذلك لا نزيد فيها شياً

بتّة اكثر من فاذاً. والاشكال الكاملة يتمّ بهذه الستّة معانى ومنها ما يتمّ بخمسة فقط مثل الشكل الرابع من المقالة الاولى اذ كان ليس يحتاج فيه الى عمل ومنها ما يتمّ باربعة فقط اذا لم يكن فى الشكل شى يفرض فانّه عند ذلك يسقط المثال والتفصيل كما ذلك موجود فى الشكل السابع من المقالة الاولى والبرهان والنتيجة فلا بدّ منهما فى جميع الاشكال وقد ينبغى ان نبيّن ايضاً هذه الاشياء ما الماخوذة وما الفائدة [وما] اختلاف الوقوع وما الاعتاد وما صرف المعنى الى ما لا يمكن فاقول ان الماخوذة هى الشى الذى وان كان فى نفسه علماً وشكلاً فانّه انما يوخذ لان يبيّن به شى آخر مثل ما اخذنا فى الشكل الثانى ضلعى المثلثين فيظهر به ذلك الشى ظهوراً سهلاً ولذلك ينبغى ان يقدّم

قبل ذلك الشى او يوضع تابعاً له بعد ان سلم فى البرهان فى العاجل وامّا الفائدة فهى التى تتبين مع برهان ما قصد لاقامة البرهان عليه فيفاد بدلك البرهان وامّا اختلاف الوقوع فهو وضع صوَر المعنى على وجوه كثيرة يختلف لها البرهان وامّا الاعتاد فهو القول المقاوم للبرهان المانع لخروجه الى غايته. وامّا صرف المعنى الى ما لا يمكن فهو ان نضع نقيض المعنى ونبيّن انّه يعرض من ذلك شى اخر غير ممكن مثل اخذنا فى الشكل السادس ان احد الضلعين اعظم ان امكن فيتبيّن بذلك بطلان بفرض المعنى وصحّة المعنى الموضوع نفسه

تمّت المعانى التى قدّمها سنبليقيوس فى تفسير مصادرة اوقليدس للمقالة الاولى من كتاب الاصول وتتلوه المقالة الاولى من كتاب الاصول ـع

المقالة الاولى من كتاب اوقليدس

الشكل الاوّل خمسة اشكال شكل لاوقليدس واربعة اشكال لايرن قال اوقليدس نريد ان نبيّن كيف نعمل على خطّ مستقيم مفروض معلوم مثلثاً متساوى الاضلاع فليكن الخط المفروض اب ونبيّن كيف نعمل عليه مثلثاً متساوى الاضلاع (ع) فلنجعل نقطة ا مركزاً ونخط ببعد اب دائرة ﺏﺟد ثم نجعل نقطة ب مركزاً ونخط ببعد ﺏا دائرة اﺟد ونخرج من نقطة ﺟ وهى على تقاطع الدائرتين خطى اﺟ و جب وليكونا مستقيمين فلانّ نقطة ا مركز لدائرة ﺏجد وقد خرج منها خطان مستقيمان الى محيطها وهما اﺟ اب فهما اذا متساويان وايضا فلان نقطة ب مركز لدائرة اجد وقد خرج منها خطان مستقيمان الى محيطها وهما خطا ﺏا ﺏﺟ فهما اذاً متساويان فخط ﺏﺟ مساو لخط ﺏا وكل واحد من خطى اﺟ وﺟب مساو لخط اب والمساوية لشى واحد متساوية فخط اﺟ مساو لخط ﺏﺟ فالخطوط الثلثة اذاً متساوية اﺟ ﺏﺟ اب فمثلث ابﺟ متساوى

الاضلاع وقد عمل على خط اب المفروض وذلك ما اردنا ان نبيّن.

قال ايرن ان قيل لنا لمٰ قصد اوقليدس لان نبيّن كيف نعمل على خط مثلث متساوى الاضلاع وقد كان يكتفى فى اعماله بالمثلث المتساوى الساقين دونه قلنا ان ذلك ليس هو بمعجز عن عمل المثلث المتساوى الساقين لكن لانّ عمل المثلث المتساوى الاضلاع اسهل على المبتدى بالتعلم واوجز واذا حصل هذا حصل ذاك وليس يحصل هذا اذا حصل ذاك وقد نبّهنا عمل مثلّث متساوى الساقين على خط مستقيم معلوم ابتداء بهذا الوجه [و]ليكن الخط اب ونجعل ا مركزاً ونخطّ ببعد اب قوس ﺟ ثم نجعل ب مركزاً ونخطّ ببعد ﺏا قوس د ونخرج خط اب على الاستقامة فى الجهتين الى قوسى جد فاﺟ مثل اب و اب مثل ﺏد فاﺟ مثل ﺏد ونجعل اب مشتركا فجب اذا مثل اد ثم نجعل ا مركزاً وندير ببعد اد دائرة دزح ثم نجعل ب مركزاً ونخط ببعد ﺏﺟ دائرة جزح ونخرج من نقطة ز التى هى تقاطع الدائرتين خطى زا زب فلان نقطة ا مركز دائرة زدح وقد خرج منها خطان مستقيمان الى محيطها فهما اذاً متساويان فخط از مساو لخط اد وايضا فلان نقطة ب مركز لدائرة جزح وقد خرج منها الى المحيط خطا ﺏز وﺏﺟ فهما اذاً متساويان فخط از مساو لخط ﺏز وذلك ما اردنا ان نبيّن

ـع ثم وصف ايضا على طريق التوسّع فى العلم كيف نعمل على خطّ مستقيم معلوم مثلث مختلف الاضلاع

على ثلثة انحاء النحو الاول منها على ان يكون الخط المفروض اقصر من احد الضلعين الباقيين واطول من الاخر فلنجعل الخط خط اب ونجعل ا مركزاً وندير ببعد اب دائرة ﺏﺟد وايضا نجعل نقطة ب مركزاً ونخط ببعد ﺏا دائرة اجح ونخرج خط ازح كيف وقع وكذلك خط ﺏﻁﮐ فمن البيّن انّ خط اط اطول من خط اب وخط اب اطول من خط ﺏط وذلك ما اردنا ان نبيّن ع والنحو الثانى على ان يكون الخط المفروض اقصر من كل واحد من الخطّين الباقيين فليكن الخط اب وليخرج على استقامة فى الجهتين حتى يكون ﺏد مثل اب وكذلك اﺟ مثل اب على ما عملنا فى المتساوى الساقين ونجعل نقطة ا مركزاً ونخط ببعد اد دائرة دﻩح ثم نجعل نقطة ب مركزاً ونخط ببعد بﺟ دائرة ﺟﻩطح ونخرج ﻁا و ﺏط فخط ﻁا اطول من خط اد اعنى من خط ﺏﺟ فهو اذاً اطول من خط ﺏا كثيراً وخط ﻁﺏ مثل بﺟ فخط ﻁا اطول ايضاً من خط طﺏ ومن البيّن ان خط طﺏ اطول من خط ﺏا اذ كان مساويا لخط ﺏد. والنحو الثالث ان يكون الخط المفروض اطول من كل واحد من الخطين فليكون الخط المفروض خط اب ونجعل نقطة ا مركزاً ونخط ببعد اب دائرة دﺟﺏﻩ ثم نجعل نقطة ب مركزاً ونخط ببعد ﺏا دائرة اده ونخرج خطى اﺟ ﺏح يتقاطعان على نقطة ز فمن البيّن ان خط اب اطول من كل واحد من خطى از ﺏز وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثانى من المقالة الاولى

نريد ان نبين كيف نصل بنقطة (ط) معلومة (ع) خطاً مستقيما مساوياً لخط مستقيم مفروض فنجعل النقطة المفروضة نقطة ا والخط المفروض خط بﺟ ونبيّن كيف نصل بنقطة ا المفروضة خطا مستقيماً مساوياً لخط بﺟ فنصل بين نقطتى اب بخط اب ونعمل عليه مثلثا متساوى الاضلاع كما عملنا فى الشكل الاول من هذه المقالة وليكن مثلث ادب ونخرج خطى دا دب على الاستقامة ولا نجعل لهما حدّا ثم نجعل نقطة ب مركزاً ونخط ببعد بﺟ دائرة ﺟﻩز ثم نجعل نقطة د مركزاً ونخط ببعد ده دائرة دﻩط فلانّ نقطة ب مركز لدائرة ﺟﻩح وقد خرج منها خطّا بﺟ بﻩ الى محيطها فمن البيّن انهما متساويان. وايضا فان نقطة د مركز لدائرة زﻩﺟط وقد خرج منها خطا دذ ده الى محيط الدائرة فمن البيّن انهما متساويان وقد كنّا عملنا مثلث اﺏد متساوى الاضلاع فخط دا مساو لخط دب فاذا اسقطناهما من خطى ده دز المتساويين يبقى خط از مساوياً لخط ﺏه وقد كنّا بيّنا ان خط بﺟ مساو لخط ﺏه فكل واحد من خطى از بﺟ مساو لخط بﻩ والمساوية لشى واحد متساوية فخط از اذاً مساو لخط بﺟ فقد وصلنا بنقطة ا المفروضة خط از المستقيم مساوياً لخط بﺟ المفروض الموضوع وذلك ما اردنا ان نبيّن.

قوله نريد ان نصل بنقطة مفروضة خطاً انما عنى به ان يكون النقطة طرفاً للخط الذى يوصل بها فان ذلك هو الذى احتاج اليه فى العمل فى هذا الكتاب وقدّمه

على سائر الاتّصالات منها ان يكون الخط المفروض مثل خط بﺟ والنقطة المفروضة يكون وضعها على الخط نفسه مثل نقطة ا ونريد ان نصل بنقطة ا خطاً مستقيماً مساوياً لخط بﺟ ولتكن نهاية الخط اعنى طرفه تنتهى الى نقطة ا فنعمل على احد قسمى الخط اعنى قسم اب مثلثاً متساوى الاضلاع وذلك بحسب برهان الشكل الاول من هذه المقالة وليكن مثلث اﺏد ونخرج خطى دب دا على الاستقامة ولا نجعل لاخراجهما حداً حتى اذا ادرنا الدوائر فضل من الخطين فضول ثم نجعل نقطة ب مركزاً ونخط ببعد بﺟ دائرة ﺟﻩز فمن البيّن ان خط بﺟ مساو لخط ﺏز وايضا فانا نجعل نقطة د مركزاً ونخط ببعد دز دائرة زﺡط فمن البيّن ان خط دز مساو لخط دح فاذا اسقطنا خطى دا دب المتساويين من خطى دز ودح المتساويين بقى خط ﺏز مساوياً لخط اح وقد كنّا بيّنا ان خط ﺏز مساو لخط بﺟ والمساوية لشى واحد متساوية فخط اح اذاً مثل خط بﺟ فقد وصلنا بنقطة ا خط اح مساويا لخط بﺟ ونقطة ا نهايته وذلك ما اردنا ان نبيّن. ـع وايضاً فلا تكوننّ نقطة ا فى نهاية الخط المطلوب ولكن ليجتز عليها فنعمل على خط ﺏا مثلثاً متساوى الاضلاع وهو ادب ونخرج خطى دا دب على استقامة ونجعل نقطة ا مركزاً ونخط ببعد اﺟ قوس ﺟﻩ فمن البيّن ان خط اﺟ مثل خط اه وخط ﺏا مثل خط دا فخط بﺟ مثل خط ده وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثالث من المقالة الاولى

نريد ان نبيّن كيف نفصل (ع) من اطول خطين مختلفين مفروضين مثل اقصرهما (ط) فنجعل الخطين المفروضين خطى اب بﺟ ونبيّن كيف نفصل من اب الاطول مثل بﺟ الاقصر فنصل بنقطة ا التى هى طرف خط اب خطاً مساوياً لخط بﺟ كما بيّن ببرهان ب من ا وليكن خط اد ثم نجعل نقطة ا مركزاً ونخط ببعد اد دائرة دﻩز فمن البيّن ان خط اه مثل خط اد وكنّا وصلنا اد بنقطة ا على انه مساو لخط بﺟ فخطّا بﺟ ا[ه] كل واحد منهما مساو لخط اد والمساوية لشى واحد فهى متساوية فخط اه مثل خط بﺟ فقد فصلنا من خط اب الاعظم مثل خط بﺟ الاصغر وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الرابع من المقالة الاولى

اذا تساوت زاويتان (ع) من مثلثين وتساوت اضلاعهما المحيطة بهما كل ضلع ونظيره تساوت (ط) قاعدتاهما وسائر زواياهما كل زاوية ونظيرتها وتساوى المثلثان مثاله ان زاويتى ﺏاﺟ ﻩدز من مثلّثى ابﺟ دﻩز متساويتان وضلع اب مثل ضلع ده وضلع اﺟ مثل ضلع دز فاقول ان قاعدة بﺟ مساوية لقاعدة ﻩز وزاوية ابﺟ مساوية لزاوية دﻩز وزاوية اﺟب مساوية لزاوية دزه ومثلث ابﺟ مساو لمثلث دﻩز برهانه انا اذا ركّبنا مثلث ابﺟ على مثلث دﻩز فانا نبتدى فنركّب نقطة ا على نقطة د وخط اب على خط ده فاذا فعلنا

ذلك تركّبت نقطة ب على نقطة ه لان خط اب مثل خط ده وايضا اذا ركّبنا زاوية ﺏاﺟ على زاوية ﻩدز تركّبتا لانّهما متساويتان وتركّب خط اﺟ على خط دز وتركّبت نقطة ﺟ على نقطة ز لان خطى اﺟ دز متساويان فمن البيّن ان خط بﺟ يتركّب على خط ﻩز ويتركّب المثلث على المثلث فتصير زاوية ابﺟ مساوية لزاوية دﻩز وزاوية اجب مساوية لزاوية دزه فقد تساوى المثلثان وذلك ما اردنا ان نبيّن ـع فان تركب ضلع اب على ضلع ده وزاوية ا على زاوية د وضلع اﺟ على ضلع دز ولم تتركب قاعدة ﻩز على قاعدة بﺟ وصار وضع قاعدة بﺟ من قاعدة ﻩز كوضع خط زحﻩ وخط زحﻩ مستقيم فقد احاط بسطح زحﻩ المستقيم الخطوط خطان مستقيمان وذلك غير ممكن.

الشكل الخامس من المقالة الاولى

كل مثلث متساوى (ع) الساقين فان زاويتيه اللتين تقعان فوق القاعدة متساويتان (ط) وان اخرج ضلعاه (ع) المتساويان فان الزاويتين اللتين تقعان تحت القاعدة ايضا متساويتان (ط) مثاله ان مثلث ابﺟ متساوى الساقين وهما ساقا اب اﺟ وقد اخرجا على الاستقامة الى نقطتى ده فاقول انّ زاويتى ابﺟ [اﺟب] اللتين فوق القاعدة متساويتان وان زاويتى ﺟﺏد و بﺟﻩ ايضا متساويتان. برهانه انا نعلم (نعمل .scr) على خط اد نقطة ز ونفصل من خط اه خط اح مساوياً

لخط از كما بيّن ببرهان جـ من ا ونصل خطى ﺟز ﺏح فلاّن خط از مثل اح وخط اب مثل خط اﺟ فضلعا از اﺟ من مثلث اﺟز مساويان لضلعى اح اب من مثلث اﺏح كل ضلع مساو لنظيره وزاوية ا مشتركة لمثلثى اﺟز اﺏح لانها تحيط بها الاضلاع المتساوية فمن اجل برهان د من ا تكون قاعدة ﺟز مساوية لقاعدة ﺏح ومثلث اﺟز مثل اﺏح وسائر الزوايا مثل سائر الزوايا زاوية ازﺟ مثل زاوية احﺏ وزاوية اﺟز مثل زاوية اﺏح ولانا كنّا فصلنا خط اح مثل خط از وساق اب فرض مساوياً لساق اﺟ فاذا اسقطنا اب اﺟ المتساويين من از اح المتساويين فمن البيّن بحسب المصادرة ان يبقى خط ﺏز مثل خط ﺟح وقد بيّنا انّ خط ﺟز مثل خط ﺏح وان زاوية ﺏزﺟ مثل زاوية ﺟحﺏ وقاعدة بﺟ مشتركة فبحسب برهان د من ا يكون مثلث جزب مثل مثلث ﺏحﺟ وسائر الزوايا مثل سائر الزوايا كل زاوية مثل نطيرتها فزاوية ﺟﺏز التى تحت القاعدة مثل زاوية بﺟح التى تحت القاعدة وزاوية بﺟز مثل زاوية ﺟﺏح وقد كنّا بيّنا ان زاوية اﺏح مساوية لزاوية اﺟز فاذا اسقطنا زاويتى بﺟز ﺟﺏح المتساويتين بقيت زاوية ابﺟ التى قوق القاعدة مساوية لزاوية اﺟب التى فوق القاعدة وقد تبيّن ان زاوية ﺟﺏز التى تحت القاعدة مثل زاوية ﺏﺟح التى تحت القاعدة وذلك ما اردنا ان نبين.

الشكل الزائد ان قيل لنا لم قام البرهان على الزاويتين اللتين تحت القاعدة ولم نجده استعملهما فى كتابه قلنا انه علم ما يتشكّك فى الشكل السابع وفى الشكل التاسع فقدّم بيان ذلك ليحل به الشكّ كما سنبيّن

ذلك فيهما فانه قد كان يتهيأ ان نبيّن انّ الزاويتين اللتين على القاعدة متساويتان من غير استعمال تساوى اللتين تحت القاعدة على هذا الطريق ليكن ساقا اب اﺟ من مثلث ابﺟ متساويين فاقول ان زاوية ابﺟ مثل زاوية اﺟب برهانه انا نعلم على خط اب نقطة د ونفصل من خط اﺟ خط اه مساوياً لخط اد ونخرج خطوط ده دﺟ ﻩب فلان ﺏا مثل اﺟ وخط اد مثل خط اه فانّ كل ضلعى اب اه من مثلث ابﻩ مثل كل ضلعى اﺟ اد من مثلث اﺟد كل ضلع مساو لنظيره وزاوية ا مشتركة للمثلثين فبحسب برهان د من ا تكون قاعدة بﻩ مثل قاعدة ﺟد وزاوية اﻩب مثل زاوية ادﺟ وزاوية ابﻩ مثل زاوية اﺟد فنسقط خطى اد اه المتساويين من خطى اب اﺟ المتساويين فيبقى خط دب مثل خط هﺟ وقد كنّا بيّنا انّ خط بﻩ مثل خط ﺟد وان زاوية دبﻩ مثل زاوية هﺟد وقاعدة ده مشتركة فبحسب برهان د من ا تكون زاوية ﺏده مثل زاوية ﺟﻩد وزاوية بﻩد مثل زاوية ﺟده فاذا اسقطناهما من زاويتى ﺏده و ﺟﻩد المتساويتين بقيت زاوية ﺏدﺟ مساوية لزاوية بﻩﺟ و[الا]ضلاع المحيطة بهما متساوية كل ضلع مساو لنظيره وقاعدة بﺟ مشتركة لهما فبحسب برهان د من ا تكون زاوية ابﺟ مثل زاوية اﺟﺏ وذلك مااردنا ان نبيّن.

