الشكل الاول من المقالة الثانية

كل خطين مستقيمين يقسم احدهما باقسام كم كانت فان السطح الذى يحيط به الخطان مساو لجماعة السطوح التى يحيط بها الخط الذى لم يقسم وكل واحد من اقسام الخط الاخر المقسوم مثاله ان خطى ا بجـ مفروضان وقد قسم خط بجـ على نقطتى د ه فاقول ان السطح الذى يحيط به خطا ا بجـ مساو لجماعة السطوح التى يحيط بها خط ا واقسام بد ده هجـ برهانه انا نقيم على نقطة ب عمود بز وليكن مساوياً لخط ا كما بيّنّا عمله ببرهان الشكل المضاف الى يا من ا ونجيز على نقطة ز خط زح موازياً لخط بجـ ومساوياً له كما بيّن ببرهان لا من ا وبمثل هذا البرهان نخرج خطوط دط هڪ جـح موازية لخط بز فمن البيّن ان سطح جزء يحيط به خطا بجـ بز لكن بز مثل ا فسطح جز يحيط [به] جطا ا بجـ وهو مساو لجماعة السطوح الثلثة جـڪ هط دز المتوازية الاضلاع لكن سطح جـڪ يحيط به خطا جه هڪ وسطح هط يحيط به خطا هد دط وسطح دز يحيط به خطا دب بز وكل واحد من خطوط جـح هڪ دط بز مساو لخط ا فجماعة سطوح جـڪ هط دز يحيط بها خط ا واقسام بد ده هجـ وجماعتها مساوية لسطح جز وسطح جز يحيط به كما بيّنّا خطا ا بجـ فقد نبيّن ان السطح الذى يحيط به خطا ا بجـ مساو لجماعة السطوح التى يحيط بها خط ا وكـل واحد من اقسام بد ده هجـ وذلك ما اردنا ان نبيّن

زيادة

ومثال هذا

الشكل من الاعداد ولٮكن خط ا ستّة من العدد وخط بجـ عشرة وليكن بد اثنـ[ـين] وده ثلثة وجه خمسة فمن البيّن انا متى ضربنا الستة فى العشرة - - - - ستين وهو مساو للّذى يجتمع من ضرب الستّة فى الاثنين وفى الثلثة وفى الخمسة لان الستة فى اثنين اثنا عشر وستة فى ثلثة ثمنية عشر وستة فى خمسة ثلثون ومجموع هذه الاعداد ستون

قال ايرن ان هذا الشكل ليس يمكن ان يبرهن عليه الّا بان يرسم الخطان جميعاً فامّا الاشكال الباقية فقد يمكن ان يتبيّن برسـ[م خـ]ط واحد فقط وايضا فقد يمكن ان ناتى من وضعنا خطاً واحداً بطريقى البرهان اللذين احدهما طريق التحليل والاخر طريق التركيب امّا التحليل فانّه متى فرضت لنا مسألة ما قلنا ننزلها منرلة الشى المطلوب انه موجود ثم نفضّه الى شى قد تقدمّ برهانه فاذا تبين لنا قلنا انه قد وجد المطلوب بالتحليل وامّا التركيب فانّه ان يبتدا باشياء معروفة ثم تركّب الى ان يوجد الشى المطلوب فعند ذلك يكون المطلوب قد تبيّن بالتركيب واذ قد اخبرنا بهذا فلنصر الى مطلوبنا على ما وصفنا ووعدنا.

يريد بذلك ان يبيّن ما وعدها هنا فى سائر الاشكال التى ياتى بها اوقليدس فى هذه المقالة الثانية.

الشكل الثانى من المقالة الثانية

كل خط مستقيم يقسم باقسام كم كانت فان مربع الخط كله مساو لجماعة السطوح التى يحيط بها الخط كله مع كل واحد من اقسامه مثاله ان خط اب قد قسم على جـ بقسمين فاقول ان مربع خط اب مساو لمجموع السطحين اللذين يحيط بهما خط اب وكل اوحد من خطى اجـ جب برهانه انا نعمل على خط اب سطحاً مربعاً قائم الزوايا كما بيّن عمله ببرهان مه من ا وليكن مربع بد ونخرج من نقطة جـ خطا موازيا لخطى اد به كما بيّن اخراجه ببرهان لا من ا وليكن خط جز فسطحا از جـه متوازيا الاضلاع امّا سطح دجـ فيحيط [به] خطا دا اجـ وسطح زب يحيط به زجـ جب وخط جز مثل خط اد وخط اد مثل خط اب فمجموع سطحى دجـ زب يحيط بهما خط اب وكل واحد من خطى اجـ جب ومجموع سطحى دجـ زب مساو لمربع دب الكائن من خط اب فقد تبيّن ان المربع الكائن من خط اب مساو لمجموع السطحين اللذين يحيط بهما خط اب وكل واحد من خطى اجـ جب وذلك ما اردنا ان نبيّن.

مثاله من الاعداد نفرض خط اب عشرة من العدد وقد قسم على نقطة جـ بقسمين فصار اجـ ثلثة من العدد وخط جب سبعة فمن البيّن ان مضروب اب الذى هو عشرة فى مثله مساو للذى يجمتع من ضرب اب الذى هو عشرة فى كل واحد من ثلثة وسبعة لان عشرة فى مثلها مائة وعشرة فى ثلثة ثلثون وفى سبعة سبعون ومجموعهما مائة وذلك ما اردنا ان نبيّن. قال ايرن مثال ذلك ان نفرض الخط المستقيم خط اب ونقسمه قسمةً كيف

كانت على نقطة جـ فنريد ان نبيّن ان مربع اب مساو للسطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع السطح الذى يحيط به خطا اب اجـ - - - - -

- - ان يتوهم خط اب خطين متساويين احدهما منقسم والآخر غير منقسم فمن البيّن ان الخطين يكونان متساويين فيكون السطح الذى يحيط به هذان الخطان المتساويان مساوياً لمربع احدهما فليكن مساوياً لمربع اب فممـ[ـا بـ]ـيّنا ببرهان ا من ب يكون مجموع السطحين الكائنين من الخط الذى لم يقسم مع اقسام اجـ جب مساوياً للسطح الذى يحيط به الخط الذى لم يقسم وخط اب ومربع اب مساو لذلك السطح كما بيّنّا والخط الذى لم يقسم مساو لخط اب كما وصفنا فالسطحان اللذين يحيط بهما خط اب وكل [واحد] من قسمى اجـ جب مساويان لمربع خـ[ط ا]ب وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثالث من المقالة الثانية

كل خط يقسم بقسمين اى قسمين كانا فان السطح الذى يحيط به الخط كله واحد القسمين مساو للسطح الذى يحيط به قسما الخط مع مربع ذلك القسم مثاله ان خط اب قد قسم بقسمين على نقطة جـ فاقول ان السطح الذى يحيط به خط اب وقسم بجـ مساو للسطح الذى يحيط به قسما اجـ جب مع مربع جب برهانه انا نعمل على خط جب سطحاً مربعاً كما بيّن عمله ببرهان مـه من ا وليكن مربع جه ونخرج من نقطة ا خطاً موازياً لخط جز كما بيّن ببرهان لا من ا وليكن خط اد ونخرج

خط هز على الاستقامة وننزل انه لقى خط اد على نقطة د فمن الظاهر ان سطح اه متوازى الاضلاع وهو مساو لسطحى از زب المتوازيى الاضلاع لكن سطح از يحيط به خطا اجـ جز وخط جز مثل خط جب لان سطح زب عمل مربعاً فسطح از يحيط به خطا اجـ جب وسطح زب هو مربع خط جب فالسطح الذى يحيط به خطا اجـ جب مع المربع الكائن من خط جب مساو لسطح اه المتوازى الاضلاع باسره لكن سطح اه يحيط به خطا اب به وخط به مساو لخط جب لان سطح بز عمل مربعا فسطح اه باسره يحيط به خطا اب بجـ فقد تبيّن انّ السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مساو للسطح الذى يحيط به قسما اجـ جب مع مربع جب وذلك ما اردنا ان نبيّن.

مثاله من الاعداد انا نفرض خط اب عشرة من الاعداد ونقسمه على نقطة جـ بقسمين يكون اجـ ثلثة من العدد وجب سبعة فضرب اب الذى هو عشرة فى بجـ الذى هو سبعة يكون سبعين من العدد وهو مساو للمجتمع من ضرب اجـ الذى هو ثلثة فى جب الذى هو سبعة ومن ضرب جب السبعة فى نفسه وذلك ان اجـ فى جب احد و عشرون وخط جب فى مثله تسعة واربعون ومجموعهما سبعون وذلك ما اردنا نبيّن.

قال ايرن وبرهان هذا الشكل يتبيّن بلا صورة ببرهان الشكل الاول من هذه المقالة فنفرض انّ لنا خطين موضوعين وهما خطا اب بجـ احدهما غير مقسوم وهو بجـ والآخر مقسوم على نقطة جـ وهو اب فمن البيّن انه يكون السطح الذى يحيط به الخط غير المنقسم وخط اب مساوياً لمجموع السطوح التى يحيط بها الخط

غير المنقسم واقسام الخط المنقسم اعنى بالاقسام قسمى اجـ جب ولكن الخط غير المنقسم مساو لخط جب فالسطح الذى يحيط به الخط غير المنقسم وخط جب مساو لمربع خط جب فاذاً السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مساو للسطح الذى يحيط به خط (خطا .Sc) اجـ جب مع مربع خط جب وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الرابع من المقالة الثانية

كل خط يقسم بقسمين قسمةً كيف وقعت فان مربع الخط كله مساو لمربعى قسميه مع ضعف السطح الذى يحيط به قسما الخط مثاله ان خط اب قسم بقسمين على نقطة جـ فاقول ان مربع خط اب مساو لمربعى قسمى اجـ جب مع ضعف السطح الذى يحيط به قسما اجـ جب برهانه انا نعمل على خط اب سطحاً مربعاً كما بيّن عمله ببرهان مه من ا وليكن مربع ادهب ونخرج قطر [ب]د و خط جح موازيا [لـ]خطى اد به كما بيّن اخراجه ببرهان لا من ا وليقطع قطر بد على نقطة ز ونجيز على نقطة ز خطا موازيا لخطى اب ده بحسب ما استشهدنا وهو خط طڪ فلان خط بد قد اجيز على خطى اد جـح المتوازيين فبحسب برهان يط من ا تكون زاوية جزب الخارجة مساوية لزاوية ادز الداخلة ولان مثلث ادب متساوى الساقين فبحسب برهان ه من ا تكون زاوية ابد مساوية لزاوية ادب والاشياء المسارية لشى [واحد] فهى متساوية فزاوية جزب مساوية لزاوية جبز فبحسب برهان و من ا يكون ضلع جب مثل ضلع جز ولان سطح جڪ متوازى الاضلاع فبحسب

برهان لد من ا يكون خط جز مثل خط بڪ وخط جب مثل خط ڪز وقد كنّا بيّنّا ان خط جب مثل خط جز والاشياء المساوية لشى واحد فهى متساوية فخط زڪ مثل خط جز فهو مثل خط ڪب فالاضلاع الاربعة جب جز زڪ ڪب متساوية فسطح جـڪ متساوى الاضلاع قائم الزوايا لان زاوية جـ القائمة مثل زاوية ڪ القائمة فزاويتا بز كل واحدة منهما قائمة وذلك بيّن ببرهان لد من ا فسطح جـڪ هو مربع خط جب ولان ضلع اب مثل ضلع به وخط جب مثل خط ڪب فاذا اسقطنا من المتساوية متساويةً فان الذى يبقى مساو فخط اجـ مثل هڪ لكن بحسب برهان لد من ا يكون اجـ مثل طز وخط ڪه مثل خط زح وخط طز مثل خط حز وخط طز يوازى خط دح وخط زح يوازى خط دط فسطح طح متساوى الاضلاع قائم الزوايا وهو مساو لمربع خط اجـ فسطحا طح جـڪ هما مربعا خطى اجـ جب ولان سطح اه متوازى الاضلاع وعلى قطره سطحان متوازيا الاضلاع فبحسب برهان مجـ من ا يكون السطحان اللذان عن جنبتى قطر بد المتمّمان متساويين فسطح از مثل سطح زه لكن سطح طجـ نڃيط به خطا اجـ جز وخط جز مثل خط جب فسطح از يحيط به خطا اجـ جب فضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جب مساو لمجموع سطحى از زه فمربع اه باسره مساو لمربعى قسمى اجـ جب ولضعف السطح الذى يحيط به قسما اجـ جب لكن مربع اه هو مربع خط اب فقد تبيّن ان مربع خط اب مساو لمربعى قسمى اجـ جب ولضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جب وذلك ما اردنا ان نبيّن

ومثاله من الاعداد ان

نفرض خط اب عشرة من العدد ونقسمه على نقطة جـ بقسمين وليكن اجـ سبعة وجب ثلثة فضرب اب فى مثله مائة وهو مساو لضرب اجـ الذى هو سبعة فى مثله وهو تسعة واربعون ولضرب جب الذى هو ثلثة فى مثله وهو تسعة و[لضعف] المجتمع من ضرب اجـ السبعة فى جب الثلثة وهو اثنان واربعون فهو مائه وذلك ما اردنا ان نبيّن.