الشكل السادس من المقالة الاولى

اذا تساوت (ع) زاويتان من مثلّث فهو متساوى (ط) الساقين مثاله ان زاويتى ابﺟ اﺟب من مثلث ابﺟ متساويتان فاقول ان ساق اب مثل ساق اﺟ برهانه ان امكن ان تكون الزاويتان متساويتين

والساقان غير متساويين فليكن ساق اب اعظم من ساق اﺟ ان امكن ذلك ونفصل من اب الاعظم مثل اﺟ الاصغر كما بيّنا ببرهان جـ من ا وليكن ﺏد ونخرج دﺟ وضلع اﺟ مثل ضلع دب وناخذ ضلع بﺟ مشتركا فضلعا اﺟ ﺟب من مثلث اﺟب الاعظم مثل ضلعى دب بﺟ من مثلث دﺟب الاصغر كل ضلع مساو لنظيره وزاوية اﺟب مثل زاوية ﺟﺏد فيما بيّنّا ببرهان د من ا تكون قاعدة اب مساوية لقاعدة ﺟد ومثلث ابﺟ الاعظم مساوياً لمثلث دﺟب الاصغر وهذا خلف غير ممكن فقد تبيّن انه لا يمكن ان يكون اب اعظم من اﺟ ولا اصغر فهو اذاً مثله وذلك ما اردنا ان نبيّن.

وخبر هذا الشكل يجوز ان يقال كل مثلث تكون الزاويتان اللتان فوق القاعدة منه متساويتين فانه متساوى الساقين ويجوز ان يقال ايضا اذا تساوت زاويتان من مثلث فان الضلعين اللذين يوترانهما متساويان. وفى الشكل ممّا هو مضاف اليه.

كل مثلث تكون زاويتاه اللتان تحت القاعدة متساويتين فانّه متساوى الساقين مثاله مثلث ابﺟ اخرج ضلعاه ﺏا بﺟ الى د والى ه فكانت زاوية ﺟﺍد مثل زاوية اﺟه فاقول ان ضلع ﺏا مثل ضلع بﺟ فان لم يكن مثله فلننزل ان ﺏا اعظم من بﺟ ونفصل اط مثل بﺟ كما بيّن ببرهان جـ من ا ونخرج ﺟط ونعلم على خط اد نقطة ز ونفصل ﺟح مثل از كما بيّن ببرهان جـ من ا ونصل خطى اح ﺟز فلانّا فصلنا خط ﺟح مثل از وناخذ اﺟ مشتركاً فكلا خطى حﺟ ﺟﺍ مثل كلى خطى زا اﺟ وزاوية اﺟح فرضت مثل زاوية ﺟاز فيما بيّن ببرهان د من ا تكون قاعدة اح

مساوية لقاعدة ﺟز ومثلث اﺟز مساوياً لمثلث اﺟح وزاوية ازﺟ مثل زاوية احﺟ وايضا فانا فصلنا حﺟ مثل از وفصلنا اط مثل ﺟب فاذا زدنا على المتساوية متساوية كان خط زط مثل خط حﺏ باسره وقد بيّنا ان اح مثل ﺟز وان زاوية احﺟ مثل زاوية ازﺟ فضلعا ﺏح ﺡا من مثلث ﺡاب مثل ضلعى ﻁز زﺟ من مثلث زﺟط كل ضلع مثل نظيره وزاوية ح مثل زاوية ز فبحسب برهان د من ا يكون مثلث ﺡاب مثل مثلث زﺟط وقد كنّا بيّنّا ان مثلث احﺟ مثل مثلث اﺟز فاذا اسقطنا من المتساوية متساوية بقى مثلث ابﺟ مثل مثلث اﻁﺟ الاعظم مثل الاصغر وهذا خلف غير ممكن فليس يمكن ان يكون ساق اب اعظم من ساق بﺟ ولا اصغر منه فهو اذاً مثله وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل السابع من المقالة الاولى

اذا اخرج من طرفى خط خطان فالتقى طرفاهما على نقطة فليس يمكن ان يخرج من مخرجيهما خطان اخران مساويان لهما فى تلك الجهة يلتقى طرفاهما على غير تلك النقطة مثاله انه قد اخرج من طرفى خط اب خط(ـا) اﺟ بﺟ والتقيا على نقطة ﺟ فاقول انه غير ممكن ان يخرج من نقطة ا خط مسار لخط اﺟ ومن نقطة ب خط مساو لخط بﺟ فى تلك الجهة يلتقى طرفاهما على غير نقطة ﺟ برهانه ان امكن ذلك فليخرجا وليكونا اد ﺏد ولننزل ان اد مثل اﺟ وﺏد مثل بﺟ ونخرج خط ﺟد فمثلث اﺟد متساوى الساقين فزاوية اﺟد مثل زاوية ادﺟ وهذا بيّن من برهان ه من ا فزاوية بﺟ[د] اذاً اصغر من زاوية ادﺟ وايضا فان مثلث بﺟد

متساوى الساقين بﺟ مثل ﺏد فبحسب برهان ه تكون زاوية ﺏﺟد مساوية لزاوية ﺏدﺟ ولكن زاوية ﺏدﺟ اعظم من زاوية ادﺟ وييّنا ان زاوية ادﺟ اعظم من زاوية ﺏﺟد فاذاً زاوية ﺏدﺟ اعظم من زاوية ﺏﺟد بكثير وهما متساويان هذا خلف غير ممكن فغير [ممـ]ـكن ان يخرج من طرفى خط خطان يلتقى طرفاهما على نقطة ويخرج من مخرجيهما خطان اخران مساويان لهما فى تلك الجهة يلتقيان على غير تلك النقطة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

ان قال قائل انه قد يمكن ان يخرج من طرفى خط اب خطا اﺟ بﺟ مساويين لخطى اد ﺏد حتى يكون اﺟ مثل اد و ﺏﺟ مثل ﺏد فنقول ان ذلك غير ممكن فنصل خط ﺟد ونخرج خطى اﺟ اد على استقامتهما الى نقطتى ﻩز فمن اجل ان مثلث اﺟد متساوى الساقين اﺟ مثل اد فبحسب برهان ه من ا تكون الزاويتان اللتان تحت القاعدة متساويتين فزاوية ﻩدﺟ مثل زاوية زﺟد فزاوية زﺟد اعظم من زاوية ﺏدﺟ وايضا مثلث ﺏدﺟ متساوى الساقين ﺏد مثل ﺏﺟ فبحسب برهان ه من ا تكون الزاويتان اللتان فوق القاعدة متساويتين فزاوية ﺏدﺟ مثل زاوية ﺏﺟد وقد كنّا بيّنّا ان زاوية زﺟد اعظم من زاوية ﺏدﺟ فيجب ان تكون زاوية ﺏﺟد اعظم من زاوية ﺏدﺟ بكثير وهى مثلها هذا خلف غير ممكن فقد بان من هذا الانتفاع بما بيّن فى ه من ا من تساوى الزاويتين اللتين تحت القاعدة.

الشكل الثامن من المقالة الاولى

كل مثلثين (ع) تساوى ضلعان من احدهما ضلعين من الاخر كل

ضلع (ضلع) لنظيره وتساوى القاعدة القاعدة فان الزاويتين اللتين يحيط بهما الاضلاع المتساوية من المثلثين متساويتان (ط) مثاله ان ضلعى مثلث ابﺟ مساويان لضلعى مثلث دﻩز ضلع اب مساو لضلع ده وضلع اﺟ مساو لضلع دز وقاعدة بﺟ لقاعدة ﻩز فاقول ان زاوية ﺏاﺟ مساوية لزاوية ﻩدز. برهانه ان مثلث ابﺟ ان ركّب على مثلث دﻩز بان تبتدى فتركّب نقطة ب على نقطة ه وخط بﺟ على خط ﻩز فمن البيّن ان نقطة ﺟ تتركّب على نقطة ز لان قاعدتى ﺏﺟ ﻩز متساويتان فاذا تركّبت قاعدة بﺟ على قاعدة ﻩز تركّب ضلع اب على ضلع ده لانهما متساويان وتركّب ايضا ضلع اﺟ على ضلع دز وتركب المثلث على المثلث وتركّبت زاوية ا على زاوية د فان امكن ان تتركّب القاعدة على القاعدة ولا يتركب الضلعان كما وصفنا على الضلعين فلنصيِّر وضعهما كوضع خطى ﻩح زح فقد خرج من طرفى خط خطان والتقى طرفاهما على نقطة وخرج من مخرجيهما خطان اخران مساويان لهما فى تلك الجهة التقى طرفاهما على نقطة وقد بيّنّا ببرهان ز من ا ان هذا غير ممكن فكل مثلثين تساوى ضلعان من احدهما ضلعين من الاخر كل ضلع لنظيره وتساوى القاعدة القاعدة فان الزاويتين اللتين يحيط بهما الاضلاع المتساوية متساويتان وذلك ما اردنا ان نبين.

مضاف الى الشكل الثامن من المقالة الاولى ينسب الى بيان على غير طريق الخلف.

نركّب قاعدة بﺟ من مثلث ابﺟ على قاعدة ﻩز من مثلث دﻩز وليقع خطا اب اﺟ من الجهة الاخرى كخطّى ﻩح زح ونصل دح فلان

خط ده مثل خط ﻩح فببرهان ه من ا تكون الزاويتان اللتان فوق القاعدة متساويتين فزاوية دحﻩ مساوية لزاوية ﺡده وبهذا البرهان يتبين ان زاوية دﺡز مساوية لزاوية ﺡدز فزاوية ﻩدز باسرها مساوية لزاوية هﺡز وذلك ما اردنا ان نبيّن. وقد يمكن ان يتّصل خط اب بخط دز على استقامة كخط دزح فمن اجل ان مثلث دهﺡ متساوى الساقين ساف ده مثل ساف ﺡه تكون زاوية ﻩدح مثل زاوية هﺡز (و) وضع ان خط اب كانّه يتصل بخط دز على استقامته وخط ﺡه هو خط اﺟ وذلك ما اردنا ان نبيّن. وقد يمكن ان يتّصل خط اب بخط دز اتّصالاً يحدث منه مع خط دز زاوية فى الجهة الاخرى فليكن كذلك كخط ﺡز ونصل خط دح فلانّ مثلث دهﺡ متساوى الساقين ساق ده مثل ساق هﺡ فببرهان ه من ا تكون زاوية ﻩدح مساوية لزاوية هﺡد وايضا فلان مثلث دزح متساوى الساقين فببرهان ه تكون زاوية زدح مثل زاوية زﺡد فاذا اسقطنا من المتساوية متساوية بقيت زاوية ﻩدز مساوية لزاوية هﺡز وذلك ما اردنا ان نبيّن

ليست هذه الاشكال لازمةً للبرهان لانا اذا اطبقنا القاعدة على القاعدة لم نعلم حال زاويتى اد.

الشكل التاسع من المقالة الاولى

نريد ان نبين كيف نقسم زاوية مفروضةً بنصفين فلتكن الزاوية ﺏاﺟ فنعلم على خط اب علامة د ونفصل من خط اﺟ خط اه مساوياً لخط اد كما بيّن ببرهان جـ من ا ونخرج خط ده ونعمل على خط ده مثلثا متساوى الاضلاع وليكن مثلث دزه

ونصل خط از فلانّ ضلع دا مساو لضلع اه وضلع از مشترك فضلعا دا واز مساويان لضلعى ﻩا واز وقاعدة دز مساوية لقاعدة ﻩز فببرهان ح من ا تكون زاوية داز مساوية لزاوية ﻩاز فقد قسمنا زاوية ﺏاﺟ بنصفين بخط از وذلك ما اردنا ان نبين.

مضاف الى هذا الشكل

ان قيل ان المثلث المتساوى الاضلاع الذى نعمل على خط بﺟ من مثلث ابﺟ يقع على خط اﺏز فيكون ضلع ﺏد مساوياً لكل واحد من ضلعى بﺟ ﺟد فلانّ مثلث ابﺟ متساوى الساقين فببرهان ه من ا تكون زاوية زبﺟ مساوية لزاوية بﺟه وهما اللتان تحت القاعدة وايضا فان مثلث دبﺟ متساوى الساقين فببرهان ه من ا فان الزاويتين اللتين فوق القاعدة متساويتان فزاوية ﺟﺏد مساوية لزاوية بﺟد الغطمى للصغرى هذا خلف غير ممكن وان قيل انه يخرج عن خطّ اﺏز كانت الشناعة اقبح وذلك ما اردنا ان نبيّن

الشكل العاشر من المقالة الاولى

نريد ان نبين كيف نقسم (ط) خطاً (ع) معلوماً بنصفين فليكن خط اب ونعمل عليه مثلثاً متساوى الاضلاع كما بيّن [ببرهان] ا من ا وليكن مثلث ابﺟ ونقسم زاوية اﺟﺏ بنصفين كمّا بيّن ببرهان ط من ا فضلع ﺟا من مثلث اﺟد مثل ضلع بﺟ من مثلث بﺟد وناخذ ضلع ﺟد مشتركاً فضلعا اﺟ ﺟد مساويان لضلعى بﺟ ﺟد كل ضلع لنظيره وزاوية اﺟد مساوية لزاوية بﺟد فببرهان د من ا تكون قاعدة اد مثل قاعدة ﺏد فقد قسمنا خط اب بنصفين على علامة د وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الحادى عشر من المقالة الاولى.

نريد ان نبين كيف نخرج من نقطة معلومة من خط معلوم خطاً يكون عموداً عليه فلننزل ان الخط المعلوم خط اب والنقطة المعلومة نقطة ﺟ ونبين كيف نخرج منها خطا يكون عموداً على خطّ اب فنعلم على خط اب نقطة د ونفصل من خط ﺟب خط ﺟه مساوياً لخط دﺟ كما بيّن ببرهان جـ من ا ونعمل كما عملنا ببرهان ا من ا على خط ده مثلثا متساوى الاضلاع وليكن مثلث دﻩح ونصل بين نقطتى ﺟح بخط ﺟح فلان ضلع دﺟ مساو لضلع ﺟه وناخذ ﺟح مشتركاً فضلعا دﺟ ﺟح من مثلث دﺟح مساويان لضلعى هﺟ ﺟح من مثلث ﺟﻩح كل ضلع لنظيره وقاعدة دح مساوية لقاعدة ﻩح فبحسب برهان ح من ا تكون زاوية دﺟح مساوية لزاوية ﻩﺟح وبحسب المصادرة اذا قام خط مستقيم على خط مستقيم فكانت الزاويتان اللتان عن جنبتى الخط القائم متساويتين فكل واحدة منهما قائمة والخط القائم يقال له العمود فخط حﺟ اذاً عمود على خط اب فقد اخرجنا من نقطة ﺟ من خط اب خطا مستقيما عموداً على خط اب وذلك ما اردنا ان نبين.

مضاف الى هذا الشكل لايرن.

نريد ان نخرج من نقطة ا التى هى طرف الخط خطاً مستقيماً يكون عموداً على خط اب فنعلم على خط اب نقطة ﺟ ونخرج منها عمود ﺟد كما اخرجنا بحسب برهان يا من ا وليكن خروج ﺟد غير محدود ونفصل ﺟد مساوياً لخط اﺟ ونخرج عمود ده اخراجاً غير محدود ونقسم زاوية اﺟد بنصفين بخط مستقيم بحسب برهان ط من ا

يلقى خط ده ولننزل انه لقبه على نقطة ه ونصل بين نقطتى اه بخط اه فاقول ان خط اه عمود على خط اب على نقطة ا برهانه انا فصلنا ﺟد مثل اﺟ وﺟه مشترك وعملنا زاوية اﺟه مساوية لزاوية دﺟه فمما بيّن ببرهان [د] من [ا] تكون زاوية ﺟاه مساوية لزاوية ﺟده وقد كنّا عملنا زاوية ﺟده قائمة فزاوية ﺟاه قائمة فخط اه اذن عمود على نقطة ا من خط اب وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثانى عشر من المقالة الاولى

نريد ان نبيّن كيف نخرج من نقطة مفروضة الى خط (ع) مستقيم معلوم غير محدود خطاً (ط) يكون عموداً عليه فلننزل ان النقطة هى نقطة ﺟ والخط المستقيم غير المحدود خط اب فنعلم فى الجهة الاخرى من الخط نقطة كيف ما وقعت ولتكن نقطة د وندير على نقطة ﺟ وببعد ﺟد دائرة دﻩز ونخرج من نقطة ﺟ التى هى المركز خطّين الى موضع تقاطع الدائرة والخط المستقيم وليكونا خطى ﺟه ﺟز ونقسم خط ﻩز بنصفين كما بيّنّا ببرهان يـ من ا على نقطة ح ونخرج خط حﺟ فاقول ان خط حﺟ عمود على خط اب برهانه ان ضلع ﻩح من مثلث ﺟﻩح مساو لضلع ﺡز من مثلث زحﺟ وناخذ حﺟ مشتركاً فكلا ضلعى ﻩح حﺟ مثل كلى ضلعى زح ﺡﺟ كل ضلع مساو لنظيره وقاعدة ﺟه مساوية لقاعدة ﺟز لانهما خرجا من المركز فمما بيّنّا ببرهان ح من ا تكون زاوية ﻩحﺟ مساويةً لزاوية ﺟﺡز وكل خط يقوم على خط فيصير الزاويتان اللتان عن جنبتى الخط القائم متساويتين فان كل واحدة منهما قائمة والخط القائم يقال له العمود عمود على الخط

الذى هو قائم عليه فخط ﺟح عمود على خط اب فقد اخرجنا من نقطة ﺟ المعلومة الى خط اب الذى ليس بمعلوم القدر خط ﺟح عموداً ا عليه وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثالث عشر من المقالة الاولى

كل خط مستقيم (ع) يقوم على خط مستقيم فان الزاويتين اللتين عن جنبتى الخط القائم امّا قائمتان (ط) وامّا معادلتان لقائمتين مثاله ان خط اب قائم على خط دﺟ فاقول ان زاويتى ابﺟ واﺏد اللتين عن جنبتى خط اب قائمتان او معادلتان لقائمتين برهانه ان خط اب ان كان عموداً على خط ﺟد فان زاويتى ابﺟ و اﺏد قائمتان بحسب ما صودر به فى هذه المقالة اذ كان هذا من الاشياء الاول وان لم يكن خط اب عموداً على خط دﺟ فانا نخرج من نقطة ب خطاً يكون عموداً على خط دﺟ كما بيّنّا ببرهان يا من ا وليكن خط خط ﺏه فزاويتا ﻩبﺟ هﺏد قائمتان وهما مساويتان للثلث الزوايا اعنى زوايا ابﺟ اﺏه هﺏد لان زاوية هﺏﺟ القائمة مثل مجموع زاويتى ابﺟ ابﻩ وايضاً فانّ مجموع زاويتى اﺏد وابﺟ مثل مجموع اللثلث زاويا اعنى زوايا دﺏه هﺏا ابﺟ لان زاوية اﺏد المنفرجة مساوية لمجموع زاويتى اﺏه هﺏد والمساوية لشى واحد فهى متساوية اعنى ان زاويتى هﺏﺟ هﺏد القائمتين مثل مجموع الثلث زوايا التى ذكرناها فمجموع زاويتى ابﺟ واﺏد مساو لمجموع زاويتى ﻩبﺟ هﺏد القائمتين فقد تبيّن ان كل خط مستقيم يقوم على خط اخر مستقيم فان الزاويتين اللتين