وامّا البرهان على هذا الشكل من غير صورة على مذهب ايرن على طريق الحلّ

فنطلب هل ينحلّ المربع الكائن من خط اب الى مجموع المربعين الكائنين من اجـ جب مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جب فلان خط اب قد انقسم الى خطى اجـ جب فببرهان ب من ب ينحل المربع الكائن من خط اب الى مجموع السطحين اللذين يحيط باحدهما خطا با اجـ وبالاخر خطا اب بجـ لانه مثلهما وهذان السطحان ينحلّان الى برهان شكل جـ من ب وذلك لان السطح الذى يحيط به خطا اب اجـ مساو للسطح الذى يحيط به خطا بجـ جـ ا مع مربع اجـ والسطح (الذى يحيط) به خطا اب بجـ مساو للسطح الذى يحيط به خطا اجـ جب مع مربع جب فمجموع المربعين الكائنين من خطى اجـ جب مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جب مساو لمجموع السطحين الذين يحيط باحدهما خطا با اجـ وبالاخر خطا اب بجـ وقد كنّا بيّنّا ان مربع خط اب مساو لهذين السطحين فقد انحلّ المربع الكائن من خط اب الى مجموع المربعين الكائنين من خطى اجـ جب مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جب واستويا وذلك ما اردنا ان نبيّن.

وامّا على طريق التركيب

فنبدا الآن فنركّب من حيث انتهى بنا الحل فنقول ان بحسب برهام جـ من ب من فان السطح الذى يحيط به خطا بجـ جـا مع مربع اجـ مساو للسطح الذى يحيط به خطا با اجـ وكذلك السطح الذى يحيط به خطا اجـ جب مع مربع بجـ مساو للسطح الذى يحيط به خطا اب بجـ (مع المربع الكائن من خط بجـ) فقد تركّب المربعان الكائنان من خطى اجـ جب مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جب وساويا السطحين اللذين يحيط باحدهما خطا با اجـ وبالاخر خطا اب بجـ وهذان السطحان يتركّبان ويساويان المربع الكائن من خط اب بحسب برهان ب من ب فمجموع المربعين الكائنين من خطى اجـ جب مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جـب قد تركّب وساوى باجمعه المربع الكائن من خط اب وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الخامس من المقالة الثانية

كل خط مستقيم يقسم بقسمين متساويين ويقسم ايضاً بقسمين مختلفين فان السطح الذى يحيط به القسمان المختلفان مع

مربع الخط الذى بين نقطتى القسمين مساو لمربع نصف الخط مثاله ان خط اب المستقيم قسم بقسمين متساويين على نقطة جـ وبقسمين مختلفين على نقطة د فاقول ان السطح الذى يحيط به قسما اد دب مع مربع جد مساو لمربع جب برهانه انا نعمل على خط جب سطحاً مربعاً قائم الزوايا كما بيّن ببرهان مه من ا وليكن مربع جز ونخرج قطر به ونخرج من نقطة د خطا موازيا لضلعى جـه بز كما بيّنّا اخراجه ببرهان لا من ا ونجيز على نقطة ح خط ڪحلم موازيا لخط با كما بيّنّا اخرجه ببرهان لا من ا ونخرج من نقطة ا خطاً موازياً لخطوط جـل دح بڪ يلقى خط ڪلم وننزل انه لقيه على نقطة م كما بيّنّا اخراجه ببرهانلا من ا ونبيّن كما بيّنّا فى شكل د من ب وبمثل ما استشهدنا فيه من الاشكال ان سطحى دڪ لط مربعان قائما الزوايا وهما على قطر به فبحسب برهان مجـ من ا فان سطح جـح المتمّم مثل سطح حز المتمّم وناخذ سطح دڪ مشتركاً فسطح جـڪ باسره مساو لسطح دز باسره وسطح جـڪ مثل سطح جم لانهما على قاعدتين متساويتين وهما بل لم وبين خطين متوازيين وهما ڪم اب وذلك بيّن ببرهان لو من ا فسطح جم اذاً مساو لسطح دز لانّ الاشياء المساوية لشى واحد تكون متساوية وناخذ سطح دل مشتركاً فسطح مجـ باسره مستاو لعلم نسع لكن سطح مد يحيط به خطا اد دح وخط دح مثل خط دب لان سطح دڪ مربع قائم الزوايا فسطح مد يحيط به

خطا اد دب فعلم نسع مساو للذى يحيط به خطا اد دب ومربع هح مساو لمربع خط جـد فمربع جز باسره ومساو لعلم نسع ولمربع هح لكن مربع جز هو مربع خط جب فالسطح الذى يحيط به قسما اد دب مع مربع خط جـد الذى بين العلامتين مساو لمربع خط جب وذلك ما اردنا ان نبيّن.

مثاله من الاعداد نفرض اب عشرةً من العدد وقسمى اجـ جب كل واحد منهما خمسة وقسم اد سبعة فيبقى دب ثلثة فيحصل جـد اثنين فمن البيّن ان المجتمع من ضرب قسم جب فى مثله خمسة وعشرون وهو مساو للذى يجتمع من ضرب اد فى دب وذلك احد وعشرون ومن ضرب جـد فى مثله وذلك اربعة ومجموعهما خمسة وعشرون وذلك ما اردنا ان نبيّن.

وامّا على مذهب ايرن فى برهان هذا الشكل بالتحليل فمن اجل انا

نطلب ان نعلم هل السطح الذى يحيط به قسما اد دب مع مربع خط جـد مساو لمربع خط جب فلناخذ خطين قد قسم احدهما باقسام وهو خط اد على نقطة جـ والآخر لم يقسم وهو خط دب فبحسب برهان ا من ب يكون السطح الذى يحيط به خطا اد دب مساوياً لمجموع السطحين اللذين يحيط بهما خط بد وقسما اجـ جـد فلانّ اجـ مثل جب فانّ مجموع السطحين اللذين يحيط بهما خطا جب بد وخطا جد دب مساو للسطح الذى يحيط به خطا اد دب فقد بقى لنا مربع جـد فنجعله مشتركاً فيكون مجموع السطحين اللذين يحيط بهما جب بد وخطا جد دب مع مربع جـد مساوياً للسطح الذى يحيط به خطا اد دب مع مربع جـد لكن السطح