عن جنبتى الخط القائم قائمتان او معادلتان لزاويتين قائمتين وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الرابع عشر من المقالة الاولى

اذا خرج من نقطة فى خط خطان (ع) فى جهتين مختلفين فكانت الزاويتان اللتان عن جنبتى الخط المخرج منه معادلتين لزاويتين قائمتين فان الخطين المخرجين قد (ط) اتّصلا على استقامة وصارا خطاً واحداً مثاله انه قد خرج من نقطة ب من خط اب خطا بﺟ ﺏد فى جهتين مختلفتين وصارت زاويتا ﺟﺏا اﺏد معادلتين لزاويتين قائمتين فاقول ان خطى بﺟ ﺏد قد اتّصلا على استقامة فصارا خطاً واحداً برهانه انه لا يمكن الا ذلك فان امكن ان نتصل بنقطة ب خطاً اخر غير ﺏد ويصيرا جميعاً خطاً واحداً مستقيما فليكن ذلك الخط خط ﺏه فان امكن ان يكون خط ﺏه قد اتّصل بخط بﺟ على استقامة وخط اب قائم على خط ﺟﺏه فالزاويتان اللتان عن جنبتى خط اب معادلتان لزاويتين قائمتين اعنى مجموع زاويتى ابﺟ اﺏه كما بيّن ببرهان يجـ من ا وقد كانت زاويتا ابﺟ اﺏد معادلتين لقائمتين فمجموع زاويتى ابﺟ اﺏه مساو لمجموع زاويتى ابﺟ اﺏد فنسقط زاوية ابﺟ المشتركة فتبقى زاوية اﺏد العظمى مساوية لزاوية اﺏه الصغرى هذا خلف غير ممكن فقد تبيّن انه غير ممكن ان يتصل بخط بﺟ خط اخر فيصير معه خطاً واحداً مستقيما غير خط ﺏد وذلك ما اردنا ان نبيّن

ع زيادة وقد يبرهن ببرهان آخر على سبيل التوسّع والارتياض فلننزل انه قد خرج من نقطة ب من خط اب

خطا بﺟ ﺏد وصارت زاويتا ابﺟ اﺏد معادلتين لقائمتين فاقول انهما قد اتّصلا على استقامة فصارا خطاً واحداً برهانه انه ممكن ان نخرج من نقطة ب التى نهاية مشتركة لخطى ﺟب ﺏد خطاً يكون عموداً على نهايتيهما لانه ان كان عموداً على احدهما دون الاخر فان زاويتى ابﺟ واﺏد لا تكونان معادلتين لقائمتين وليكن خط ﺏه ونفرض خطا اخر عليه زح ونعلم عليه علامة ط ونخرج من نقطة ط خط طل (طﮐ .s) عموداً على خط زح فمن البيّن ان زاوية زﻁﮐ مساوية لزاوية دﺏه فاذا ركّبنا زاوية زطﮐ على زاوية ﺟﺏه بان نضع نقطة ط على نقطة ب ونركّب خط ﻁز على خط بﺟ وخط ﻁﮐ على خط ﺏه ونركّب ايضا زاوية ﮐﻁح على زاوية هﺏد لانهما ايضا متساويتان ونركب خط ﻁح على خط ﺏد فيتركب اذن خط زﻁح باسره على خط ﺟﺏد لكن خط زﻁح خط واحد مستقيم فخط ﺟﺏد ايضا خط واحد مستقيم وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الخامس عشر من المقالة الاولى

كل خطين (ع) مستقيمين يتقاطعان (فكل زاوية تحدث من تقاطعهما مساوية للتّى تقابلها) فانّ كل زاويتين تتقابلان متساويتان (ط) والزوايا الاربع معادلة (ط) لاربع زوايا قائمة مثاله ان خطى اب ﺟد يقاطعا على نقطة ه فاقول ان زاوية اهﺟ مساوية لزاوية بﻩد وزاوية اﻩد مساوية لزاوية ﺟﻩب والزوايا الاربع اهﺟ ﺟﻩب بﻩد

دﻩا معادلات لاربع زوايا قائمة برهانه ان خط اه قائم على خط ﺟد فببرهان يجـ من ا تكون زاويتا اهﺟ اﻩد معادلتين لقائمتين وايضا خط ﺟه قائم على خط اب فزاويتا اﻩﺟ ﺟﻩب معادلتلن لزاويتين قائمتين فننقص زاوية اهﺟ المشتركة فتبقى زاوية اﻩد مساوية لزاوية ﺟﻩب وايضا فان خط ﺟه قائم على خط اب فزاويتا اهﺟ ﺟﻩب معادلتان لزاويتين قائمتين فنسقط زاوية ﺟﻩب المشتركة فتبقى زاوية اهﺟ مساوية لزاوية بﻩد فقد تبيّن ان الزوايا المتقابلة متساوية وقد تبيّن ايضا مما وصفنا ان الزوايا الاربع معادلة لاربع زوايا قائمة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل السادس عشر من المقالة الاولى

كل مثلث يخرج ضلع من احدى زواياه ضلع من اضلاعه فان الزاوية الخارجة اعظم من كل واحدة من الداخلتين اللتين تقابلانها (الزاويتين الاخرين) مثاله ان مثلث ابﺟ قد اخرج ضلع من اضلاعه على استقامة وهو ضلع بﺟ الى نقطة د فاقول انّ زاوية اﺟد الخارجة اعظم من كل واحدة من زاويتى ابﺟ ﺏاﺟ برهانه انا نقسم ضلع اﺟ بنصفين على نقطة ه كما بيّن ببرهان يـ من ا ونخرج خط بﻩز ونجعل خط ﻩز مثل خط بﻩ ونخرج خط ﺟز فضلع اه من مثلث ﻩاب مساو لضلع هﺟ من مثلث هﺟز وضلع ﻩب مثل ضلع ﻩز وزاوية اﻩب مساوية لزاوية ﺟﻩز وذلك بين من برهان يه من ا وممّا تبيّن من برهان د من ا تكون زاوية ﺏاه مساوية لزاوية ﻩﺟﺯ فان زدنا عليها زاوية دﺟز صارت زاوية

اﺟد باسرها اغطم من زاوية ﺟاب وايضا تبيّن انها اعظم من زاوية ﺟﺏا انّا نخرج خط اﺟ الى نقطة ح ونقسم ضلع بﺟ بنصفين على نقطة ﮐ كما بيّن ببرهان يـ من ا ونخرج كل ونجعله مثل اﮐ ونخرج لﺟ فبمثل هذا البرهان المتقدّم وبذلك الاستشهاد يتبيّن ان زاوية بﺟح مساوية لزاوية اﺟد كما بيّن ببرهان يه من ا فزاوية اﺟد اذاً اعظم من زاوية ابﺟ وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل السابع عشر من المقالة الاولى

كل مثلث فان مجموع كل زاويتين من زواياه اصغر من زاويتين قائمتين مثاله مثلث ابﺟ فاقول ان مجموع زاويتى ابﺟ ﺏاﺟ اصغر من زاويتين قائمتين ومجموع زاويتى ابﺟ بﺟا اصغر من قائمتين ومجموع زاويتى ﺏاﺟ اﺟب اصغر من قائمتين برهانه انا نخرج خط بﺟ على استقامة الى نقطة د فبما بيّن ببرهان يو تكون زاوية اﺟد الخارجة اعظم من ابﺟ وناخذ زاوية اجب مشتركة فمجموع زاويتى اجد اجب اعظم من مجموع زاويتى اﺟب ابﺟ لكن بما بيّنّا من برهان يجـ من ا يكون مجموع زاويتى اﺟد اﺟب مساوياً لمجموع زاويتين قائمتين وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبيّن ان مجموع زاويتى ﺏاﺟ اﺟﺏ اصغر من مجموع قائمتين واما انّ مجموع زاويتى اﺏﺟ ﺏاﺟ اصغر من مجموع زاويتين قائمتين فانّا نخرج خط اب الى علامة ه ونبيّن كما بيّنّا قبل وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثامن عشر من المقالة الاولى

الضلع الاطول من كل مثلث يوتّر الزاوية العظمى مثاله ان ضلع اب من مثلث ابﺟ اطول من ضلع اﺟ فاقول ان زاوية اﺟب اعظم من زاوية ابﺟ برهانه انا نفصل من ضلع اب الاعظم مثل ضلع اﺟ الاصغر كما بيّنّا ذلك بشكل ﺟ من ا وليكن خط اد ونصل ﺟد فساق اﺟ مثل ساق اد من مثلث اﺟد فمما بيّنّا ببرهان ه تكون زاوية اجد مثل زاوية ادﺟ ولان زاوية ادﺟ خارجة من مثلث ﺏدﺟ فبحسب برهان يو من ا تكون زاوية ادﺟ اعظم من زاويه ﺟﺏد فزاوية اﺟب اذن اعظم من زاوية ابﺟ بكثير فقد تبيّن ان الضلع الاعظم وهو اب يوتّر الزاوية العظمى وهى زاوية اﺟب وذلك ما اردنا ان نبيّن

الشكل التاسع عشر من المقالة الاولى

الزاوية العظمى من كلّ مثلث يوتّرها الضلع الاطول مثاله ان زاوية اﺟب من مثلث ابﺟ اعظم من زاوية ابﺟ فاقول ان ضلع اب اعظم من ضلع اﺟ برهانه ان امكن ان تكون زاوية اﺟب اعظم من زاوية ابﺟ ولا يكون ضلع اب اعظم من ضلع اﺟ فانّه اذن امّا يكون مساوياً له او اصغر منه فان كان ضلع اب مساوياً لضلع اﺟ فقد بيّنّا ببرهان ه انه تكون زاوية اﺟب مساوية لزاوية ابﺟ لكن فرضت اعظم منها فهذا خلف لا يمكن وان

كان ضلع اب اصغر من ضلع اﺟ فببرهان يح من ا تكون زاوية اﺟب اصغر من زاوية ابﺟ لكن فرضت على انّها اعظم منها وهذا ايضا خلف لا يمكن فقد تبيّن ان الزاوية العظمى من كل مثلث يوتّرها الضلع الاطول وذلك ما اردنا ان نبيّن.

زيادة برهان هذا الشكل على غير طريق الخلف لايرن توطّى لذلك اوّلّا هذة المقدمة مثلث ابﺟ اذا قسمت زاوية ﺏاﺟ منه بنصفين بخط اد فكان ﺟد اطول من دب فاقول ان ﺟا اطول من اب فلنخرج ده على استقامة اد ومساوياً له ونفصل دز مثل دب كما بيّن ببرهان جـ من ا ونصل ﻩز ونخرجه الى ح ونصل از فخطا اد دز مثل خطى ﻩد دب وزاويتا ادب زده المتقابلتان متساويتان فببرهان د من ا تكون قاعدة اب مساوية لقاعدة ﻩز وزاوية ﺏاد مثل زاوية ﺟاد لان زاوية ﺟاب قسمناها نصفين بخط اد وقد كان يبيّن ان زاوية ﺏاد مثل زاوية ﺡﻩد فلا محالة ان زاوية ﺡاه مثل زاوية ﺡﻩا فببرهان ومن ا يكون اح مثل ﺡه فخط اﺟ اطول من خط ﻩح وخط ﻩح اطول من ﻩز وخط ﻩز مثل اب فخط ﺡه اطول من اب لكن اﺟ اطول من حﻩ فخط اﺟ اطول من اب بكثير ثمّ نقول اذا كان مثلث ابﺟ زاويته التى من ابﺟ اعظم من زاويته التى من اجب فاقول ان ضلع اﺟ اعظم من ضلع اب فلنقسم ضلع بﺟ بنصفين على نقطة د كما بيّن ببرهان يـ من ا ونخرج خط اد ونخرجه الى نقطة ه وليكن ده مثل اد ونخرج خط ﺏه فضلعا ﺏد ده مساويان لضلعى ﺟد دا وزاوية دﺏه مساوية لزاوية اﺟد فزاوية ابﺟ اذن اعظم من زاوية دﺏه ونقسم زاوية اﺏه

بنصفين بخط ﺏز كما بيّن ببرهان ط من ا فخط زه اعظم من خط زا لانّ زاوية ابﺟ كما بيّنّا اعظم من زاوية دﺏه فمن اجل ذلك وقعت نقطة ز بين نقطتى اد فمن اجل ذلك يكون خط ﻩز اطول من خط زا فبحسب برهان الشكل الذى وطّى لهذا الشكل يكون ضلع ﺏه اعظم من ضلع اب لكن ضلع ﺏه مثل ضلع اﺟ فضلع اﺟ اعظم من ضلع اب وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل العشرون من المقالة الاولى

كل مثلث (ع) فان كلّ ضلعين من اضلاعه مجموعين كخط واحد (ط) اعظم من الضلع الثالث مثاله مثلث ابﺟ فاقول ان مجموع ضلعى اب ﺏﺟ كخط واحد اعظم من ضلع اﺟ وان مجموع ضلع (ضلعى .scr) اب اﺟ كخط واحد اعظم من ضلع بﺟ وان مجموع ضلعى اﺟ ﺟب كخط واحد اعظم من ضلع اب برهانه ان الاضلاع الثلثة ان كانت متساوية فظاهر ان ضلعين منها اذا جمعا كخط واحد اعظم من الضلع الثالث وان كانت مختلفة فلننزل ان احدهما اعظمها ونبيّن ان الباقيين اذا جمعا كخط واحد كان اعظم منه وليكن اعظمها ضلع بﺟ ونخرج خط اب على الاستقامة الى نقطة د ونفرض اد مثل اﺟ ونخرج خط ﺟد فلان مثلث اﺟد متساوى الساقيين ساق اﺟ مثل ساق اد فببرهان ه من ا تكون زاوية اﺟد مثل زاوية ادﺟ فاذا زدنا عليها زاوية اﺟب تكون زاوية بﺟد باسرها اعظم من زاوية ﺏدﺟ فمثلث بﺟد زاوية بﺟد [منه] اعظم

من زاوية ﺏدﺟ فببرهان يط من ا ضلع ﺏد اعظم من ضلع ﺏﺟ لكن ضلع ﺏد هو مساو لمجموع ضلعى ﺏا اﺟ فقد تبيّن ان كل مثلث فان ضلعين من اضلاعه مجموعين كخط واحد اعظم من الضلع الثالث وذلك ما اردنا ان نبيّن

ﻉ برهان اخر لهذا الشكل

فليكن مثلث ابﺟ فاقول ان مجموع ضلعى اب اﺟ اعظم من ضلع بﺟ على ان ضلع بﺟ اعظم من كل واحد من ضلعى اب اﺟ برهانه انا نقسم زاوية ﺏاﺟ بنصفين بخط اد كما بيّن ببرهان ط من ا فمثلث اﺏد زاويته الخارجة اعنى زاوية ادﺟ اعظم من زاوية ﺏاد التى هى مساوية لزاوية ﺟاد وذلك بيّن ببرهان يو من ا فمثلث ادﺟ زاوية ادﺟ منه اعظم من زاوية ﺟاد فببرهان يط من ا يكون ضلع اﺟ اعظم من ضلع ﺟد وبمثل هذا البرهان يتبيّن ان ضلع اب اعظيم من ضلع دب فمجموع ضلعى اب اﺟ اذن اعظم من ضلع بﺟ وذلك ما اردنا ان نبيّن.

برهان اخر زيادة

فليكن مثلث ابﺟ وضلع بﺟ اطول الاضلاع ونفصل ﺏد مثل اب كما بيّن ببرهان جـ من ا فبما بيّن ببرهان ه من ا تكون زاوية ﺏاد مثل زاوية ﺏدا وبما بيّنّا ببرهان يو من ا تكون زاوية ﺏدا اعظم من زاوية داﺟ وكذلك زاوية ﺟدا اعظم من زاوية داب فالزاويتان اللتان عند نقطة د عن جنبتى خط اد اذا جمعتا اعظم من زاوية ﺏاﺟ وحدها وقد تبيّذن ان زاوية ﺏدا مثل زاوية ﺏاد فتبقى زاوية ادﺟ اعظم من زاوية ﺟاد فضلع ﺟا اعظم من ضلع ﺟد وﺏد مثل اب فمجموع ضلعى اب اﺟ اعظم من ضلع بﺟ وذلك ما اردنا

ان نبيّن.

وايضا زيادة فى هذا الشكل

ان قال قائل انه يمكن ان يكون مثلث ضلعان من اضلاعه مساويان للضلع الباقى فلننزل مثلث ابﺟ وننزل ان مجموع ضلعى اب اﺟ مساو لضلع بﺟ فنفصل ﺏد مثل اب كما بيّن ببرهان جـ من ا فيبقى دﺟ مثل ﺟا ونخرج خط اد فلان ضلع ﺏد مثل ضلع ﺏا فان زاية ادب مساوية لزاوية داب بحسب برهان ه من ا وبمثل هذا البرهان يتبيّن ان زاوية داﺟ مساوية لزاوية ﺟدا لكن الزاويتين اللتين عند نقطة د عن جنبتى خط اد معادلتان لقائمتين وذلك بيّن بحسب برهان يجـ من ا وهما مساويتان لزاوية ﺏاﺟ وهذا محال لا يمكن من اجل ان خط دا قام على نقطة ا على فصل خطى ﺏا اﺟ فصيّر زاويتى ﺏاد داﺟ معادلتين لقائمتين فبحسب برهان يكـ من ا يجب ان يكون خطا ﺏا اﺟ قد اتّصلا على استقامة وصارا خطاً واحداً مستقيما فخطا ﺏا اﺟ اذن خط واحد مستقيم فمثلث ﺏاﺟ يحيط به خطان مستقيمان هذا خلف غير ممكن وذلك ما اردنا ان نبيّن.