الذى يحيط به خطا جـد دب مع مربع جـد مساو للسطح الذى يحيط به خطا بجـ جـد وذلك ببرهان جـ من ب فمجموع السطحين اللذين يحيط باحدهما خطا بجـ جـد ربالاخر خطا جب بد مساو للسطح الذى يحيط به خطا اد دب مع مربع جـد لكن بحسب برهان ب من ب يكون مجموع السطحين اللذين يحيط بهما خطا جب بد وخطا بجـ جـد مساوياً لمربع خط جب فمربع خط جب اذن مساو للسطح الذى يحيط به قسما اد دب مع مربع جـد وذلك ما اردنا ان نبيّن فقد انحلّ الى برهان ب من ب ونبدا الآن فنركب من حيث انتهى بنا الحلّ فبحسب برهان ب من ب فان السطح الذى يحيط به خطا جب بد مع السطح الذى يحيط به خطا بجـ جـد مثل مربع خط جب لكن بحسب برهان جـ من ب يكون السطح الذى يحيط به خطا بجـ جـد مساوياً للسطح الذى يحيط به خطا جـد دب مع مربع جـد فمربع خط جب اذاً مساو للسطحين اللذين يحيط باحدهما خطـ[ـا] جب ب[د و]بالاخر خطا جـد دب مع مربع جـد فلان خط اجـ مساو لخط جب يكون السطح الذى يحيط به خطا اجـ دب مع [السـ]ـطح الذى يحيط به خطا اد دب فالسطح الذى يحيط به خطا اد دب مع مربع جـد مساو للمربع الكائن من خط [جـ]ب وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل السادس من المقالة الثانية

اذا قسم خط مستقيم بنصفين وزيد فى طوله خط اخر مستقيم فان السطح الذى يحيط به الخط كله مع الزيادة والزيادة ومربع

نصف الخط الاول مساو لمربع نصف الخط مع الزيادة مثاله ان نفرض الخط المستقيم خط اب ونقسمه بنصفين عـ[ـلى نقـ]ـطة جـ ونزيد فيه خط بد ونريد ان نبيّن انّ السطح الذى يحيط به خطا اد دب مع مربع اجـ [بجـ .Scr] مساو لمربع خط دجـ برهانه انا نعمل على خط جـد سطحاً مربعا قائم الزوايا كما بيّن عمله ببرهان مه من ا ونخرج فطر ده ونتمّم خطوط الشكل على التاليف كما بيّنّا فى الاشكال المتقدّمة فبحسب برهان مجـ من ا يكون سطح حز مساوياً لسطح جـح لانّهما متممّان وبحسب برهان لو من ا يكون سطح جـح مساوياً لسطح اڪ لانهما على قاعدتين متساويتين وهما حڪ ڪم وبين خطين متوازيين وهما حم اب فسطح حز اذن مساو لسطح اڪ وناخذ سطح ڪد مشتركاً فجميع سطح مد مساو لعلم نسع لكن سطح مد يحيط به خطا اد دب لان دب مساو لخط دل فالعلم اذن مساو للسطح الذى يحيط به خطا اد دب ومع مربع حه وهو مربع خط بجـ فالسطح الذى يحيط به خطا اد دب مع مربع جب مساو لعلم نسع ولمربع حه ولكن علم نسع ومربع حه مساو لمربع ده ومربع ده هو كائن من خط جـد فالسطح الذى يحيط به خطا اد دب مع مربع جب مساو للمربع الكائن من خط جـد وذلك ما اردنا ان نبيّن.

وقد بيّن ايضا ايرن برهان هذا الشكل على سبيل الخطوط امّا على طريق التحليل فليكن الخط المفروض خط اب ولنقسمه بنصفين على نقطة جـ ونزيد فى طوله خط بد ونريد ان نبيّن ان السطح الذى يحيط به خطا اد دب مع مربع جب مساو لمربع جـد فنخرج

اه على استقامة جـا وليكن اه مثل دب فمن البيّن انا اذا جعلنا خط اب مشتركاً يكون جميع خط هب مثل جميع خط اد فالسطح الذى يحيط به اد دب مساو للسطح الذى يحيط به هب دب فمتى تبيّن لنا ان السطح الذى يحيط به خطا هب بد مع مربع خط جب مساو لمربع خط جـد فقد تمّ البرهان على بغيتنا وذلك بيّن لان خط هد قد قسم بنصفين على نقطة جـ وبقسمين مختلفين على نقطة ب فببرهان ه من ب يكون السطح الذى يحيط به خطا هب بد مع مربع جـب مساوياً لمربع جـد و امّا بالتركيب فاذا ركّبنا كان السطح الذى يحيط به خطا هب بد مع مربع خط بجـ مثل مربع جـد والسطح الذى يحيط به خطا هب بد قد بيّنّا انه مساو للسطح الذى يحيط به خطا اد دب فالسطح الذى يحيط به خطا اد دب مع مربع جب مساو لمربع جـد وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل السابع من المقالة الثانية

كل خط مستقيم يقسم بقسمين اى قسمة كانت فانّ مربع الخط كلّه مع مربع احد القسمين اذا جمعا مساو لضعف السطح الذى يحيط به الخط كلّه وذلك القسم مع مربع القسم الاخر اذا جمعا مثاله ان خط اب قسم بقسمين كيف ما وقعت على نقطة [جـ] فاقول انّ مجموع مربعى خطى اب بجـ مساو لضعف السطح الذى

يحيط به خطا اب بجـ [مع] مربع قسم اجـ برهانه انا نعمل على خط اب مربعا قائم الزوايا كما بيّنا عمله ببرهان مه من ا وليكـ[ـن مر]بع اب ده ونخرج قطر بد ونخرج من نقطة جـ خطا موازيا لضلعى المربع اعنى ضلعى اد به كما [بيّنا ا]خراجه ببرهان لا من ا وليكن خط جزح ونجيز على نقطة ز خطا موازيا لضلعى المربع الاخرين ا[عنـ]ـى ضلعى اب ده كما بيّنا اجازته ببرهان لا من ا وليكن خط ڪزط فمن البيّن بحسب رسمنا الاشكال المتقدّمة ان سطح بز هو مربع قسم بجـ وانّ سطح زد هو مربع قسم اجـ وبحسب برهان [مجـ] من ا فان متمّم از مثل متمّم زه وناخذ مربع بز مشتركا فيصير اڪ مساوياً لسطح جـه فمجموع سطحى اڪ جـه ضعف سطح اڪ وسطح اڪ قد تبيّن انه يحيط به خطا اب بجـ فمجموع سطحى اڪ جـه هو ضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ لكن مجموع سطحى اڪ جـه مساو لعلم لمن مع مربع جـڪ فاذا عزلنا مربع جـڪ بقى لمن فعلم لمن مع مربع جـڪ مسايان لضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ ومربع زد قد تبيّن انه الكائن من قسم اجـ فعلم لمن مع مربعى جـڪ زد مساو لضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع مربع قسم اجـ لكن علم لمن مع مجموع مربعى جـڪ زد مساو لمربع اه مع مربع جڪ فمربع اه مع مربع جـڪ مساو لضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع مربع خط اجـ لكن مربع اه هو كائن من خط اب ومربع جـڪ هو كائن من خط جب فمربع اه مع مربع جـڪ اذاً مساو لضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ ولمربع خط اجـ وذلك ما اردنا

ان نبيّن.

واما البرهان على هذا الشكل من غير صورة على طريق الحلّ

فانا نطلب هل ينحل مجموع المربعين الكائنين من خطى اب بجـ الى ضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع المربع الكائن من خط اجـ ويستويان فنقول انّ مربع اب ينحلّ الى برهان د من ب وذلك ان المربع الكائن من خط اب مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى اجـ جب ولضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جب فمجموع المربعين الكائنين من خطى اب بجـ اذاً قد انحلّ وساوى ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جب مع ضعف المربع الكائن من خط جب ومع المربع الكائن من خط اجـ لكن بحسب برهان جـ من ب فان ضعف السطح الذى يحيظ به خطا اجـ جب مع ضعف المربع الكائن من خط جب مساو لضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ وقد بقى المربع الكائن من خط اجـ وضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع المربع الكائن من خط اجـ مساو لضعف السطح الذى يحيط به خط (خطا .Scr) اجـ جب مع ضعف المربع الكائن من خط جب ومع المربع الكائن من خط اجـ فقد انحلّ الى برهان جـ من ب وساوى مجموع المربعين الكائنين من خطى اب بجـ ضعف السطح الذى يحيط به خطا اب جب مع المربع الكائن من خط اجـ وذلك ما اردنا ان نبيّن.

وامّا على طريق التركيب

فنبداء الآن فنركّب فنقول لمّا انحلّ مجموع مربعى اب بجـ الى برهان الشكل الثالث وساوى ضعف السطخ الذى يحيط به خطا اب بجـ مع المربع الكائن من خط اجـ [فا]ن بحسب برهان جـ من ب يكون ضعف السطح الذى

يحيط به خطا اب بجـ مع ضعف المربع الكائن من خط جب [فضعـ]ـف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع مربع خط اجـ مساو لضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ [جـ]ب مع ضعف المربع الكائن من خط جب ومع مربع خط اجـ لكن بحسب برهان د من ب فان مجموع المربعين الكائنين من خطى اجـ جب مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جب مساو للمربع الكائن من خط [اب] فيبقى مربع خط جب ونزيده على المربع الكائن من خط اب فيصير مجموع المربعين الكائنين من خطى [اب] بجـ مع المربع الكائن من خط اجـ فقد تركّب من برهان جـ من ب وانتهى الى برهان د من ب كما انحل من برهان د الى برهان جـ وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثامن من المقالة الثانية

كلّ خط مستقيم مفروض يقسم بقسين اىّ قسمة كانت ويزاد فى طوله مثل احد القسمين فانّ مربع الخط المفروض مع الخط المزيد مساو لاربعة اضعاف السطح الذى يحيط به الخط المفروض والخط المزيد مع مربع القسم الاخر مثاله ان خط اب مستقيم وقد قسم على نقطة جـ قسمةً كيف وقعت وزيد فى طوله خط بد مساوياً لقسم جب فاقول ان مربع خط اد مساو لاربعة اضعاف السطح الذى يحيط به خطا اب بد مع مربع خط اجـ برهانه انا نعمل سطح اه مربعاً قائم الزوايا كما بيّنا عمله ببرهان مه من ا ونخرج قطر دو ونخرج من نقطتى بجـ خطى جـح بط يوازيان

ضلعى المربع اعنى ضلعى ده او كما بيّنا اخراجه ببرهان لا من ا ونجيز على نقطتى ڪق خطى مف ڪن صق عز موازيين لضلعى اد وه كما بيّنا اجازته ببرهان لا من ا فبحسب رسمنا شكل د من ب ونظمنا البرهان هناك يبيّن انّ كل واحد من سطحى بن فع مربع قائم الزوايا متساوى الاضلاع وان سطح بن مربع خط بد وان سطح فع مربع خط جب وكذلك سطح مط مربع وسطح صح مربع متساوى الاضلاع ولان خط جب مثل خط بد فان مربع بز مثل مربع فع وايضا فلان ضلع فڪ مثل ضلع ڪب فان مربع جـڪ مساو لكل واحد من مربعى بن فع وكذلك يبيّن ان سطح ڪز مربع قائم الزوايا مساو لكل واحد من مربعات جــڪ بن فع فسطوح جـڪ بن فع ڪز الاربعة مربعات قائمات الزوايا متساويات ولان مربع اه متساوى الاضلاع قائم الزوايا فبحسب برهان مـجـ من ا يكون متمّم اڪ مساوياً لمتمم كــه وقد تبيّن ان مربع جـڪ مثل مربع ڪز فيبقى سطح اف مساويا لسطح عه ولان مط مربع قائم الزوايا متساوى الاضلاع وعن جنبتى قطره سطحا مق قط فبحسب برهان مـجـ من ا فان متمم مق مثل متمم قط ولان سطحى اف مق على قاعدتين متساويتين وبين خطين متوازيين فان بحسب لو من ا يكون السطحان متساويين فسطوح (فسطحوح .Scr) اف مق قط عه الاربعة متساوية وقد كنّا بيّنّا ان مربعات جڪ بن فع ڪز

الاربعة ايضا متساوية فاذا الّفنا سطح اف مع مربع جڪ حتى يصير سطح اڪ فمن البيّن انّ علم ستث يصير اربعة امثال سطح اڪ لكن سطح اڪ يحيط به خطا اب بد لان بڪ مثل بد فعلم ستث اذاً مساو لاربعة اضعاف السطح الذى يحيط به خطا اب بد وسطح صح قد بيّن انه مربع خط اجـ فاذا اخذنا مربع صح مشتركا يكون علم ستث ومربع صح مساوياً لاربعة امثال السطح الذى يحيط به خطا اب بد مع مربع صح لكن علم ستث ومربع صح جميعا مساو لسطح اه وسطح اه هو مربع خط اد فمربع خط اد اذاً مساو لا[ربعة] امثال السطح الذى يحيط به خطا اب بد مع مربع خط اجـ وذلك ما اردنا ان نبيّن

واما النحو الذى نحا اليه ايرن برسمه خطاً واحداً فانا متى حللنا مربع خط اد انحلّ الى برهان د من ب [وذ]لك لان المربع الكائن من خط اد مساو لضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بد مع المربعين الكائنين [من خطـ]ـى اب بد ولان بد فرض مساوياً لقسم بجـ فان ضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع [المـ]ـربعين الكائنين من خطى اب بجـ مساو للمربع الكائن من خط اد لكن بحسب برهان ز من ب يكون المربعان الكائنان من خطى اب بجـ مساويا لضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع مربع خط اجـ فاذا جمعنا وذلك يكون اربعة اضعاف السطح الذى (الذى) يحيط به خطا اب بجـ مع مربع حط اجـ مساوياً لضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع المربعين الكائنين من خطى اب بد وقد كنّا بيّنّا ان هذه مساوية للمربع الكائن من

خط اد لكن بجـ مساو لخط بد فاربعة اضعاف السطح الذى يحيط به خطا اب بد مع مربع اجـ مساو للمربع الكائن من خطـ(ـى) اد فقد انحلّ الى شكل د ثم الى شكل ز وذلك ما اردنا ان نبيّن.