وايضا زيادة فى هذا الشكل

ثم ننزل ايضا ان ضلعى اب اﺟ مجموعين اصغر من ضلع بﺟ ونفصل ﺏد مثل ﺏا وﺟه مثل اﺟ فببرهان ه تكون زاويتا ﺏد[ا] ﺏاد مساويتين وكذلك زاويتا ﺟﻩا ﺟاه متساويتان لكن زاوية ادب اعظم من زاوية داﺟ وزاوية داﺟ اعظم من زاوية ﺟاه فزاوية ادب اذن اعظم من زاوية ﺟاه

كثيراً وكذلك يتبيّن ان زاوية اهﺟ اعظم من زاوية ﺏاد كثيراً فمجموع زاويتى ادب اهﺟ اعظم من مجموع زاويتى ﺏاد ﺟاه وقد كان مساوياً له وهذا محال*

الشكل الحادى والعشرون من المقالة الاولى

كل مثلث يخرج (ع) من طرفى ضلع من اضلاعه خطان يلتقى طرفاهما على نقطة فى داخل المثلث فانهما اقصر (ط) من ضلعى المثلث البلقيين ولكنهما يحيطان بزاوية اعظم من الزاوية التى يحيط بها ضلعا المثلث. مثاله ان مثلث ابﺟ قد خرج من طرفى ضلع بﺟ منه خطا ﺏد ﺟد والتقى طرفاهما داخل المثلث على نقطة د فاقول ان محموعهما اصغر من مجموع ضلعى اب اﺟ وان زاوية ﺏدﺟ اعظم من زاوية ﺏاﺟ برهانه انّا نخرج خط دب على استقامته الى نقطة ه فمجموع ضلعى ﺏا اه اعظم من صلع ﺏه ونجعل ﺟه مشتركاً فمجموع ضلعى ﺏا اﺟ اعظم من مجموع ضلعى ﺏه هﺟ وذلك بيّن بحسب برهان كـ من ا وايضا مجموع ضلعى ﺟه ﻩد اعظم من ضلع ﺟد ونجعل دب مشتركاً فمجموع ضلعى ﺟه ﻩب اعظم من مجموع ضلعى ﺟد دب وذلك بيّن ايضا من برهان كـ من ا فمجموع ضلعى اﺟ اب اذن اعظم من مجموع ضلعى ﺏد دﺟ كثيراً وايضا فان زاوية ﺟﻩد حارجة من مثلث اﺏه فهى اذن اعظم من زاوية هﺍﺏ وذلك بيّن بحسب برهان يو من ا وبهذا الاستشهاد تكون زاوية ﺏدﺟ اعظم من زاوية ﺟﻩد فزاوية ﺏدﺟ اذن اعظم من زاوية ﺏاﺟ كثيراً وذلك ما اردنا ان نبيّن

الشكل الثانى والعشرون من المقالة الاولى

نريد ان نبيّن كيف نعمل (ط) مثلثا من ثلثة (ع) خطوط مفروضة (مساوية لثلثة خطوط معلـ[ومة]) على ان كل خطين منها مجموعين اعظم من الخط الثالث لان سبيل المثلث بحسب برهان كـ من ا ان يكون كل ضلعين من اضلاعه اذا جمعا اعظم من الثالث. مثاله ان خطوط ا ب ﺟ الثلثة مفروضة ونريد ان نبيّن كيف نعمل منها مثلثا على ان مجموع خطى اب كخطٍّ واحد اعظم من خط ﺟ ومجموع خطى بﺟ اعظم من خط ا ومجموع خطى ﺟا اعظم من خط ب فنخط خطا مستقيما غير محدود النهاية وهو خط دط ونفصل دز مساويا لخط ا ونفصل زح مساويا لخط ب ونفصل ﺡط مساويا لخط ﺟ بحسب ما بيّن ببرهان جـ ونجعل نقطة ز مركزاً ونخطّ ببعد زد دائرة دﮐﻝ ونجعل نقطة ح مركزاً ونخط ببعد ﺡط دائرة ﻁﮐل ونخرج من نقطة ﮐ خطى ﮐز ﮐح فلانّ نقطة ز مركز لدائرة دﮐل وقد خرج منها الى المحيط خطا زﮐ زد فخط زﮐ اذن مثل خط زد لكن خط زد مثل ا فضلع زﮐ مثل ا وايضا فان نقطة ح مركز لدائرة طكل وقد خرج منها الى المحيط خطا ﺡط ﺡﮐ فخط حﮐ اذن مثل خط ﺡط وخط ﺡط فصلناه مثل خط ﺟ فضلع ﮐح مساو لخط ﺟ وكنّا فصلنا زح مثل خط ب فاضلاع مثلث زكح مساوية لخطوط ابﺟ زﮐ مثل ا و ﮐح مثل ﺟ وزح

مثل ب فقد تبيّن مما وصفنا انا قد عملنا مثلثا مساوية اضلاعه لخطوط ا ب ﺟ المعلومة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثالث والعشرون من المقالة الاولى

نريد ان نبيّن كيف نعمل على نقطة معلومة من خط مفروض زاويةً مساويةً لزاوية مفروضة فلننزل ان الخط اب والنقطة المفروضة نقطة ا والزاوية المفروضة زاوية ﻩدز ونريد ان نبيّن كيف نعمل على نقطة ا زاويةً مثل زاوية ﻩدز فنعلم على خط ده نقطة ﺡ وعلى خط دز نقطة ط ونخرج خط ﺡط ونعمل على خط اب مثلثا اضلاعه مساوية للاضلاع مثلث دﺡط ونتفقّد عند عملنا بان نجعل ضلع اﮐ مثل ضلع دح وضلع ﮐﻝ مثل ضلع ﺡط وضلع ال مثل ضلع دط بحسب ما بيّنّا عمل ذلك ببرهان كب من ا وقد علمنا ببرهان ح من ا ان زاوية ﮐال مساوية لزاوية ﺡدط وذلك لان الضلعين المحيطين بزاوية ﮐﺍل قد بيّنّا انهما مساويان للضلعين المحيطين بزاوية ﺡدط كل ضلع مساو لنظيره وقاعدة ﮐل مثل قاعدة ﺡط فالزاويتان اللتان يواترهما هاتان القاعدتان المتساويتان متساويتان فقد عملنا على نقطة مفروضة من خط مفروض زاويةً مساويةً لزاوية مفروضة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الرابع والعشرون من المقالة الاولى

كل مثلثين يساوى ضلعان من احدهما ضلعين من الآخر كل ضلع لنظيره وتكون احدى الزاويتين اللتين يحيط بهما الاضلاع

المتساوية اعظم من الزاوية الاخرى فان الضلع الباقى الذى يوتّر الزاوية العظمى اعظم من الضلع الباقى من المثلث الاخر الذى يوتّر الزاوية الصغرى مثاله ان ضلعى اب اﺟ من مثلث ابﺟ مساويان لضلعى ده دز من مثلث ﻩدز ضلع اب مثل صلع ده وضلع اﺟ مثل ضلع دز وزاوية ﺏاﺟ اعظم من زاوية ﻩدز فاقول ان ضلع بﺟ الذى يوتر زاوية ﺏاﺟ العظمى اعظم من ضلع ﻩز الذى يوتر زاوية ﻩدز الصغرى برهانه انا نعمل على نقطة د من خط ﻩد زاويةً مثل زاوية ﺏاﺟ كما بيّنّا عملها ببرهان كجـ من [ا] ولتكن زاوية ﻩدح ونجعل دح مثل اﺟ كما بيّنّا ذلك ببرهان جـ من ا ونخرج خطى ﺡز ﺡه فضلعا ﺏا اﺟ من مثلث ابﺟ مساويان لضلعى ده دح من مثلث ﻩدح كل ضلع مثل نظيره ضلع اب مثل ضلع ده وضلع اﺟ مثل ضلع دح وزاوية ﺏاﺟ مثل زاوية ﻩدح فبحسب برهان د من ا تكون قاعدة بﺟ مساوية لقاعدة هﺡ وايضا فان مثلث دزح متساوى الساقين ساق دز مثل ساق دح فبحسب برهان ه من ا تكون زاوية دزح مساوية لزاوية دﺡز لكن زاوية دﺡز اعظم من زاوية هﺡز فزاوية دزح اعظم من زاوية هﺡز فاذا زدنا زاوية ﻩزد كانت زاوية ﻩزح اعظم من زاوية ﻩﺡز كثيراً فمثلث ﻩزح له زاويتان احداهما اعظم من الاخرى اعنى ان زاوية ﻩزح اعظم من زاوية هﺡز فبحسب برهان يط من ا يكون ضلع هﺡ الموتّر للزاوية

العظمى اعظم من ضلع ﻩز الموتّر للزاوية الصغرى لكن ﻩح مثل بﺟ فقاعدة بﺟ قد تبيّن انها اعظم من قاعدة ﻩز وذلك ما اردنا ان نبيّن

زيادة فى هذا الشكل

فانّا متى اخرجنا خط دح مساوياً لضلع اﺟ ثم اخرجنا خط ﺡه فجاز نقطة ز (ه .scr) فحدث مثلث دﺡه وقد خرج من طرفى ضلع من اضلاعه وهو ضلع ده خطان وهما دز ﻩز فالتقى طرفاهما على نقطة ز داخل المثلث فبحسب برهان كا من ا فان مجموع ضلعى ﻩز دز. كخط واحد اصغر من مجموع ضلعى دح ﺡه لكن ضلع دح مثل ضلع دز فيبقى ضلع ﻩح اعظم من ضلع ﻩز وقد تبيّن بحسب برهان [د] من [ا] ان قاعدة ﻩح مثل قاعدة بﺟ فقاعدة بﺟ اذن اعظم من قاعدة ﻩز وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الخامس والعشرون من المقالة الاولى

كل مثلثين (ع) يساوى ضلعان من احدهما ضلعين من الاخر كل ضلع لنظيره والضلع الباقى من احدهما اعظم من الضلع الباقى من المثلث الاخر فان زاوية المثلث التى يوتّرها الضلع الاعظم اعظم (ط) من الزاوية الاخرى التى يوترها الضلع الاصغر مثاله ان

ضلعى اب اﺟ من مثلث ابﺟ يساويان ضلعى ده دز من مثلث ﻩدز ضلع اب مثل ضلع ده وضلع اﺟ مثل ضلع دز وضلع ﺏﺟ الباقى من مثلث ابﺟ اعظم من ضلع ﻩز من مثلث ﻩدز الباقى فاقول ان زاوية ﺏاﺟ اعظم من زاوية ﻩدز برهانه انها ان لم تكون اعظم منها فهى مثلها او اصغر منها ولو كانت مثلها فانّ ممّا بيّنّا ببرهان د من ا يجب ان تكون قاعدة بﺟ مثل قاعدة ﻩز وهى اعظم منها هذا خلف لا يمكن فليس بﺟ اذاً مثل ﻩز ولا يجب ايضاً ان تكون اصغر منها الانها ان كانت اصغر منها فبحسب برهان كد من ا يجب ان يكون ضلع بﺟ اصغر من ضلع ﻩز وكنّا فرضناه اعظم منه هذا خلف غير ممكن فقد نبيّن ان زاوية ا ليست بمساوية لزاوية د و لا هى ايضا اصغر منها فهى اذن اعظم منها وذلك ما اردنا ان نبيّن

مضاف الى هذا الشكل وليس يعرف صاحبه وهو برهانه من غير طريق الخلف

فلننزل ان مثلثى ابﺟ دﻩز ضلع اب مثل ضلع ده وضلع اﺟ مثل ضلع دز وضلع بﺟ الباقى اعظم من ضلع ﻩز الباقى فاقول ان زاوية ﺏاﺟ اعظم من زاوية ﻩدز برهانه انا نخرج خط ﻩز الى ح على الاستقامة ونجعل هﺡ مثل بﺟ ونخرج خط ﻩد على الاستقامة الى نقطة ط ونجعل دط مثل اﺟ ونجعل نقطة د مركزاً ونخط ببعد دط قوس ﻁكز لان ﻁد مثل دز فلان ضلعى اب واﺟ كخطٍّ واحد اعظم من ضلع بﺟ كالذى نبيّن من برهان كـ من ا وضلع بﺟ مساو لضلع هﺡ ومجموع ضلعى اب اﺟ كخط واحد هو خط ﻩط فخط ﻩط اذن اعظم من خط هﺡ ونجعل نقطة ه مرﮐاً ونخط ببعد هﺡ (فـ)ـقوس

ﺡل ونخرج هﮐ ودﮐ فخط دﮐ مساو لخط دط لكن دط مثل اﺟ فخط دﮐ اذن مثل اﺟ وايضا فلان هﮐ مثل هﺡ وخط هﺡ فرضناه مثل بﺟ يكون هﮐ مثل بﺟ فمثلثا ابﺟ ﻩدﮐ ضلعان من احدهما مساويان لضلعين من الاخر اب مثل ده واﺟ مثل دﮐ وضلع بﺟ الباقى مثل ضلع ﻩﮐ الباقى فظاهر من برهان ح من ا انّ زاوية ﺏاﺟ مثل زاوية ﻩدﮐ لكن زاوية ﻩدﮐ اعظم من زاوية ﻩدز فزاوية ﺏاﺟ اذن اعظم من زاوية ﻩدز وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل السادس والعشرون من المقالة الاولى

كل مثلثين (ع) تساوى زاويتان من احدهما زاويتين من الاخر كل زاوية ونظيرتها ويساوى ضلع من احدهما نظيره من الاخر اىّ ضلع كان فانّ الضلعين الباقيين من احدهما يساويان (ط) الضلعين الباقيين من المثلث الاخر كل ضلع لنظيره والزاوية الباقية مثل (ط) الزاوية الباقية والمثلث (ط) مثل المثلث مثاله ان زاويتى ابﺟ اﺟب من مثلث ابﺟ مساويتان لزاويتى دﻩز دزه من مثلث دﻩز زاوية ابﺟ مساوية لزاوية دﻩز وزاوية اﺟب مساوية لزاوية دزه وننزل ان ضلع بﺟ اوّلا مثل ضلع ﻩز فاقول ان ضلعى ﺏا اﺟ الباقيين مثل ضلعى ﻩد دز الباقيين ضلع اب مثل ضلع ده وضلع اﺟ مثل ضلع دز وزاوية ﺏاﺟ مثل زاوية ﻩدز برهانه انه ان لم يكن ضلع ﺏا مثل ضلع ﻩد فليكن احدهما اعظم فلننزل ان ضلع اب اعظم ونفصل ﺏح مساويا لضلع ده كما بيّن ببرهان جـ من ا وضلع بﺟ فرض مثل صلع ﻩز فضلعا ﺟب بﺟ من مثلث

بﺟح مثل ضلعى ﻩز ﻩد من مثلث ﻩدز كل ضلع مساو لنظيره وزاوية دﻩز مساوية لزاوية ﺟﺏح فبحسب برهان د من ا تكون زاوية بﺟح مساوية لزاوية دزه لكن زاوية دزه فرضت على انها مساوية لزاوية اﺟب والمساوية لشى واحد فهى متساوية فزاوية اﺟب مساوية لزاوية بﺟح العظمى للصغرى وهذا خلف فليس ضلع اب اعظم من ضلع ده ولا يمكن ايضا ان يكون اصغر لان البرهان واحد فضلع اب اذن مساو لضلع ده وضلع بﺟ مثل ضلع ﻩز فضلعا اب بﺟ من مثلث ابﺟ مثل ضلعى ده ﻩز من مثلث دﻩز كل ضلع مساو لنظيره وزاوية ابﺟ مساوية لزاوية دﻩز فببرهان د من ا يكون ضلع اﺟ الباقى من مثلث ابﺟ مثل ضلع دز الباقى من مثلث دﻩز وزاوية ﺏاﺟ مثل زاوية ﻩدز وذلك ما اردنا ان نبيّن. وايضا فانا ننزل ان ضلع اب مساو لضلع ده وزاوية ب مساوية لزاوية ه وزاوية ﺟ مساوية لزاوية ز فاقول ان ضلع بﺟ مساو لضلع ﻩز برهانه انه اذا لم يكن ضلع بﺟ مساوياً لضلع ﻩز فانّ احدهما اعظم فلننزل ان ضلع بﺟ اعظم من ضلع ﻩز ونفصل خط ﺏط مثل ضلع ﻩز كما بيّنّا ببرهان جـ من ا ونخرج خط اط فضلعا اب ﺏط من مثلث اﺏط مساويان لضلعى ده ﻩز من مثلث دﻩز كل ضلع مساو لنظيره وزاوية اﺏط مثل زاوية دﻩز فببرهان د من ا تكون زاوية اطﺏ مساوية لزاوية دزه وزاوية دزه فرضت مساوية لزاوية اﺟط فزاوية اطﺏ الخارجة من مثلث اﺟط اذن مساوية لزاوية اﺟط الداخلة لكن بحسب برهان يو من ا يجب ان تكون زاوية اطب الخارجة اعظم من زاوية اﺟط الداخلة وهى ايضا مثلها هذا

خلف لا يمكن فضلع بﺟ اذن ليس باعظم من ضلع ﻩز ولا ايضا اصغر منه فهو اذن مثله فضلعا اب بﺟ من مثلث ابﺟ مساويان لضلعى ده ﻩز من مثلث دﻩز كل ضلع مساو لنظيره وزاوية ابﺟ مثل زاوية دﻩز فالضلع الباقى من مثلث ابﺟ مساو للضلع الباقى من مثلث دﻩز وسائر الزوايا مثل سائر الزوايا فضلع اﺟ مثل ضلع دز وزاوية ﺏاﺟ مساوية لزاوية ﻩدز وذلك ما اردنا ان نبيّن.

مضاف الى هذا الشكل على سبيل التوسع وجدته ولست اعرف صاحبه متى كانت زاوية ب مساوية لزاوية ه وزاوية ﺟ مساوية لزاوية ز وضلع بﺟ مثل ضلع ﻩز فانا متى ركّبنا بﺟ على ﻩز نقطة ب على نقطة ه ونقطة ﺟ على نقطة ز نركّب خط بﺟ على خط ﻩز لانهما متساويان ونركب زاوية ب على زاوية ه وزاوية ﺟ على زاوية ز فمن البيّن ان ضلعى اب اﺟ ينطبقان على ﻩد دز وزاوية ا تنطبق على زاوية د لانه ان لم ينطبق ضلعا اب اﺟ على ضلعى ده دز فامّا ان يقعا مثل ﻩح زح فتكون زاوية زﻩح اعنى زاوية ابﺟ مثل زاوية زﻩد العظمى مثل الصغرى وهذا غير ممكن وان وقعا فى داخل مثلث دﻩز كخطّى ﻩح زح فانّ زاوية زﻩد اعنى زاوية ﺟﺏا اعظم من زاوية ﺟﺏا وقد كانت مثلها وهذا خلف لا يمكن. وهذا الشكل الزائد ان اجرى امره كما اجرى الشكل الرابع من هذه المقالة من غير استشهاد الخلف فانه واضح انّ زاوية ب تنطبق على زاوية ه وزاوية ﺟ تنطبق على زاوية ز وانّ هاتين الزاويتين اذا انطبقتا على زاويتى ﻩز وانطبق وتركب ضلع بﺟ على ضلع ﻩز فان الضلعين الباقيين يتركّب

كل واحد منهما على نظيره وتتركّب زاوية ا على زاوية د ويتركّب المثلث على المثلث وذلك ما اردنا ان نبيّن فاذا حصلت هذه المقدّمة فانه يحصل برهان الشكل السادس من هذه المقالة بغير خلف وهو اذا تساوت زاويتان من مثلّث فهو متساوى الساقين مثاله ان مثلث ابﺟ زاوية ابﺟ منه مساوية لزاوية اﺟب فاقول ان ساق اب مثل ساق اﺟ برهانه انا نفصل ﺏد ﺟه متساويين ونخرج خطّى ﺏه ﺟد فضلعا دب بﺟ مثل ضلعى هﺟ ﺟب فزاوية دبﺟ مثل زاوية بﺟه فبحسب برهان د من ا تكون قاعدة دﺟ مثل قاعدة ﻩب وزاوية ﺟﺏه مثل زاوية بﺟد وزاوية ﺏدﺟ مثل زاوية ﺏهﺟ وبحسب برهان الشكل الزائد فى كو من ا فان زاوية اﻩب الباقية مساوية لزاوية ادﺟ الباقية وضلع اب مثل ضلع اﺟ وايضاً فانّ زاوية اﺏه الباقية مثل اﺟد الباقية فبحسب برهان الشكل المقدّم الزائد فى كو من ا فان ضلع اد مساو لضلع اه وقد كنّا بيّنّا ان ﺏد مثل ﺟه فخط ﺏا مثل خط ﺟا باسره فساق اب مثل ساق اﺟ وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل السابع والعشرون من المقالة الاولى

اذا وقع خط (ع) مستقيم على خطين مستقيمين فصيّر الزاويتين المتبادلتين متساويتين فان الخطين (ط) متوازيان مثاله ان خط ﻩز وقع على خطى اب ﺟد فصيّر زاويتى احﻁ حﻁد المتبادلتين متساويتين فاقول ان خطى اب ﺟد متوازيان برهانه انهما ان لم يكونا متوازيين فانهما اذا اخرجا فى احدى الجهتين التقيا فنخرجهما فى جهة ﺏد فيلتقيان على نقطة ﮐ ان امكن ذلك فتصير

زاوية اﺡط الخارجة من مثلث ﺡطﮐ اعظم من زاوية ﺡطﮐ الداخلة كما بيّن ببرهان يو من ا وهذا خلف لان زاوية اﺡط فرضت مساوية لزاوية ﺡطد فخطا اب ﺟد ان اخرجا فى الجهتين جميعا لم يلتقيا ولو خرجا الى غير نهاية فهما متوازيان وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثامن والعشرون من المقالة الاولى

اذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين (ع) فصيّر الزاوية (ع) الخارجة مثل الداخلة التى تقابلها او صيّر (ع) الزاويتين اللتين فى جهة واحدة الداخلتين معادلتين لقائمتين فان الخطين متوازيان (ط) مثاله ان خط ﻩز وقع على خطى اب ﺟد فصيّر ﻩﺡب الخارجة مثل زاوية ﺡطد الداخلة التى تقابلها اوصيّر مجموع زاويتى بﺡط دطﺡ مساوياً لمجموع زاويتين قائمتين فاقول ان خطى اب ﺟد متوازيان برهانه ان زاوية هﺡب مساوية لزاوية ﺡﻁد ولكن زاوية ﻩﺡب مساوية لزاوية اﺡط وذلك بحسب برهان يه من ا والمساوية لشى واحد فهى متساوية فزاوية اﺡط مساوية لزاوية ﺡط د وهما المتبادلتان فبحسب برهان كز من ا يكون خط اب موازياً لخط ﺟد. وايضا فليكن مجموع زاويتى ﺏﺡط ﺡﻁد الذاخلتين اللتين فى جهة واحدة مساوياً لمجموع زاويتين قائمتين فاقول ان خط اب مواز لخط ﺟد برهانه ان [مجمـ]وع زاويتى بﺡط ﺡطد معادلتان لقائمتين وكذلك بحسب برهان يجـ من ا يكون مجموع زاويتى اﺡط ﺏﺡط معادلتين لزاويتين قائمتين فزاويتا اﺡط بﺡط مثل زاويتى بﺡط ﺡطد فنسقط زاوية بﺡط المشتركة فتبقى زاويتا

اﺡط ﺡطد المتبادلتان مساويتين فخط اب مواز لخط ﺟد وذلك ما اردنا ان نبيّن.

مقدمات واشكال يحتاج اليها فى الشكل التاسع والعشرين من المقالة الاولى لسنبليقيوس واغانيس

ان المقدمة المستعلمة فى برهان الشكل التاسع والعشرين من المقالة الاولى وهى انّ كل خطين يخرجان على اقلّ من زاويتين قائمتين فانهما يلتقيان ليست من القضايا المقبولة قال سنبليقيوس فى ذلك ان هذه المصادرة ليست بظاهرة كلّ ذلك لكنه قد احتيج فيها الى بيان بالخطوط حتى ان ابظينياطوس وذيوذرس بيّناه باشكال كثيرة مختلفة وبطلميوس ايضا قد عمل بيانه والبرهان عليه واستعمل فى ذلك الشكل الثالث عشر والخامس عشر والسادس عشر من المقالة الاولى من الاسطقسات وذلك ليس بمنكر لانّ اوقليدس انما استعمل هذه المصادرة فى الشكل التاسع والعشرين من هذه المقالة وقد كان هذا المعنى فى نفسه ايضاً مستحقاً للنظر والقول فيه وان نبيّن انّه كما انّ الخطين اذا اخرجا على زاويتين قائمتين كانا متوازيين كذلك اذا اخرجا على اقل من زاويتين قائمتين كانا متلاقيين. فامّا اغانيس صاحبنا فانّه لم ير ان يتقدّم فيستعمل هذا المعنى على انه مصادرة اذ كان يحتاج الى برهان لكنّه استعمل اشكالاً اخر مكان الاشكال التى فى الاسطقسات حتى برهن الشكل التاسع والعشرين من غير ان جعل هذا المعنى مصادرةً ثمّ برهن هذه المصادرة بعد

ذلك بمذاهب وسبل هندسية وهذا كلامه بالفاظه قال اغانيس ومن اجل انّا كنا قصدنا ان نبيّن ان المصادرة على ان الخطين اللذين يخرجان على اقل من زاويتين قائمتين يلتقيان قد تصحّ ببرهان هندسى اذ كان فيها طعن يطعن به قديماً على المهندسين ويقال لهم انكم تطلبون ان يسلّم لكم ما ليس ببيّن فتبيّنون به الاشياء الاخر فانّا نفعل ذلك ولعلّ هذا المعنى عظيم جليل القدر وانا ارى انه لا يحتاج الى كلام طويل ولا ذى فنون فاقول انّا حددنا الخطوط المتوازية بان قلنا انها التى فى سطح واحد واذا اخرجت اخراجاً دائماً غير متناه فى الجهتين جميعاً كان البعد بينهما ابداً بعداً واحداً والبعد بينهما هو اقصر خط يصل بينهما كما قيل ذلك ايضاً فى الابعاد الاخر فينبغى ان تزاد هذه الاشكال فى المقالة الاولى من (كتاب الاولى من) كتاب الاصول بعد الشكل السادس والعشرين حتى يصير هذا الشكل السابع والعشرين وهو اذا كان خطان مستقيما[ن] متوازيين فان البعد بينهما هو عمود على كل واحد منهما مثاله انا نفرض خطين متوازيين وهما اب ﺟد وليكن البعد بينهما ﻩز فاقول ان خطّ ﻩز عمود على كل واحد من خطى اب ﺟد برهانه انه ان لم يكن عموداً عليهما فلتكن الزاويتان اللتان عند نقطة ه ليستا بقائمتين ولتكن الحادة منهما زاوية [زه]ا ولنخرج من نقطة ز عموداً على خط اب وهو زح وذلك انه يقع فى جهة ا فبحسب برهان يط من ا يكون زه اطول من زح وقد كان زه فرض اقصر خط

مستقيم يقع بين خطى اب ﺟد هذا خلف فاذن خط ﻩز عمود على كل واحد من خطى اب ﺟﺩ وذلك ما اردنا ان نبيّن. شكل ثان لاغانيس اذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين فكان عموداً على كل واحد منهما فان الخطين متوازيان والعمود هو البعد الذى بينهما مثاله ان خطى اب ﺟد قد وقع عليهما خط ﻩز فاحاط مع كل واحد منهما بزاويتين قائمتين فاقول ان خطى اب ﺟد متوازيان وان خط ﻩز هو البعد بينهما برهانه انهما ان لم يكونا متوازيين فانا نجيز على نقطة ز خطاً موازياً لخط اب وليكن ان امكن خط زح وننزل ان الخط الموازى لخط اب هو خط زح فخط ﻩز اذن يجب ان يكون البعد بين خط اب وخط زح لانه اقصر الخطوط التى تخرج من نقطة ز الى خط اب فزاوية ﺡزه قائمة وذلك بحسب برهان الشكل المتقدّم ولكن زاوية دزه فرضت قائمة هذا خلف فاذن خطا اب جد متوازيان وخط زه هو البعد بينهما وذلك ما اردنا ان نبيّن. شكل ثالث لاغانيس الخط المستقيم المخرج على الخطوط المتوازية يصيّر الزوايا المتبادلة متساوية ويصيّر الزواية الخارجة مساوية للزاوية الداخلة المقابلة لها ويصيّر الزاويتين اللتين فى جهة واحدة مساويتين لمجموع زاويتين قائمتين مثاله انا نخرج على خطى اب جد المتوازيين خطاً مستقيما عليه ﻩز فاقول ان الزوايا التى حدثت على ما حددنا برهانه انا نخرج من كل واحد من نقطتى ﻩز البعد الذى بين خطى اب جد وهما خطا ﻩط زﮐ فتكون الاربع الزوايا التى حدثت عنهما قائمةً فخط ﻩط مواز لخط ﮐز وذلك بحسب برهان الشكل

المتقدّم وخط هﮐ مواز لخط طز وخطا ﻩط ﮐز هما البعد بينهما فهما اذاً متساويان ومن اجل ان خط طز مساو لخط هﮐ وخط ﻩط مساو لخط زﮐ وهذه الخطوط تحيط بزاويا متساوية فان المثلثين متساويان وباقى الزوايا مساوية لباقى الزوايا فزاوية طزه مساوية لزاوية زهﮐ وهما متبادلتان ولتكن زاوية طزه مساوية لزاوية ﺡزد لانهما على التقاطع وذلك بحسب برهان يه من ا فزاوية زهﮐ مساوية لزاوية ﺡزد الخارجة للداخلة المقابلة لها وايضاً فمن اجل ما بيّنّا ان الزوايا المتبادلة متساوية فانا نزيد زاوية دزه مشتركة فتكون زاويتا طزه ﻩزد اللتين هما مساويتان لقائمتين مساويتين لزاويتى ﮐﻩز دزه فاذن الزاويتان اللتان فى جهة واحدة مساويتان لقائمتين وذلك ما اردنا ان نبيّن. شكل رابع لاغانيس اذا اخرج خط مستقيم على خطين مستقيمين فكانت الزاويتان المتبادلتان اللتان احاط بهما مع الخطين متساويتين او كانت الزاوية الخارجة مساوية للزاوية الداخلة المقابلة لها او كانت الزوايتان الداخلتان اللتان فى جهة واحدة مساويتين لقائمتين فان الخطين متوازيان مثاله ان خطى اب جد وقع عليهما خط ﻩز فاحاط معهما [بزو]ايا على ما حددنا فاقول ان خطى اب جد متوازيان. برهانه انه ان كان خط ﻩز عموداً فظاهر ان خطى اب جد متوازيان لما قيل فى الشكل الثانى من هذه الاشكال الزائدة وان لم يكن خط ﻩز عموداً فانا نخرج من نقطة ه الى

خط جد عمود ﻩﮐ فان كانت زاوية ه قائمة فظاهر ايضاً ان خطى اب جد متوازيان لما قيل فى الشكل الثانى من هذه الاشكال الزائدة وان لم تكن زاوية ه قائمة فانا نخرج من نقطة ه عموداً على خط هﮐ كما بيّن ببرهان يا من ا ليكن عمود ﻩل قيكون خطا ﻩل جد متوازيين فزاويتاهما المتبادلتان متساويتان وذلك كما بيّن فى الشكل الثالث من هذه الاشكال الزائدة فاذن كل واحدة من زاويتى زﻩب زﻩل مساوية لزاوية جزه وذلك غير ممكن فخطا اب جد متوازيان وذلك ما اردنا ان نبيّن وبحسب اوضاع اغانيس فانه قال ويصيّر الشكل الحادى والثلثون نريد ان نخرج من نقطة مفروضة خطاً موازياً لخط مفروض والشكل الثانى والثلثون السطوح المتوازية الاضلاع اضلاعها المتقابلة متساوية والشكل الثالث والثلثون الخطوط الموازية لخط واحد هى متوازية والربع والثلثون الخطوط المستقيمة التى تصل بين الخطوط المتساوية المتوازية هى متساوية متوازية والخامس والثلثون اذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين فكانت الزاويتان الداخلتان اللتان فى جهة واحدة اصغر من قائمتين فان الخطين اذا اخرجا فى جهة الزاويتين التين هما اقل من قائمتين التقيا مثاله ان خطى اب جد المستقيمين وقع عليهما خط ﻩز المستقيم فصارت الزاويتان اللتان فى جهة ﺏد اصغر من قائمتين فاقول ان خطى اب جد يلتقيان فى تلك الجهة برهانه انا نجيز على نقطة ز خطاً موازياً لخط اب كما بيّن اخراجه ببرهان اوقليدس فى لا من ا وليكن خط زح ونخرج البعد بينهما بحسب برهان يا من ا

وهو خط زه ونفرض على خط زد نقطة كيف ما وقعت ولتكن نقطة ط ونخرج من نقطة ط عموداً على خط زه كما بيّن ببرهان يا من ا وليكن خط ﻁى ونقسم خط زه بنصفين كما بيّن ببرهان يـ من ا ونقسم ايضا نصفه بنصفين ولا نزال نفعل ذلك دائماً حتى تقع القسمة دون نقطة ى فلتقع القسمة على نقطة م فمن البيّن ان نقطة م يقع على قسم ينطق به من خط ﻩز فلننزل ان القسم الذى يقع دون نقطة ى هو ربع زه مثلاً ولنجز على نقطة م خطاً موازياً لخطى زح اب وهو خط ﻡن كما بيّن ببرهان لا من ا ونخرج خط زد اخراجاً غير محدود ونجعل فى زق من اضعاف زن كاضعاف ﻩز لمقدار زم وهو اربعة اضعاف فاقول ان خطى اب جد يلتقيان على نقطة ق برهان ذلك انا نفصل من خط زق خطا مساويا لخط زن كما بيّن ببرهان جـ من ا وليكن خط نس ونخرج على نقطة س خطا موازيا لخط زه وهو خط س ش ونخرج خط ﻡن الى نقطة ع فيكون مثلثا زﻡن نﺱع ضلعان من اضلاعهما متساويان وهما زن [ن]س وزاوية زنﻡ مساوية لزاوية عﻥس وذلك بيّن ببرهان يه من ا وببرهان الشكل الثالث الموضوع من اوضاع اغانيس من هذه المقدمات تكون زاوية ﻡزن مساوية لزاوية نﺱع لانهما المتبادلتان فبحسب برهان كو من ا يكون باقى الاضلاع مثل باقى الاضلاع كل ضلع مساو لنظيره والزاوية الخارجة مساوية للزاوية الباقية فضلع زم مثل ضلع ﺱع وضلع ﻉش مثل ضلع زم لانه مقابل له فى سطح متوازى الاضلاع فخط س ش ضعف خط زم فان اخرجنا من نقطة ق خطا

موازياً لخطى ﻩز ﺱش واجزنا على نقطة س خط تﺱ على استقامة يوازى خط اب ويلقى الخط المخرج من نقطة ق الموازى لخط ﻩز فبيّن انه نفصل منه خطاً مساوياً لخط زت فلنخرجه وليكن خط ﻑق فيكون خط ﻑق مساوياً لخط ﺕز لان ﺱق مثل ﺱز وزاوية تﺱز مثل زاوية قﺱف وزاوية ﻑقﺱ مثل زاوية ﺕزس المتبادلتان فبحسب برهان كو من ا يكون ﻑق مثل زت لكن زت مثل تﻩ فخط ﻑق مثل تﻩ فخط اﻩب يلقى خط ﻑق على نقطة ق وذلك بحسب ما رتّب اغانيس فى موضع الشكل الذى يقول انّ الخطوط التى تصل بين اطراف الخطوط المتساوية المتوازية هى متوازية متساوية فقد تبيّن انه اذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين فكانت الزاويتان الداخلتان اللتان فى جهة واحدة اقل من زاويتين قائمتين فان الخطين اذا اخرجا فى جهة الزاويتين اللتين هما اقل من قائمتين التقيا وذلك ما اردنا ان نبيّن. كل ما وصفه فى هذا الشكل وفى مقدماته التى قدّمها فهى مقبولة قبول اصطرار بحسب مصادرة المقالة الاولى وبحسب الاشكال التى رتّبها اغانيس من الاشكال التى زادها من عنده مع اشكال اوقليدس وليس فى شى مما اتى به موضع للطعن بتّةً قال سنبليقيوس فهذا كلام اغانيس بالفاظه ولعلّ اوقليدس انما استعمل هذا المعنى فى المصادرات على انّه اقرب ماخذاً من هذا الماخد وذلك انه ان كانت الخطوط المتوازية هى التى فى سطح واحد واذا اخرجت فى الجهتين جميعاً اخراجاً دائماً كان البعد بينهما ابداً متساوياً فان هذا القول اذا عكس كان عكسه حقاً

وهو ان الخطوط التى فى سطح واحد اذا لم يكن البعد بينهما متساوياً فليست متوازيةً واذا لم تكن متوازية فهى متلاقية فان اوقليدس استعمل هذا المعنى فى هذا الشكل كانّها من القضايا الواجب قبولها والخطوط التى تخرج على اقل من زاويتين قائمتين ليس تحفط بعداً واحداً فهى اذن متلاقية وظاهر انّ تلاقيها تكون فى جهة ميل احدهما الى الاخر فان الجهة الاخرى ينفرجان فيها ويتّسعان ويتزيّد البعد بينهما ولكن من اجل انّ القول بان الخطين اذا لم يكونا متوازيين فهما يلتقيان يحتاج الى [ان] يقوسى ويبيّن وايضاً لانّ قطوع المخروطات ليست متوازيةً وهى لا يلتقى ذكر اغانيس تلك المقدّمة واستعمل هذه الاشكال وايضا فان هذا الـ[ـمعنـ]ـى هو غكس الشكل الذى يقال فيه ان الخطين المستقيمين اللذين اذا وقع عليهما خط مستقيم كانت الزاويتان الداخلتان معادلتين لقائمتين فهما متوازيان فاذ كان هذا الشكل قد بيّن ببرهان فهذا المعنى ايضاً يحتاج [الى] ان يبيّن ببرهان فقد احضرنا كل شى يمكن ان يقال فى الخطوط المتوازية وصحّ الامر فيها.