واما على سبيل التركيب

فنبداء من حيث انتهى بنا الحل فلان اربعة امثال السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع مربع خط اجـ † فاذا اخذ منه ضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع مربع خط اجـ بقى ضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ فاذا اخذنا بدل ضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع مربع خط اجـ مجموع المربعين الكائنين من خطى اب بجـ وزدناهما على ضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ يكون حينيذ ضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع المربعين الكائنين من خطى اب بجـ مساوياً لاربعة امثال السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع المربع الكائن من خط اجـ وذلك ببرهان ز من ب لكن خط بجـ مثل خط بد فضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بجـ مع مجموع المربعين الكائنين من خطى اٮ بجـ مساو لضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بد مع مجموع المربعين الكائنين من خطى اب بد لكن بحسب برهان د من ب فان ضعف السطح الذى يحيط به خطا اب بد مع مجموع المربعين الكائنين من خطى اب بد مساو للمربع الكائن من خط اد فاربعة اضعاف السطح الذى يحيط به خطا اب بد مع المربع الكائن من خط اد [اجـ .Scr] مساو للمربع الكائن من خط اد وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل التاسع من المقالة الثانية

كل خط مستقيم يقسم بقسمين متساويين وبقسمين مختلفين اى قسمة كانت فان مجموع المربعين الكائنين من قسميه المختلفين مساو لضعف مجموع المربعين الكائنين من نصف الخط ومن الخط الذى هو فضل نصف الخط على قسمه الاصغر مثاله انا نفرض الخط المستقيم خط اب ونقسمه بقسمين متساويين على نقطة جـ وبقسمين مختلفين على نقطة د فنريد ان نبيّن ان مجموع المربعين الكائنين من قسمى اد دب مساو لضعف المربع من خط جب مع ضعف المربع الكائن من خط جـد برهانه ان نقيم على نقطة جـ عمود جـه مساوياً لخط اجـ كما بيّنّا اقامته ببرهان يب (يا .Scr) من ا ومساواته ببرهان ب من ا [فـ]ـنخرج خطى اه هب ونخرج خط دز موازيا لخط جه كما بيّنّا اخراجه ببرهان لا من ا ونخرج خط زح يوازى خط [اب و]نخرج خط از فلان عمود جه اقمناه مثل خط اجـ فببرهان [ـه] من [ا] يكون زاوية جـاه مساويةً لزاوية جها وزاو[ية] اجه قائمة فببرهان لب من ا تكون كل واحدة من زاويتى جـاه جها نصف قائمة وايضاً فلان عمود جه اخرج مثل [خط] جب فبذلك البرهان والاستشهاد تكون كل واحدة من زاويتى جبه جهب نصف قائمة فزاوية اهب اذاً قا[ئمة] ولانّا اخرجنا خط زح موازياً لخط اب وقد وقع عليهما خط هحجـ فبحسب برهان [كط] من [ا] تكون زاوية هحز الخار[جة] مساويةً لزاوية هجب الداخلة فلان زاوية هجب قائمة تكون زاوية هحز قائمة وكنّا

بيّنّا ان زاوية حهز نصف قائمة فبحسب برهان ڪط من ا تبقى زاوية هزح نصف قائمة فزاوية حهز مثل زاوية هزح فبحسب برهان لب من ا يكون ساق هح مثل ساق حز وايضا فلان خط اب وقع على خطى هجـ زد المتوازيين فبحسب الاستشهاد المتقدم تكون زاوية بدز الخارجة مساويةً لزاوية بجه الداخلة لكن زاوية بجه قائمة فزاوية بدر اذن قائمة وكنّا بيّنّا ان زاوية جبه نصف قائمة فبحسب برهان لب من ا تبقى زاوية دزب نصف قائمة فبحسب برهان و من ا يكون ساق دب مساوياً لساق دز فلان عمود جه اخرجناه مساوياً لخط اجـ فان مجموع المربعين الكائنين من خطى جه اجـ مساو لضعف المربع الكائن من خط اجـ لكن مجموع مربعى جه اجـ مساو للمربع الكائن من خط اه لان زاوية اجه قائمة وذلك ببرهان [مو] من [ا] فالمربع الكائن من خط اه اذن ضعف المربع الكائن من خط اجـ وايضا فانّا قد بيّنّا ان ضلع حه مثل ضلع حز فمجموع المربعين الكائنين من ضلعى حه حز مساو لضعف المربع الكائن من ضلع حز فلان زاوية هحز قائمة فبحسب برهان مو من ا يكون مجموع المربعين الكائنين من ضلعى حه حز مثل المربع الكائن من خط هز فالمربع الكائن من خط هز اذن ضعف المربع الكائن من خط زح ولان ضلع حز مثل ضلع جـد وذلك بحسب برهان [لد] من [ا] لان سطح حد متوازى الاضلاع فالمربع الكائن من خط هز اذن ضعف المربع الكائن من خط جـد وقد بيّنا ان المربع الكائن من خط هز (اذن) ضعف المربع الكائن من خط جـد وقد بيّنا ان المربع الكائن من خط اه مساو لضعف

المربع الكائن من خط اجـ فمجموع المربعين الكائنين من خطى اه هز مساو لمجموع ضعف المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد لكن بحسب مو من ا يكون مجموع المربعين الكائنين من خطى اه هز مثل المربع الكائن من خط از فلان زاوية اهز قائمة فالمربع الكائن من خط از اذن مساو لمجموع ضعف المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد لكن ببرهان مو من ا يكون مجموع المربعين الكائنين من خطى اد دز مساوياً للمربع الكائن من خط از فمجموع المربعين الكائنين من خطى اد دز يساوى ضعف المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد لكن دز قد بيّنا انّه مساو لخط دب فمجموع المربعين الكائنين من خطى اد دب مساو لضعف المربعين الكائنين من خطـ[ـى] اجـ بد وذلك ما اردنا ان نبيّن.