الشكل التاسع والعشرون من المقالة الاولى

اذا اخرج خط (ع) مستقيم على خطين مستقيمين متوازيين فان الزاويتين المتبادلتين متساويتان (ط) والزاويتان (ط) الخارجة والداخلة

التى تقابلها متساويتان والزاويتان (ط) الداخلتان فى اى الجهتين كانتا فان مجموعهما يعدل مجموع زاويتين قائمتين مثاله ان خطى اب جد متوازيان وقد اخرج عليهما خط مستقيم وهو زه فاقول ان زاويتى اﺡط ﺡطد المتبادلتين متساويتان وان زاويتى هﺡب ﺡطد الخارجة والداخلة المتقابلتين متساويتان وانّ مجموع زاويتى بﺡط ﺡطد الداخلتين اللتين فى جهة واحدة معادلتان لمجموع زاويتين قائمتين برهانه انا نبيّن اولاً ان زاوية اﺡط مساوية لزاوية ﺡطد المتبادلتين فان لم يكن مثلها فاحداهما اعظم فلتكن زاوية اﺡط اعظيم ان كان يمكن ونجعل زاوية بﺡط مشتركة فمجموع زاويتى اﺡط بﺡط اعظم من مجموع زاويتى بﺡط ﺡطد لكن بحسب برهان يجـ من ا يكون مجموع زاويتى اﺡط بﺡط مثل زاويتين قائمتين فمجموع زاويتى بﺡط ﺡطد اصغر من مجموع زاويتين قائمتين لكن بحسب ما صادر به اوقليدس وبحسب ما برهن عليه اغانيس فى الاشكال المتقدّمة انه اذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين فكانت الزاويتان الداخلتان اللتان فى جهة واحدة اقل من قائمتين فان الخطين اذا اخرجا فى جهة الزاويتين اللتين هما اقل من قائمتين التقيا فخطا اب جد اذن يلتقيان فى جهة نقطتى ﺏد وهما متوازيان فهذا محال غير ممكن فليس يمكن ان تكون زاوية (زاوية) اﺡط اعظم من زاوية ﺡطد ولا اصغر منها فهى اذن مساوية لها فزاوية اﺡط مساوية لزاوية ﺡطد المتبادلتان وايضا فلان خطى اب ﻩز يتقاطعان على نقطة ه (ح s.) فبحسب برهان يه من ا تكون زاوية

اﺡط مساوية لزاوية هﺡب لكن زاوية اﺡط قد بيّنّا انها مساوية لزاوية ﺡطد والمساوية لشى واحد فهى متساوية فزاوية هﺡب الخارجة مثل زاوية ﺡطﺩ الداخلة المتقابلتان وايضاً فقد تبيّن ان زاوية هﺡب الخارجة مثل زاوية ﺡطد الداخلة فنجعل زاوية بﺡط مشتركة فمجموع زاويتى هﺡب بﺡط مثل مجموع زاويتى بﺡط ﺡطد لكن مجموع زاويتى هﺡب بﺡط مثل مجموع زاويتين قائمتين ببرهان يجـ من ا فمجموع زاويتى بﺡط ﺡطد اذن مثل مجموع زاويتين قائمتين وهما فى جهة واحدة فقد تبيّن انه اذا اخرج خط مستقيم على خطين مستقيمين متوازيين فان الزاويتين المتبادلتين متساويتان والزاويتان الداخلة والخارجة التى تقابلها متساويتان والزاويتان الداخلتان فى اى الجهتين كانتا فان مجموعها مثل مجموع زاويتين قائمتين وذلك ما ارد[نا ا]ن نبيّن.

الشكل الثلثون من المقالة الاولى

كل الخطوط المستقيمة الموازية لخط مستقيم فهى متوازية (ط) مثاله ان خطى اب جد موازيان لخط ﻩز فاقول ان خطى اب جد متوازيان برهانه انا نخرج على خطوط اب جد ﻩز خط ﺡط كيف ما خرج فقد اخرج خط ﺡط على خطين مستقيمين متوازيين وهما خطا اب ﻩز فبحسب برهان يط من ا تكون زاويتا اﮐل ﮐﻝز المتبادلتان متساويتين وايضا فانه قد اخرج خط ﺡط على خطّين متوازيين وهما خطا ﻩز جد فزاوية ﺡﻝز الخارجة مثل زاوية ﻝﻡد الداخلة وذلك ايضا بحسب برهان يط من ا لكنّا قد بيّنّا ان زاوية حﻝز مساوية اﮐل والمساوية لشى واحد فهى

متساوية اﮐل اذن مساوية لزاوية لﻡد فقد اخرج على خطى اب جد خط ﺡط فصيّر الزاويتين المتبادلتين متساويتين فبحسب برهان كز من ا يكون خط اب موازياً لخط جد فقد نبيّن ان الخطوط المستقيمة الموازية لخط مستقيم فهى متوازية ايضا وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الحادى والثلثون من المقالة الاولى

نريد ان نبيّن كيف نجيز على نقطة مفروضة خطاً موازياً لخط مستقيم مفروض فنجعل النقطة المفروضة نقطة ا والخط المفروض خط بﺟ ونريد (ونريد) ان نبيّن كيف نجيز على نقطة ا خطا مستقيماً موازياً لخط بﺟ فنخرج على نقطة ا وعلى خط بﺟ خطاً كيف ما خرج وليكن خط اد ونعمل على خط اد وعلى نقطة ا زاوية مساوية لزاوية ادﺟ كما عمل ببرهان كجـ من ا وليكن زاوية داه ونخرج خط ﻩا على استقامة الى ز فلان خط اد قد اخرج على خطى بﺟ ﻩز فصيّر الزاويتين المتبادلتين متساويتين فبحسب برهان كز من ا يكون خط بﺟ موازياً لخط ﻩز فقد اجزنا على نقطة ا خطاً موازياً لخط بﺟ وهو خط ﻩز وذلك ما اردنا ان نبيّن.

شكل مضاف الى هذا الشكل

وكان موضعه تالى الشكل العاشر ولكن لما كان

برهانه يتمّ بعد هذا الشكل كان الوجه فيه ان يتلوه لان قسمة خط بثلثة اقسام متساوية يحتاج اليها فى يب من ا فليكن الخط اب ونقيم على نقطتى اب عمودى اﺟ ﺏد باىّ مقدار شينا وليكونا متساويين ونقسم كل واحد منهما بنصفين على نقطتى ﻩط ونخرج خطى ﺟزه طﺡد ونخرج من نقطة ز خطا يوازى عمودى اﺟ ﺏد وليكن خط زﮐ فلان اﺟ يوازى ﺏد اعنى ﺟط يوازى ﻩد ويساويه والخطوط التى تصل بين اطراف الخطوط المتوازية متوازية ايضا ومتساوية فخطا ﺟه طد متساويان ومتوازيان وخط زﮐ قد اخرج موازياً لخط ﺟط وخط ﺟز يوازى خط طﮐ فخط زﮐ اذن يساوى خط ﺟط لان السطوح المتوازية الاضلاع فان كلّ ضلعين منها يتقابلان متساويان فخط زﮐ اذاً يساوى ﻁا ويوازيه وقد وقع عليها از فزاويتا ﺟاز ﺟز[ﮐ] المتبادلتان متساويتان وزاوية ﺟاز قائمة فزاوية ﺡزﮐ قائمة وزاوية حﮐز مثل زاوية اﻁح لانهما المتبادلتان فمثلثا اﻁح زحﮐ تساوى زاويتان من احدهما زاويتين من الاخر كل زاوية ونظيرتها وقاعدة ﻁا مساوية لقاعدة ﮐز فمثلث اﻁﺡ مثل مثلث حﮐز وسائر الاضلاع مثل سائر الاضلاع فخط اح مثل خط زح وبمثل هذا البرهان يتبيّن ان مثلث زﮐح مثل مثلث بﻩز لان قاعدة ﮐز مثل قاعدة ﺏه وزاويتا ﺡزﮐ زﺏه قائمتان وزاوية ﺡﮐز مثل زاوية ﮐده اعنى مثل زاوية زﻩب فسائر الاضلاع مثل سائر الاضلاع اعنى ﺡز مثل

زب فاقسام اح ﺡز زب متساوية وذلك ما اردنا ان نبيّن وعلى هذا السبيل يقسم باى اقسام شينا الى غير نهاية.

الشكل الثانى والثلثون من المقالة الاولى

كل مثلث يخرج (ع) ضلع من اضلاعه على استقامة فان الزاوية التى تحدث خارج المثلث مثل (ط) مجموع زاويتيه الداخلتين اللتين تقابلانها وزوايا المثلث الثلث اذا جمعت مثل مجموع زاويتين قائمتين مثاله ان مثلث ابﺟ قد اخرج ضلع من اضلاعه وهو ضلع بﺟ على استقامة الى نقطة د فاقول ان زاوية اﺟد مثل مجموع زاويتى ابﺟ ﺏاﺟ وان زوايا ابﺟ بﺟا ﺟاب الثلث اذا جمعت مساوية لمجموع زاويتين قائمتين برهانه انا نخرج من نقطة ﺟ خط ﺟه موازيا لضلع ﺏا كما بيّن اخراجه ببرهان لا من ا فخط اﺟ مخرج على خطى اب ﺟه المتوازيين فببرهان كط من ا زاويتا ﺏاﺟ اﺟه المتبادلتان متساويتان وايضا فانّه قد اخرج خط ﺏﺟد على خطى اب ﺟه المتوازيين فزاويتا اﺏد هﺟد المتقابلتان متساويتان وذلك ببرهان كط من ا وقد بيّنّا ان زاوية اﺟه مساوية لزاوية ﺏاﺟ فنجعل زاوية اﺟب مشتركة فمجموع زاويتى اﺟد اﺟب مساوية لمجموع زوايا اﺟب ابﺟ ﺏاﺟ الثلثة لكن مجموع زوايتى اﺟب اﺟد مثل زاويتين قائمتين بحسب برهان يجـ من ا فزوايا المثلث الثلث اعنى اﺟب ابﺟ ﺏاﺟ اذا جمعت مثل مجموع زاويتين قائمتين وذلك ما اردنا ان تبيّن.

الشكل الثالث والثلثون من المقالة الاولى

الخطوط (ع) المستقيمة التى تصل ما بين اطراف الخطوط المتوازية المتساوية (الاقدار) فى كلتى الجهتين هى ايضا متوازية (ط) متساوية (الاقدار). مثاله ان خطى اب جد متوازيان متساويان وقد وصل ما بين اطرافهما بخطى اﺟ ﺏد فاقول ان خطى اﺟ بد متوازيان متساويان برهانه انا نخرج خط اد فخط اد قد اخرج على خطى اب ﺟد المتوازيين فببرهان كط من ا تكون زاويتا ﺏاد ادﺟ المتبادلتان متساويتين وخط اب فرض مساويا لخط ﺟد وناخذ خط اد مشتركاً فضلعا ﺏا اد من مثلث ﺏاد مساويان لضلعى ﺟد دا من مثلث ادﺟ وزاوية ﺏاد مساوية لزاوية ادﺟ فببرهان د من ا يكون ضلع ﺏد الباقى من مثلث اﺏد مثل ضلع اﺟ الباقى من مثلث ادﺟ وسائر الزوايا مثل سائر الزوايا كل زاوية مثل نظيرتها فزاوية ادب مساوية لزاوية ﺟاد فقد اخرج على خطى اﺟ ﺏد خط اد فصيّر زاويتى ﺟاب ادب المتبادلتين متساويتين فببرهان كز من ا يكون خط اﺟ موازياً لخط ﺏد وقد بيّنّا انه مساو له فخطا اﺟ ﺏد متساويان ومتوازيان وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الرابع والثلثون من المقالة الاولى

كل السطوح (ع) المتوازية الاضلاع فانّ كل ضلعين منها يتقابلان او زاويتين تتقابلان فهما متساويان (ط) والقطر يقطع (ط)

السطح بنصفين مثاله ان سطح اب ﺟد متوازى الاضلاع ضلع اب مواز لضلع ﺟد وضلع اﺟ مواز لضلع ﺏد وقد اخرج قطر اد فاقول ان ضلع اب مثل ضلع ﺟد وضلع اﺟ مثل ﺏد وزاوية ا مثل زاوية د وزاوية ب مثل زاوية ﺟ وقطر اد يقسم سطح اب ﺟد بنصفين فيصير مثلث اﺏد مثل مثلث اﺟد برهانه انه قد اخرج على خطى اب ﺟد المتوازيين خط اد فببرهان كط من ا تصير زاويتا ﺏاد ادﺟ المتبادلتان متساويتين وايضا فقد اخرج على خطى اﺟ ﺏد المتوازيين خط اد فببرهان كط من ا فان زاويتى ﺟاد ادب المتبادلتين متساويتان فزاوية ﺏاد من مثلث اﺏد مثل زاوية ادﺟ من مثلث اﺟد وناخذ ضلع اد مشتركاً فببرهان كو من ا فان الضلعين الباقيين من مثلث اﺏد مساويان للضلعين الباقيين من مثلث اﺟد كل ضلع مثل نظيره اب مثل ﺟد واﺟ مثل ﺏد والزاويتان الباقيتان متساويتان اﺏد مثل اﺟد والمثلث مثل المثلث وقد بيّنّا ان زاوية ﺏاد مساوية لزاوية ادﺟ وزاوية ادب مساوية لزاوية ﺟاد فزاوية ﺏاﺟ باسرها مساوية لزاوية ﺏدﺟ باسرها وقد بيّنّا ان خط اﺟ مثل خط ﺏد فقد تبيّن ان كل سطح متوازى الاضلاع فان كلّ ضلعين منه يتقابلان او زاويتين تتقابلان فهما متساويان والقطر يقسم السطح بنصفين وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الخامس والثلثون من المقالة الاولى

السطوح المتوازية الاضلاع اذا كانت على قاعدة واحدة وبين (ع) خطين متوازيين فهى [ط] متساوية مثاله ان سطحى اب ﺟد ﻩز ﺟد

متوازيا الاضلاع وهما جميعاً على قاعدة جد وبين خطين متوازيين وهما از ﺟد فاقول ان سطحى اب جد ﻩز جد متساويان برهانه انه قد اخرج على خطى اﺟ ﺏد المتوازيين خط اﺏز فببرهان كط من ا تكون زاوية ﺏاﺟ الداخلة مثل زاوية زﺏد الخارجة وايضا فان سطحى اب جد ﻩز جد فرضا متوازيى الاضلاع فببرهان لد من ا فان كل ضلعين يتقابلان متساويان وضلع اﺟ مساو لضلع ﺏد وضلع اب مساو لضلع ﺟد وضلع ﻩز ايضاً مساو لضلع ﺟد والمساوية لشى واحد فهى متساوية فخط اب مثل خط ﻩز وناخذ خط ﺏه مشتركاً فخط اه باسره مساو لخط زب باسره وكنّا بيّنّا ان خط اﺟ مثل خط ﺏد فضلعا زب ﺏد من مثلث ﺏدز مثل ضلعى ﻩا اﺟ من مثلث اﺟه كل ضلع كما بيّنّا مساو لنظيره وزاوية دﺏز مساوية لزاوية ﺟاه فببرهان د من ا تكون قاعدة ﺟه مثل قاعدة دز ومثلث ﺏدز مثل مثلث اﺟه فنلقى مثلث بﻩح المشترك فيبقى منحرف اﺏحﺟ مثل منحرف ﻩزدح وناخذ مثلث ﺟدح مشتركاً [فسطح] ابجد باسره مثل سطح ﻩزﺟد باسره وهما السطحان اللذان على قاعدة واحدة وبين خطّين متوازيين وذلك ما اردنا ان نبيّن.

زيادة قال ايرن

وقوع هذا الشكل على ثلثة وجه احدها ما بيّنه اوقليدس وهو اصعبها والثانى... والثالث...

الشكل السادس والثلثون من المقالة الاولى

السطوح (ع) المتوازية الاضلاع اذا كانت على قواعد متساوية وبين خطين متوازيين فهى (ط) متساوية مثاله ان سطحى ابﺟد ﻩزﺡط متوازيا الاضلاع وهما على قاعدتين متساويتين وهما ﺏد زط وبين خطين متوازيين وهما خطا ﺏط اح فاقول ان سطحى ابﺟد ﻩزﺡط متساويان برهانه انا نخرج خطى هﺏ ﺡد وكنا فرضنا قاعدة ﺏد مثل قاعدة زط وسطح ﻩزﺡط فرضناه متوازى الاضلاع فببرهان لد من ا يكون خط هﺡ مثل خط زط والمساوية لشى واحد فهى متساوية فخط ﺏد مساو لخط ﻩح وهو ايضا مواز له والخطوط التى تصل بين اطراف الخطوط المتوازية المتساوية فى كلتى الجهتين هى ايضا متوازية متساوية كما بيّنّا ببرهان لجـ من ا فخط ﻩب مثل خط (خط) دح ومواز له فسطح ﻩب دح متوازى الاضلاع وهو مع سطح ﻩزﺡط على قاعدة واحدة ﻩح وبين خطّى اح ﺏط المتوازيين فببرهان له من ا فان سطح ﻩﺏدح مثل سطح ﻩزﺡط وايضا فان سطحى ابﺟد ﺏدﻩح على قاعدة ﺏد وبين خطى اح ﺏط المتوازيين فببرهان له من ا فان سطح ابﺟد مساو لسطح بﻩدح والمساوية لشى واحد فهى متساوية فسطح اﺏجد مساو لسطح ﻩزﺡط فقد تبيّن ان السطوح المتوازية الاضلاع التى هى على قواعد متساوية وبين خطين متوازيين هى متساوية وذلك ما اردنا نبيّن.

زيادة

قال ايرن

وهذا من اختلاف الوقوع كما كان قبله والبرهان عليهما واحد ع

الشكل السابع والثلثون من المقالة الاولى

اذا كانت (ع) المثلثات على قاعدة واحدة وبين (ع) خطين متوازيين فهى متساوية (ط) مثاله ان مثلثى ابﺟ دبﺟ على قاعدة واحدة وهى قاعدة بﺟ وبين خطين متوازيين وهما خطا بﺟ اد فى الجهتين [فاقول] ان مثلث ابﺟ مثل مثلث دبﺟ برهانه انا نخرج خط اد فى الجهتين جميعاً ونخرج من نقطة ب خطاً موازياً لخط اﺟ يلقى الخط المخرج على نقطة ه ونخرج ايضاً من نقطة ﺟ خطا موازيا لخط ﺏد يلقى الخط المخرج على نقطة ز واخراج هذين الخطّين كما بيّن ببرهان لا من ا فمن البيّن ان سطح بﻩ اﺟ متوازى الاضلاع وكذلك سطح ﺏد ﺟز متوازى الاضلاع وهما على قاعدة واحدة وبين خطّى ﻩز بﺟ المتوازيين فببرهان له من ا يكون سطح ﺏه اﺟ مثل سطح ﺏدزﺟ فلان سطح بﻩاﺟ متوازى الاضلاع فببرهان لد من ا فان القطر الذى هو خط اب يقسمه بنصفين فمثلث اﺏه مثل مثلث ابﺟ وبمثل هذا الاستشهاد يتبيّن ان مثلث دﺟز مثل مثلث دﺟب والمتساوية فانّ انصافها متساو[ية] فمثلث دﺟب اذن مساوية لمثلث ابﺟ فقد تبيّن ان المثلثات التى هى على قاعدة واحدة وبين خطّين متوازيين فهى متساوية وذلك ما اردنا ان نبيّن

الشكل الثامن والثلثون من المقالة الاولى

كل المثلثات (ع) التى على قواعد متساوية وبين (فى) خطين متوازيين فهى متساوية (ط) مثاله ان مثلثى ابﺟ دﺟه على قاعدتين متساويتين وهما بﺟ ﺟه وبين خطين متوازيين هما ﺏه اد فاقول ان المثلثين متساويان برهانه انا نخرج خط اد فى كلتى الجهتيين ونخرج من نقطة ب خطا موازياً لخط اﺟ يلتى الخط المخرج على نقطة ز ونخرج ايضا من نقطة ه خطا موازياً لخط ﺟد يلقى الخط المخرج على نقطة ح كما بيّن اخراج ذلك ببرهان لا من ا فمن البيّن ان سطحى اﺟﺏذ دﺟهﺡ متوازيا الاضلاع فببرهان لد من ا مع برهان لو من ا فان سطحى اﺟﺏز دﺟهﺡ متوازيا الاضلاع وعلى قاعدتين متساويتين وبين خطين متوازيين فمتوازى اﺟ ﺏز مساو لمتوازى دﺟﻩح والقطر يقسم كل واحد منهما بنصفين اعنى اب ده وانصاف المتساوية متساوية فمثلث ابﺟ مثل مثلث دﺟه فقد تبيّن ان المثلثات التى على قواعد متساوية وبين خطين متوازيين فهى متساوية وذلك ما اردنا ان نبيّن

زيادة فى هذا الشكل لايرن يتبيّن بعد بيان هذا المعنى ان كل مثلثين يساوى ضلعان من احدهما ضلعين من الاخر كل ضلع لنظيره وتكون زاوية احدهما اعظم من زاوية الاخر اعنى اللتين يحيط بهما الاضلاع المتساوية (فان هاتين الزاويتين اللتين يحيط بهما الاضلاع المتساوية) فان هاتين الزاويتين اللتين يحيط بهما الاضلاع المتساوية مجموعتين ان كانتا معادلتين لقائمتين فان

المثلثين متساويان وان كانتا اقل من قائمتين فالمثلث الذى زاويته اعظم اعظم من المثلث الاخر وان كانتا اعظم من قائمتين فالمثلث الذى زاويته اصغر اعظم من المثلث الاخر فلتكن زاويتا ﺏاﺟ ﻩدز من مثلثى اﺟب دﻩز وهما على الصِّفة التى ذكرناها معادلتين لقائمتين اولاً على انّ زاوية ﺏاﺟ اعظم ونعمل على نقطة د من خط ده زاوية ﻩدح مساويةً لزاوية ﺏاﺟ كما بيّن ببرهان كجـ من ا ونجيز على نقطة ز خط زط يوازى خط ده كما بيّن ببرهان لا من ا ونخرج خط طﻩ فزاويتا ﺏاﺟ ﻩدط متساويتان وكنّا فرصنا مجموع زاويتى ﺏاﺟ ﻩدز مساوياً لمجموع زاويتين قائمتين فمجموع زاويتى ﻩدز ﻩدط مساو لمجموع زاويتين قائمتين لان خط زط اخرج موازياً لخط ده فببرهان كط من ا يكون مجموع الزاويتين الداخلتين اللتين فى جهة واحدة مساويتين لمجموع زاويتين قائمتين فنسقط زاوية ﻩدط المشتركة فتبقى زاوية ﻩدز مساويةً لزاوية دطز فلان خط زط مواز لخط ده تكون [زاوية] دزط مساوية لزاوية ﻩدز والمساوية لشى واحد تكون متساويةً فزاوية دزط مساوية لزاوية دطز فساق دز مساو لساق دط وخط دز مثل خط اﺟ فخط دط اذن مثل اﺟ وخط ده مثل خط اب وزاوية ﺏاﺟ مثل زاوية ﻩدط فقاعدة بﺟ مساوية لقاعدة ﻩط ومثلث ابﺟ مساو لمثلث دﻩط فلاّن مثلثى دﻩط دﻩز على قاعدة واحدة وهى قاعدة ده وبين خطّين متوازيين وهما ده ﻁز فببرهان لز من ا يكون مثلث دﻩط مثل مثلث دﻩز وقد بيّنّا ان مثلث دﻩط مثل مثلث ابﺟ فمثلث ابﺟ مثل مثلث دﻩز لان المساوية

لشى واحد متساوية وذلك ما اردنا ان نبيّن. وايضاً فى الصورة الثانية فانا ننزل انّ زاويتى ﺏاﺟ ﻩدز اصغر من زاويتين قائمتين وزاوية ﺏاﺟ اعظم من زاوية ﻩدز وضلع اب مثل ضلع ده وضلع اﺟ مثل ضلع دز ونبيّن كما بيّنّا قبل ان المثلث ابﺟ اعظم من مثلث دﻩز فنعمل زاوية ﻩدح مثل زاوية ﺏاﺟ ونخرج زط يوازى ﻩد فلان مجموع زاويتى ﺏاﺟ ﻩدز اصغر من مجموع زاويتين قائمتين فمجموع زاويتى ﻩدط ﻩدز اصغر من مجموع زاويتين قائمتين لكن مجموع زاويتى ﻩدط دطز مثل زاويتين قائمتين فاذا اسقطنا زاوية ﻩدط المشتركة بقيت زاوية ﻩدز اصغر من زاوية دطز لكن زاوية ﻩدز مساوية لزاوية دطز المتبادلتان فزاوية دزط اصغر من زاوية دطز فببرهان يط من ا يكون ضلع دز اعظم من ضلع دط وننزل ان دح مثل دز ونصل حﻩ فخط دح مثل خط اﺟ وخط ده مثل خط اب وزاوية ﺏاﺟ مثل زاوية ﻩدح فببرهان د من ا يكون مثلث ابﺟ مثل مثلث دﻩح لكن مثلث دﻩح اعظم من مثلث دﻩز فمثلث ابﺟ اعظم من مثلث دﻩز وذلك ما اردنا ان نبيّن وايضاً فى الصورة الثالثة فانا ننزل ان مجموع زاويتى ﺏاﺟ دﻩز اعظم من مجموع قائمتين فاقول ان مثلث ابﺟ اصغر من مثلث دﻩز وذلك لانه تبقى زاوية ﻩدز اعظم من زاوية دطز وزاوية ﻩدز مساوية لزاوية دزط فزاوية دزط اذن اعظم من زاوية دطز فببرهان [يط] من [ا] يكون ضلع دط اعظم من ضلع دز ونفصل دح مثل دز فبحسب البرهان المتقدم وبذلك الاستشهاد يتبيّن ان مثلث دﻩح مثل مثلث ابﺟ لكن مثلث دﻩط اعظم من مثلث ابﺟ ومثلث دﻩط مثل مثلث دﻩز

فمثلث دﻩز اعظم من مثلث ابﺟ فمثلث ابﺟ اصغر من. مثلث دﻩز وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل التاسع والثلثون من المقالة الاولى

كل (ع) المثلثات المتساويات اذا كانت على قاعدة واحدة فى جهة واحدة فانها بين خطين (ط) متوازيين. مثاله ان مثلثى ابﺟ دبﺟ متساويان وهما على قاعدة واحدة وهى بﺟ وبين خطى بﺟ اد فاقول ان اد مواز لخط بﺟ برهانه انه ان امكن ان نخرج من نقطة ا خطاً اخر موارياً لخط بﺟ غير خط اد فليخرج فننزل انه خط اه ونخرج خط ﺟه فلان مثلثى ابﺟ بﺟه على قاعدة واحدة وبين خطّين متوازيين وهما خطا بﺟ اه فببرهان لز من ا فان مثلث ابﺟ مساو لمثلث بﺟه لكن مثلث ابﺟ مثل مثلث بﺟد والمساوية لشى واحد فهى متساوية فمثلث بﺟه مثل مثلث بﺟد الاصغر مثل الاعظم هذا خلف غير ممكن فليس يمكن ان يخرج من نقطة ا خط مواز لخط بﺟ غير خط اد وكذلك لا يمكن ان يخرج من نقطة ا خط يوازى بﺟ فوق خط اد وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الاربعون من المقالة الاولى

كل المثلثات المتساويات اذا كانت على قواعد متساوية من خطٍّ واحد مستقيم وبين خطين فان الخطين متوازيان مثاله ان مثلثى ابﺟ دﺟه متساويان وعلى قاعدتين متساويتين وهما بﺟ ﺟه من خط واحد وهو ﺏه وبين خطى اد ﺏه فاقول ان خط

اد مواز لخط ﺏه برهانه انه ان امكن ان نخرج من نقطة ا خطاً موازياً لخط ﺏه غير خط اد فليخرج وننزل انه خط از فخط از مواز لخط ﺏه فمثلثا ابﺟ ﺟزه على قاعدتى بﺟ ﺟه المتساويتين وبين خطى از ﺏه المتوازيين فببرهان لح من ا يكون مثلث ابﺟ مساوياً لمثلث ﺟزه لكنا فرضنا مثلث ابﺟ مساوياً لمثلث ﺟده والمساوية لشى واحد فهى متساوية فمثلث ﺟده مثل مثلث ﺟزه الاعظم مثل الاصغر هذا خلف غير ممكن فقد تبيّن انه ليس يمكن ان يخرج من نقطة ا خط مواز لخط ﺏه غير خط اد وليس يمكن ان يخرج ايضاً فوق خط اد خط يوازى خط ﺏه وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الحادى والاربعون من المقالة الاولى

كل سطح متوازى الاضلاع قاعدته قاعدة مثلث وهما بين خطين متوازيين فانّ السطح المتوازى الاضلاع ضعف المثلث مثاله ان سطح ابﺟد متوازى الاضلاع وقاعدته ﺟد وهى ايضا قاعدة مثلث ﺟده وهما بين خطى ﺟد اه المتوازيين فاقول ان سطح ابﺟد ضعف مثلث ﺟده برهانه انّا نخرج قطر اد فمن البيّن بحسب برهان لد ان القطر (يقطع) يقسم سطح ابﺟد بنصفين فسطح ابﺟد ضعف مثلث اﺟد لكن مثلثى اﺟد ﺟده على قاعدة واحدة وهى قاعدة ﺟد وبين خطين متوازيين وهما خطا ﺟد اه

فببرهان لز يكون مثلث ﺟده مثل مثلث اﺟد وقد تبيّن ان سطح ابﺟد ضعف مثلث اﺟد فسطح ابﺟد ضعف سطح ﺟده فقد تبيّن ان كل سطح متوازى الاضلاع قاعدته قاعدة مثلث وهما بين خطين متوازيين فان المتوازى ضعف المثلث وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثانى والاربعون من المقالة الاولى

نريد ان نبيّن كيف نعمل سطحاً متوازى الاضلاع مساوية زاويته (ع) لزاوية معلومة ومساوياً لمثلث معلوم فلتكن الزاوية المعلومة زاوية د والمثلث المعلوم مثلث ابﺟ ونريد ان نعمل سطحاً متوازى الاضلاع مساويةً زاويته لزاوية د ومساوياً لمثلث ابﺟ فنقصد الى احد اضلاع المثلث فنقسمه بنصفين بحسب برهان ي من ا فننزل ان الضلع الذى نقسمه بنصفين ضلع بﺟ على نقطة ه ونخرج خط اه ونعمل على نقطة ه من خط ﺟه زاوية مساويةً لزاوية د بحسب برهان كجـ من ا ولتكن زاوية ﺟﻩز ونخرج من نقطة ﺟ خطاً موازياً لخط ﻩز ومن نقطة ا خطاً موازياً لخط بﺟ بحسب برهان لا من ا وليكن خط ازح فلانّ مثلثى ابﻩ اهﺟ على قاعدتين متساويتين وهما قاعدتا ﺏه هﺟ وارتفاعهما واحد وبين خطين متوازيين وهما بﺟ اح فان بحسب برهان لح من ا يكون مثلث اﺏه مثل مثلث اهﺟ فمثلث ابﺟ ضعف مثلث اهﺟ لكن سطح ﺟﻩزح متوازى الاضلاع وقاعدته اعنى هﺟ قاعدة مثلث اهﺟ وهما بين خطين متوازيين بﺟ اح فبحسب برهان ما يكون سطح ﺟﻩزح ضعف

مثلث اﺟه وقد كنّا ببّنا ان مثلث ابﺟ ضعف اﺟه والتى هى اضعاف لشى واحد فهى متساوية فمتوازى ﺟﻩزح مساو لمثلث ابﺟ فقد عملنا سطح ﺟﻩزح متوازى الاضلاع مساوياً لمثلث ابﺟ المعلوم ومساوية زاويته اعنى ﺟﻩز لزاوية د المعلومة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثالث والاربعون من المقالة الاولى

كل سطح (ع) متوازى الاضلاع على جنبتى قطره سطحان متوازيا الاضلاع (يتممان السطح) فانّ السطحين المتممّين الذين عن جنبتى القطر (ط) متساويان مثاله ان سطح ابﺟد متوازى الاضلاع وقطره بﺟ وعن جنبتى قطره سطحا از زد يتمّمان السطح فاقول انهما متساويان برهانه ان سطح ابﺟد متوازى الاضلاع وقطره بﺟ فببرهان لد فان كل واحد من قطرى جز زب يقسمان السطحين بنصفين فمثلث ﻩزﺟ مساو لمثلث ﺟزح ومثلث طﺏز مساو لمثلث بﮐز فمجموع مثلثى ﻩزﺟ طﺏز مثل مجموع مثلثى زحﺟ بﮐز فاذا اسقطنا مجموع مثلثى ﻩزﺟ طﺏز من مثلث ابﺟ ومجموع مثلثى ﺟﺡز من مثلث ﺏدﺟ بقى سطح از مثل سطح زد المتممّان وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الرابع والاربعون من المقالة الاولى

نريد ان نبيّن كيف نعمل على خط مستقيم معلوم سطحاً متوازى الاضلاع مساوياً لمثلث معلوم ومساوية زاويته لزاوية معلومة فنجعل الخط المعلوم خط اب والمثلث المعلوم مثلث جده والزاوية المعلومة زاوية ز ونريد ان نبيّن كيف نعمل على خط اب سطحاً متوازى الاضلاع مساوياً لمثلث جده ومساوية زاويته لزاوية ز فنخرج خط اب على استقامة فننزل انّا قد اخرجناه الى نقطة ح ونجعل ﺏح مثل نصف ده الذى هو قاعدة مثلث ﺟده ونعمل عليه سطحاً متوازى الاضلاع مساوياً لمثلث ﺟده وهو سطح بﻁﮐح ومساوية زاوية حﺏط منه لزاوية ز وذلك بحسب برهان مب ونخرج خط طﮐ على استقامة الى نقطة ل ونخرج من نقطة ا خطاً موازياً لخط ﺏط ببرهان لا وننزل انه قد التقى مع خط ﮐﻁﻝ على نقطة ل ونصل بين نقطتى ل ﺏ ونخرج خطى لﺏ ﮐح على استقامة فهما يلتقيان لان خطى ﮐﺡ ال متوازيان وقد وقع عليهما خط لﮐ فبحسب برهان كط فانّ مجموع الزاويتين الذاخلتين اللتين فى جهة واحدة مثل مجموع زاويتين قائمتين فمجموع زاويتى لﮐم ﮐﻝم اصغر من مجموع زاويتين قائمتين فبحسب ما بيّن اغانيس ببرهان الاشكال المقدّمة لشكل كط وبحسب ما قدّم اوقليدس فى المصادرة فان خطى ﮐح لﺏ اذا اخرجا التقيا فلننزل انهما قد التقيا على نقطة م ونخرج من نقطة م خطاً موازياً لخط ﮐل ببرهان لا وليكن خط ﻡن ونخرج ﻝا على استقامة وننزل انه قد التقى مع خط ﻡن على نقطة ن ونخرج ايضاً خط طﺏ على

الاستقامة ولينته الى خط ﻡن على نقطة س فسطح لﻡ متوازى الاضلاع وقطره ﻝم وعلى قطره سطحا اط ﺱح متوازيا الاضلاع يقطعهما القطر وعن جنبتى القطر سطحان متوازيان يتمّمان السطح وهما سطحا نﺏ ﺏﮐ فبحسب برهان مجـ فان المتمّمين متساويان اعنى ان سطح نﺏ مثل سطح بﮐ وسطح بﮐ عملناه مثل مثلث ﺟده فسطح نﺏ مساو لمثلث ﺟده وكنّا عملنا زاوية حﺏط مثل زاوية ز لكن زاوية حﺏط مساوية لزاوية اﺏس بحسب برهان يه فزاوية اﺏس مثل زاوية ز فقد عملنا على خط اب المستقيم سطح اس المتوازى الاضلاع مساوياً لمثلث جده المفروض ومساوية زاويته لزاوية ز وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الخامس والاربعون من المقالة الاولى

نريد ان نبيّن كيف نعمل على خط مستقيم معلوم سطحاً مربّعاً قائم الزوايا فليكن الخط المفروض اب فنخرج من نقطة ا خطاً على زاوية قائمة مساوياً لخط اب كما بيّن ببرهان الشكل المضاف الى يا وليكن خط اﺟ ونخرج من نقطة ﺟ خطاً [موازيا لخط اب ببرهان لا وبهذا العمل نخرج خط ﺏد موازياً] لخط اﺟ يلقى خط جد على نقطة د فسطح ابﺟد متوازى الاضلاع وببرهان لد فان السطوح المتوازية الاضلاع كل ضلعين منها يتقابلان او زاويتين تتقابلان فهما متساويان فضلع ﺏد مثل ضلع اﺟ وكنّا اخرجنا ضلع اﺟ مثل ضلع اب فضلع ﺏد مثل ضلع اب وضلع

جد مثل ضلع اب فالاضلاع الاربعة متساوية وزاوية د مثل زاوية ا وزاوية ا عملناها قائمة فزاوية د قائمة وزاوية ب مثل زاوية ﺟ وعملنا زاوية ﺟ قائمة فزاوية ﺏاد قائمة فالزوايا الاربع كل واحدة منها قائمة فسطح ابﺟد متساوى الاضلاع قائم الزوايا فقد عملنا على خط اب سطحاً مربّعا قائم الزوايا وذلك ما اردنا ان نبيّن

الشكل السادس والاربعون من المقالة الاولى

كل مثلث قائم الزواية فان المربع الكائن من الضلع الذى يوتّر الزواية القائمة مساو لمجموع المربعين الكائنين من الضلعين الباقيين مثاله ان زاوية ﺏاﺟ من مثلث ابﺟ قائمة فاقول ان المربع الكائن من ضلع بﺟ الموتّر لزاوية ﺏاﺟ القائمة مساو لمجموع المربعين الكائنين من ضلعى اب اﺟ و[همـ]ـا الضلعان المحيطان بالزاوية القائمة برهانه انّا نعمل على خط بﺟ سطحاً مربعاً قائم الزوايا كما بيّنّا عمله ببرهان مه وليكن مربع بﺟده ونعمل ايضاً على خطى اب اﺟ مربعى اﺏزح اطﮐﺟ قائمى الزوايا ونخرج من نقطة ا خط ال موازياً لخطى ﺏد ﺟه كما بيّن ببرهان

لا ونخرج خطى اد ﺟح فلانّه قد اخرج من نقطة ا من خط ﺏا خطا اﺟ از فى جهتين مختلفتين فحدث عن جنبتيه زاويتا ﺏاﺟ ﺏاز وكلّ واحدة منهما قائمة فمن البيّن بحسب برهان يد ان خطى اﺟ از قد اتّصلا على استقامة فصارا خطاً واحداً وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبيّن ان خطى ﺏا اط قد اتّصلا على استقامة فصارا خطاً واحداً فلان زاوية اﺏح القائمة مساوية لزاوية ﺟﺏد القائمة وناخذ زاوية ابﺟ مشتركة فزاوية ﺟﺏح باسرها مساوية لزاوية اﺏد باسرها وضلع ﺏح مساو لضلع اب وضلع ﺏد مساو لضلع بﺟ فضلعا ﺡﺏ ﺏﺟ مساويان لضلعى اب ﺏد وزاوية اﺏد مساوية لزاوية ﺟﺏح فبحسب برهان د يكون مثلث ﺟﺏح مساوياً لمثلث اﺏد ولان سطح اﺏزح متوازى الاضلاع وقاعدته قاعدة مثلث ﺟﺏح وهى خط ﺡب وهما بين خطى زﺟ ﺡب المتوازيين فبحسب برهان ما يكون سطح اﺏزح ضعف مثلث ﺟﺏح وايضا فان سطح ﺏدﻡل متوازى الاضلاع وقاعدته قاعدة مثلث اﺏد وهى خط ﺏد وهما بين خطى ال ﺏد المتوازيين فببرهان ما يكون سطح ﺏدﻡل ضعف مثلث اﺏد وقد كنّا بيّنّا ان مثلث اﺏد مساو لمثلث ﺟﺏح وان سطح اﺏزح ضعفه والتى هى اضعاف لشى واحد فهى متساوية فمربع اﺏزح مساو لسطح ﺏدﻡل وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبيّن ان سطح ﺟهﻡل مساو لمربع اﺟطﮐ فسطج ﺏﺟده باسره مساو لمجموع مربّعى اﺏزح اﺟطﮐ فقد تبيّن انّ المربع الكائن من ضلع ﺏﺟ الموتر لزاوية ﺏاﺟ القائمة مساو لمجموع المربعين الكائنين من

ضلعى اب اﺟ وذلك ما اردنا ان نبيّن.