وامّا البرهان على هذا الشكل على مذهب ايرن بطريق الحلّ فانا قد علمنا من برهان (د) من [ب] ان المربع الكائن من خط اد مساو لضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جـد مع المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد فقد انحلّ مجموع المربعين الكائنين من خطى اد دب الى ان صارا مساويين لضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جـد مع المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد ومربع بد فينبغى اذن ان نبيّن ان ضعف المربعين الكائنين [من] خطى اجـ جـد مساو لضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جـد ولمجموع المربعين الكائنين من [خطى] اجـ جـد ولمربع بد فانّا متى اسقطنا مربعى اجـ جـد المشتركين يبقى ضعف السطح الذى يحيط [به] خطا اجـ جـد مع مربع خط بد مساوياً لمجموع مربعى

خطى اجـ جـد لكن خط اجـ مساو لخط جب فمـ[ـجمـ]ـوع مربعى خطى بجـ جد مساو لضعف السطح الذى يحيط به خطا بجـ جـد مع المربع الكائن من [خط ب]د لكن بحسب برهان ز من ب يكون مجموع المربعين الكائنين من خطى بجـ جـد مساويا لضعف السطح الذى يحيط به خطا بجـ جد مع مربع خط بد فقد انحلّ البرهان الى شكل ز من ب وتبيّن ان مجموع المربعين الكائنين من خطى اد دب مساو لضعف المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد وذلك ما اردنا ان نبيّن.

واما على سبيل التركيب

فنبدا الآن فنركب فلان البرهان انتهى بنا الى انّ مجموع المربعين الكائنين من خطى بجـ جـد مساو لضعف السطح الذى يحيط به خطا بجـ جد مع المربع الكائن من خط دب وخط اجـ مساو لخط جب فانّ مجموع المربعين الكائنين من خطى اجـ جب مساو لضعف السطح الذى يحيط (الذى يحيط) به خطا اجـ جـد مع المربع الكائن من خط دب ونزيد مربعى اجـ جـد وناخذهما مشتركين فيصير ضعف المربع الكائن من خطى اجـ جد مساوياً لضعف السطح الذـى يحيط به خطا اجـ جـد مع المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد ومع المربع الكائن من خط دب لكن بحسب برهان د من ب فانّ المربع الكائن من خط اد مساو لضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جد مع المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد فمجموع المربعين الكائنين من خطى اد دب مساو لضعف المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل العاشر من المقالة الثانية

كل خط مستقيم يقسم بنصفين ويزاد فى طوله خط اخر فانّ

مربع الخط كلّه مع الزيادة ومربع الزيادة اذا جمعا مساو لضعف المربعين الكائنين من نصف الخط ومن نصف الخط مع الزيادة اذا جمعا مثاله انّ خط اب قسم بنصفين على علامة جـ وزيد فى طوله خط بد فاقول ان مجموع المربعين الكائنين من خطّى اد دب مساو لضعف مجموع المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد برهانه انا نقيم على نقطة جـ عمود جـه مساوياً لخط اجـ كما بيّنا قيامه ببرهانى يب وب من ا ونخرج خطّى اه هب ونخرج خط هز موازياً لخط جـد كما بيّن ببرهان لا من ا ونخرج من نقطة د خط دز موازياً لخط جـه فلان خطّى هجـ دز متوازيان وقد اجيز عليهما خط هز فان مجموع زاويتى جـهز هزد مثل مجموع زاويتين قائمتين وذلك بحسب برهان ڪط من ا فزاويتا دزه زهب اصغر من زاويتين فائمتين فبحسب برهان اغانيس فى مقدمة ڪط من ا واضافتنا اليه فان خطى هب زد اذا اخرجا على استقامة التقيا فنخرجهما وليلتقيا على نقطة ح ونحرج خط اح فلان عمود جـه مثل خط اجـ فبحسب برهان ه من ا تكون زاوية جـاه مثل زاوية جـها وزاوية اجـه قائمة فبحسب برهان لب من ا فان كل واحدة من زاويتى جـاه جـها نصف قائمة وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبيّن ان كل واحدة من زاويتى جبه جـهب نصف قائمة فزاوية اهب اذن قائمة وبحسب برهان يه من ا تكون زاوية دبح مساويةً لزاوية هبا فزاوية دبح اذاً نصف [قائـ]ـمة وزاوية بدح قائمة لانها مثل زاوية هزد وذلك بحسب برهان ڪط من ا فبحسب برهان لب من ا تبقى ز[اوية] دحب نصف قائمة فضلع بد مثل ضلع دح وضلع زه ايضا

مثل زح لان زاوية زهح ايضا نصف قائمة فا ˍ ˍ ˍ ˍ تبيّنت هذه الاشياء فنعود فلان ضلع جـه مثل ضلع اجـ فان المربعين الكائنين من ضلعى جـه جـا اذا جمعا [مثل] ضعف المربع الكائن من ضلع اجـ لكن مجموع المربعين الكائنين من ضلعى هجـ جـا مثل المربع الكائن من ضلع اه بحـ[ـسب] برهان مو من ا فالمربع الكائن من ضلع اه اذن مثل ضعف المربع الكائن من ضلع اجـ وقد بيّنا ان ضلع زه مثل ضلع زح فمجموع المربعين الكائنين من ضلعى زه زح مثل ضعف المربع الكائن من خط هز فلان زاوية هزح قائمة فبحسب برهان ڪو من ا يكون مجموع المربعين الكائنين من ضلعى هز زح مثل المربع الكائن من ضلع هح فالمربع الكائن من ضلع هح اذن مثل ضعف المربع الكائن من ضلع هز وضلع هز مثل ضلع جـد وذلك ببرهان لد من ا فمربع خط هح اذن مساو لضعف مربع خط جـد وقد كان يتبيّن ان مربع خط اه مثل ضعف مربع خط اجـ فمجموع المربعين الكائنين من ضلعى اه هح اذاً مثل ضعف مجموع المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد لكن بحسب برهان مو من ا يكون مجموع المربعين الكائنين من خطى اه هح مثل المربع الكائن من خط اح وكذلك مجموع المربعين الكائنين من ضلعى اد دح مثل المربع الكائن من خط اح لانّ زاوية ادح قائمة فمجموع المربعين الكائنين من خطى اه هح مثل مجموع المربعين الكائنين من خطى اد دح وقد بيّنا ان مجموع المربعين الكائنين من خطى اه هح مثل ضعف المربعين من خطى اجـ جـد وقد بيّنا ان دح مثل دب فمجموع المربعين الكائنين من خطى

اد دب قد تبيّن انه ضعف المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد وذلك ما اردنا ان نبيّن.