زيادة فى هذا الشكل لايرن

نريد ان نبيّن ان الخطوط الثلثة اعنى اللذين يخرجان من زاويتى المربعين الى زاويتى المثلث القائم الزاوية والذى يخرج من زاويته القائمة موازياً لضلعى المربع تتقاطع على نقطة واحدة فنوطّى لذلك ثلثة معان الاول منها انه اذا اخرج فى مثلث ابﺟ خط ده موازياً لقاعدة بﺟ وقسم بﺟ بنصفين بخط اﺡز فان خط دح ايضا يكون مثل خط ﺡه فلنخرج على نقطة ا خط طﮐ موازياً لخط بﺟ كما بيّن ببرهان لا وكذلك نجيز على نقطتى ده خطى ﮐهﻡ طدل يوازيان خط اﺡز ونصل دز وﻩز فمثلثا اﺏز ازﺟ متساويان لانهما على قاعدتين متساويتين وارتفاعهما على نقطة واحدة وهى نقطة ا وذلك بحسب برهان لح وايضا فبحسب هذا البرهان فلان مثلثى ﺏدز زهﺟ على قاعدتى ﺏز زﺟ المتساويتين وبين خطى ﺏﺟ ده المتوازيين فان مثلث ﺏدز مساو لمثلث زهﺟ فاذا اسقطناهما من مثلثى ابز ازﺟ المتساويين بقى مثلث ادز مثل مثلث اﻩز ولان قاعدة كل واحد من هذين المثلثين المتساويين خط از وخط از قاعدة لسطحى ال ام المتوازيين فان كل واحد من سطحى ال ام المتوازيين مثلا مثلّثه ببرهان ما والاشيا التى هى مثلان لشى واحد فهى متساوية فمتوازى ال مثل متوازى ام وهما على قاعدتى ﻝز زم وبين خطين متوازيين فبحسب عكس برهان لو فان قاعدة ﻝز مثل قاعدة زم وبحسب برهان لد يكون خط دح مثل خط ﻩح وذلك ما اردنا ان نبيّن. والمعنى الثانى انه اذا اجيز فيما بين خطى اب ﺟد وهما متوازيان ثلثة

خطوط تتقاطع على نقطة واحدة كخطوط بﺟ اد ﻩز تتقاطع على نقطة ح فيصيّر خط ﺟز مساوياً لخط زد فان خط اه يكون مثل خط ﻩب فلنوطّى لذلك انه متى كان خط اح اعظم من خط ﺡد فان خط بﺡ يكون اعظم من خط حﺟ وان كان مساوياً له كان مساوياً له وان كان اصغر منه كان اصغر منه فلننزل ان اح اعظم من ﺡد فاقول ان ﺏح اعظم من حﺟ فان لم يكن اعظم منه فانه مثله او اصغر منه فلننزل انه مثله ونخرج ﺡد الى م حتى يكون ﺡم مثل اح فضلعا اح ﺡب مثل ضلعى مﺡ حﺟ وزاوية اﺡب مساوية لزاوية ﺟﺡم وذلك ببرهان يه واما بحسب برهان د فانه قاعدة ﺟم مثل قاعدة اب وسائر الزوايا مثل سائر الزوايا فزاوية حﺟم مساوية لزاوية ابﺡ فببرهان كز فان خط اب مواز لخط ﺟم فيكون بحسب ل خط ﺟم موازياً لخط ﺟد وهما يتقاطعان هذا خلف فليس ﺏح مساوياً لخط حﺟ فلننزل انه اصغر منه ونفصل حﮐ مساوياً لخط ﺏح ونصل ﮐم فيتبيّن بمثل ذلك ان كم مواز لخط ﺏا وذلك خلف اذ كان خط ﺏا موازياً لخط دﺟ فليس اذن بﺡ باصغر من حﺟ فهو اذن اعظم منه وكذلك يتبيّن انه متى كان اح مثل ﺡد كان بﺡ مثل حﺟ ومتى كان اصغر منه كان اصغر منه فاذا قد وطِّى ذلك فلنبيّن الآن انّ ﺟز متى كان مثل زد فانّ اه يكون مثل ﻩب فلننزل اح اصغر من ﺡد فمن الييّن لما وطّأناه انّ بﺡ اصغر من ﺡﺟ فنفصل ﺡط مثل ﺡا وﺡﮐ مثل ﺡب ونصل طﻝﮐ فخطا اح ﺡب مثل خطى ﮐﺡ ﺡط وزاوية اﺡب مساوية لزاوية طحﮐ وقاعدة اب مساوية لقاعدة كط

وسائر الزوايا مثل سائر الزوايا فزاوية حﮐل مثل زاوية هﺏح وزاوية هﺡب مثل زاوية ﮐﺡل وضلع ﺏح مثل ضلع حﮐ فببرهان كو يكون ضلع ﮐل مثل ضلع ﺏه وبهذا البرهان والاستشهاد يتبيّن انّ خط اه مثل خط طل فلانّ زاوية حﮐط مساوية لزاوية ابﺟ فببرهان كو يكون خط اب موازياً لخط طﮐ لكن خط اب مواز لخط ﺟد فببرهان ل يكون خط كط موازياً لخط جد ولما بيّنا فى المعنى الاوّل اذا كان جز مثل زد فانّ ﮐﻝ مثل ﻝط فخط اه اذن مثل خط ﻩب وكذلك يتبيّن مافصدنا له ان كان اح مثل ﺡد او كان اعظم منه والمعنى الثالث انه ان كان فى سطح اب المتوازى الاضلاع سطحا اه ﺡد حﺟ ﺏز متوازيى الاضلاع وكان سطح دز مثل سطح هﺟ ووصل خط اح واخرج على الاستقامة لقى نقطة ب فلتوصل خطوط هﮐد هﺟ دز ﺟطز ولنخرج اح على الاستقامة الى ط وليوصل طﺏ فاقول ان اﺡطﺏ مستقيم اعنى انّ خط اط قد اتّصل بخط طﺏ على استقامة برهانه ان سطح دز وضع مساوياً لسطح هﺟ فيكون مثلث هﺡز مثل مثلث هﺟح وناخذ مثلث ﺡﺟز مشتركاً فيكون مثلث دﺟز مثل مثلث هﺟز وهما على قاعدة واحدة وهى قاعدة ﺟز وبين خطى ﺟز ده فببرهان لط فان خط ﺟز مواز لخط ده وخط هﮐ مساو لخط كد وذلك بيّن لان مثلث اهﮐ مثل مثلث دﮐح وذلك ببرهان لد مع برهان كط ومع برهان ﮐو وامّا بحسب المعنى الثانى من هذه المعانى فان خط ﺟط مثل خط ﻁز لكن خط ﺏز مثل خط

ﺟح وذلك ببرهان لد فخطا طﺡ ﺟح مثل خطى ﺏز زط وزاوية ﺏزط مثل زاوية ﺡﺟط وذلك ببرهان د من ا فان قاعدة ﺏط مثل قاعدة طﺡ وزاوية ﺏطز مساوية لزاوية ﺟطﺡ وناخذ زاوية ﺡﻁز مشتركة فمجموع زاويتى ﺟطﺡ ﺡطز مثل مجموع زاويتى ﺏﻁز زطﺡ لكن مجموع زاويتى ﺟطﺡ زﻁح مثل مجموع زاويتين قائمتين فمجموع زاويتى ﺏطز زﻁح مثل مجموع زاويتين قائمتين فقد خرج من نقطة ط من خط زط خطان فى جهتين مختلفتين وهما خط[ـا] اط طب فصيّر الزاويتين اللتين عن جنبتيه معادلتين لزاويتين قائمتين فخط[ـا] اط ﻁب قد اتصلا على استقامة وصارا خطاً واحداً وذلك ما اردنا ان نبيّن. فاذ قد قدّمنا هذه المعانى فلننزل ان مثلث ابﺟ زاوية ا منه قائمة وقد عمل على بﺟ مربع ﺟد وعلى اب مربع ابﻩز وعلى اﺟ مربع اﺟﺡط واخرج من نقطة ا خط اﮐل موازياً لخط ﺏد ووصل خط هﺟ فقاطع خط ال على نقطة م ووصل خط ﺡم ثم وصلت نقطة م بنقطة ب فاقول ان خط ﻡب على استقامة خط ﺡم فليخرج خطا هﺏ حﺟ على الاستقامة حتى يلتقيا على نقطة س وتجاز على نقطة م خط عﻡف موازيا لخط ﺱه وخط صﻡق موازياً لخط زﺟ كما بيّن اخراجه ببرهان لا ويوصل خطا ﺱا ﻁز فخط ﻁا مثل خط اﺟ وخط زا مثل خط اب فخطا ﺏا اﺟ مثل خطى زا اط وزاوية ﺏاﺟ مثل زاوية زاط فقاعدة بﺟ مثل قاعدة طز وذلك ببرهان د وسائر الزوايا مثل سائر الزوايا فزاوية ابﺟ مثل زاوية ﻁزا لكن زاوية ابﺟ مثل زاوية ﺟاﮐ لان اﮐ عمود فى مثلث ابﺟ القائم الزاوية فزاوية ﻁزا مثل زاوية ﺟاﮐ وزاوية

ﻁزا مثل زاوية ﺱاز لانه قد اخرج فى متوازى ﺱا قطرا ﺱا ﻁز يتقاطعان على نقطة ذ فيصير زذ مساوياً لخط اذ فزاوية ﺱاز مثل زاوية ﺟاﮐ وناخذ ﺱاﺟ مشتركة فمجموع زاويتى ﺱاز ﺱاﺟ مثل مجموع زاويتى ﻡاﺟ ﺟاس لكن بحسب برهان يجـ فان مجموع زاويتى ﺱاز ﺱاﺟ مثل مجموع زاويتين قائمتين فمجموع زاويتى ﺱاﺟ ﺟام مثل مجموع زاويتين قائمتين فبحسب برهان [يد] فان خط ﺱام مستقيم وهو قطر لمتوازى ﺱم فبحسب برهان مجـ فان متمّم اص مساو لمتمّم اع وناخذ سطح ام مشتركاً فسطح ﻡط مثل سطح ﻡز وايضا فانّ سطح زن متوازى الاضلاع وقطره هﻡﺟ وعن جنبتيه سطحا زم ﻡن المتوازيان وهما المتممّان فمتمّم زم مثل متمّم ﻡن فسطح ﻡن اذا مساو لسطح ﻡط فبحسب ما برهان فى المعنى الثالث من المعانى الموطّاة لهذا الشكل يكون خط بﻡح مستقيما وذلك ما اردنا ان نبيّن.

زيادة فى الشكل السادس والاربعين

لثابت بن قرّة الحرّانى الصّابئ قال ثابت بن قرّة كل مثلث قائم الزاوية فان المربع الكائن من الضلع الذى يوتّر الزاوية القائمة مثل مجموع المربّعين الكائنين من الضلعين اللذين يحيطان بالزاوية القائمة مثاله ان مثلث ابﺟ زاوية ﺏاﺟ منه قائمة فاقول ان المربع الكائن من ضلع بﺟ مساو لمجموع المربعين الكائنين من ضلعى اب اﺟ برهانه انا نعمل على خط اب مربع

اد ونخرج خط اﺟ الى نقطة ز وليكن خط ﻩز مثل خط اﺟ ونعمل على خط ﻩز مربع ﻩح ونخرج دطﮐ مثل اﺟ فلان اﺟ اخرج مثل ﻩز فاذا اسقطنا ﻩﺟ المشترك بقى اه مثل ﺟز لكن اه مثل اب فخط اب مثل خط ﺟز. وايضا دﮐ اخرج مثل ﻩط فنلقى دط المشترك فيبقى ﻩد مثل طﮐ وخط ﻩد مثل خط اب فالاربعة الاضلاع من الاربع المثلثات متساوية اعنى اب ﺟز ﺏد طﮐ وكذلك نبيّن ان الاربعة الاضلاع الباقية متساوية اعنى اﺟ زﺡ دﮐ طﺡ لان اﺟ اخرج مثل ﻩز وﻩز مثل طح لان ﻩح مربع فخط اﺟ اذن مثل خط طﺡ وخط دﮐ اخرج ايضا مثل خط اﺟ وخط زح قد تبيّن انّه مثل ﻩز وخط ﻩز اخرج مثل خط اﺟ فقد نبيّن انّ خطوط اﺟ زح دﮐ ﺡط ايضا متساوية وقد تبيّن ان زوايا المثلثات الاربعة قوائم اعنى زوايا ا ز د ط فبحسب برهان د تكون الاوتار التى توتر الزوايا المساوية وهى القوائم متساويةً فاوتار بﺟ ﺟح بﮐ حﮐ متساوية وزاوية دبﮐ من مثلث ﮐﺏد مساوية لزاوية ابﺟ من مثلث ابﺟ ونجعل زاوية لﺏد مشتركة فجميع زاوية اﺏد مثل زاوية ﺟبﮐ لكن زاوية اﺏد قائمة فزاوية ﺟﺏﮐ اذا قائمة وكذلك زاوية ﺟحﮐ قائمة وسطح ﺏح متساوى الاضلاع فزاويتا ﺏﮐح ﺏﺟح كل واحدة منهما قائمة فسطح ﺏح متساوى الاضلاع قائم الزوايا وقد بيّنا ان المثلثات الاربعة متساويات مثلثا ابﺟ ﺟزح مثل مثلثى ﺏدﮐ ط ﮐح فاذا جعلنا منحرف ﺟل طﺡ ومثلث ﺏدل مشتركاً كان جميع مربع بﺡ مساوياً لمجموع مربعى اد ﻩح لكن مربع اد هو الكائن من

ضلع اب ومربع ﻩح هو الكائن من خط ﻩز وخط ﻩز مساو لضلع اﺟ فمربع ﻩح هو كائن من ضلع اﺟ فمجموع مربعى اد ﻩح هما الكائنان من ضلعى اب اﺟ ومربع ﺏح هو كائن من ضلع ﺏﺟ الموتّر للزاوية القائمة فقد نبيّن ان مجموع المربعين الكائنين من ضلعى اب اﺟ مساو للمربع الكائن من ضلع بﺟ وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل السابع والاربعون من المقالة الاولى

كل مثلث يكون مجموع مربعى ضلعين من اضلاعه مساوياً لمربع الضلع الثالث فان الزاوية التى يوتّرها الضلع الثالث قائمة مثاله ان مربع ضلع بﺟ من مثلث ابﺟ مساو لمجموع مربعى ضلعى اب اﺟ فاقول ان زاوية ﺏاﺟ قائمة برهانه انا نقيم على نقطة ا من خط ﺟا عمود اد مثل ضلع اب كما بيّن ببرهان الشكل المضاف الى يا فلان اد اخرجناه مثل اب يكون المربع الكائن من خط اب مثل المربع الكائن من اد وناخذ المربع الكائن من خط اﺟ مشتركا فمجموع مربعى اب اﺟ مثل مجموع مربعى اﺟ اد فلانّ زاوية ﺟاد قائمة فبحسب برهان مو يكون مجموع مربعى اﺟ اد مساويا لمربع ضلع دﺟ فضلع بﺟ مثل ضلع دﺟ وضلع ﺏا مثل ضلع اد وناخذ ضلع اﺟ مشتركا فضلعا اب اﺟ مثل ضلعى اد اﺟ وقاعدة دﺟ مثل قاعدة بﺟ فببرهان ح تكون زاوية ﺏاﺟ مساوية لزاوية ﺟاد لكن زاوية ﺟاد قائمة فزاوية ﺏاﺟ اذن قائمة فقد تبيّن ان كل مثلث يكون مجموع المربعين الكائنين من ضلعيه اللذين يحيطان بالزاوية † مثل [مربع] الضلع

الثالث فان الزاوية التى يوترها الضلع الثالث تكون قائمة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

برهان لهذا الشكل لايرن

قال ايرن اقول ان الخط الذى يخرج من نقطة ب على زاوية قائمة على خط بﺟ من جهة اب الذى مربعه مع مربع بﺟ مساو لمربع اﺟ لا يكون غير خط اب فان امكن ان يكون غير فليس يخلو من ان يقع دونه او ورآءه فلننزل انه وقع من دونه كخط ﺏز حتى تكون زاوية زبﺟ قائمة فزاوية ﺏزﺟ اصغر من قائمة وذلك بحسب برهان يز فزاوية ازب منفرجة وذلك بحسب برهان يجـ فزاوية زاب حادّة وذلك بحسب برهان يز فبحسب برهان يط يكون ضلع اب اعظم من ضلع ﺏز ونخرج ﺏز على الاستقامة الى نقطة ه حتى يكون ﺏزه مثل خط ﺏا ونخرج خط هﺟ فمربع خط هﺏ اعنى مربع خط اب مع مربع بﺟ مثل مربع هﺟ وقد كانا مثل مربع اﺟ فخط اﺟ مثل خط هﺟ وخط اب مثل خط هﺏ فقد خرج من طرفى خط مستقيم خطان مستقيمان فى جهتين مختلفتين والتقى طرفاهما على نقطة وخرج من مخرجيهما خطان آخران مساويان لهما فى تلك الجهة التقى طرفاهما على غير تلك النقطة فبحسب برهان ز يكون هذا السياق محالاً وكذلك يسوق الى المحال ان كان الخط يقع من ورآء خط اب فخط اب اذن هو الذى على زاوية قائمة من خط بﺟ وذلك ما اردنا ان نبيّن

تمت المقالة الاولى من كتاب اوقليدس