واما البرهان على مذهب ايرن من طريق الحلّ فانا نوجب انّا قد وجدنا ان مجموع المربعين الكائنين من خطى اد دب مثل ضعف المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد فنقول ان من برهان د من ب ان المربع الكائن من خط اد مثل مجموع المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد وضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جـد فمجموع المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جـد ومع المربع الكائن من خط بد مثل ضعف المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد فاذا اسقطنا مربعى اجـ جـد المشتركين من جميعهما بقى ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جـد مع المربع الكائن من خط بد مثل مجموع المربعين (المربعين) الكائنين من خطى اجـ جد لكن اجـ مثل جب فضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جـد مثل ضعف السطح الذى يحيط [به] خطا دجـ جب ومجموع المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد مثل مجموع المربعين الكائنين من خطى جـد جب فضعف السطح الذى يحيط به خطا دجـ جب مع المربع الكائن من خط دب مثل مجموع المربعين الكائنين من خطى دجـ جب فقد انحل الى برهان ز من ب وتبيّن ان مجموع المربعين الكائنين من خطى اد دب مثل ضعف المربعين لكائنين من خطى اجـ جـد وذلك ما اردنا ان نبيّن

واما طريق التركيب

فانا نبتدى من حيث انتهى بنا الحل فنقول فلان مجموع المربعين الكائنين من خطى دجـ جب مثل ضعف السطح الذى يحيط به

خطا دجـ جب مع المربع الكائن من خط دب لكن خط اجـ مثل خط جب [فمجمو]ع المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد مثل ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جـد مع مربع دب فـ[ـاذا?] زدنا على مجموع المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد مربعين آخرين كائنين من خطى اب وجـد وزد[نا] ذلك بعينه على ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جـد مع المربع الكائن من خط دب فانّ [ضعف] المربعين من خطى اجـ جـد مثل ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جـد مع المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد ومع المربع الكائن من خط بد لكن بحسب برهان د من ب فان ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ جـد مع المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد مساويان (!) لمربع اد فقد تبيّن ان مجموع المربعين الكائنين من خطى اد دب مثل مجموع ضعف المربعين الكائنين من خطى اجـ جـد وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الحادى عشر من المقالة الثانية

نريد ان نبيّن كيف نقسم خطاً معلوما مستقيما مفروضا قسمة يكون السطح الذى يحيط به الخط كله واحد القسمين مساويا للمربع الكائن من القسم الآخر مثاله ان خط اب مستقيم مفروض فنريد ان نبيّن كيف [نقسم] حط اب قسمةً يكون السطح الذى يحيط به خط اب واحد القسمين مساويا لمربع القسم الآخر فنعمل على خط اب سطحا مربعا قائم الزوايا كما بيّنا عمله ببرهان مو من ا ونقسم خط اجـ بنصفين على نقطة ه كما بيّناه ببرهان يـ من ا ونخرج خط هب ونخرج خط ها حتى يصير مساويا

لخط هب وليكن خط هز ونعمل على خط از مربعا كما بيّناه ببرهان مو من ا وليكن مربع زط ونخرج خط حطڪ موازيا لضلعى اجـ بد كما بيّنا اخراجه ببرهان لا من ا فاقول انا قد قسمنا خط اب بقسمين على نقطة ط قسمةً يكون السطح الذى يحيط به خط اب واحد القسمين وهو بط مساويا لمربع القسم الآخر وهو اط برهانه ان خط اجـ قد قسم بنصفين على نقطة ه وزيد فى طوله خط از فبحسب برهان و من ب يكون السطح الذى يحيط به خطا جز زا مع المربع الكائن من خط اه مساوياً للمربع الكائن من خط هز لكن خط هز مساو لخط هب فالسطح الذى يحيط به خطا جـز زا مع المربع الكائن من خط اه مساو للمربع الكائن من خط هب لكن بحسب برهان مو من ا فان مجموع المربعين الكائنين من خطى ها اب مساو للمربع الكائن من خط هب والمساوية لشىء واحد فهى متساوية فالسطح الذى يحيط به خطا جز زا مع المربع الكائن من خط اه مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى اه اب فاذا القينا المربع لكائن من خط اه المشتركـ بقى السطح الذى يحيط به خطا جـز زا مساوياً للمربع الكائن من خط اب لكن السطح الذى يحيط به خطا جـز زا هو سطح زڪ لان خط از مساو لخط زح فسطح زڪ اذاً مساو لمربع اد فاذا القينا سطح اڪ المشترڪ بقى مربع زط مساوياً لسطح طد لكن سطح طد يحيط به خطا اب بط لان خط اب مساو لخط بد ومربع زط هو الكائن من خط اط فقد تبيّن انّ السطح الذى يحيط [به] خطا اب بط مساو للمربع الكائن من خط اط وذلك ما اردنا ان نبيّن.

قال

ايرن ان هذا الشكل ليس يمكن ان يبرهن عليه بلا صورة وذلك ان فى المـ[ـساوية?] قد يجب باضطرار ان نعلم الاعمال التى نتمّ بها فامّا فى مطالب البرهان فان [ذ]لك من الفضل وقد بيّنا فى الاشكال التى تقدّمت انه ليس يحتاج فيها الى اعمال وانما يحتاج فيها الى برهان [وقد بيّنا] براهينها بلا رسوم فيما تقدّم ومن اجل ان هذا المطلب يحتاج فيه الى عمل لذلك صار غير ممكن ان تبيّن بلا رسم واذا كان هذا هكذا فانا لا نتثاقل عن النظر (الخط .scr) بان نضع برهاناً آخر متقناً مستقصىً فنقول انا نفرض الخط المعلوم خط اب ونريد ان نبيّن كيف نقسم خط اب قسمةً يكون السطح الذى يحيط به الخط كله واحد القسمين مساويا لمربع القسم الآخر فنخرج من نقطة ا عمود اجـ مساوياً لنصف خط اب كما بيّنا ذلك ببرهان الشكل المضاف الى يا من ا ونخرج خط جب ونفضل جـد مساويا لخط جـا كما بيّنا ذلك ببرهان جـ من ا فلان المربع الكائن من خط جب مساو لمجموع المربعين الكائنين من ضلعى اجـ اب وخط جـد مساو لخط جـا فان ضلع اب اعظم من خط بد وذلك لان مربع جب مساو لمجموع مربعى جـد دب مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا جـد دب وذلك تبيّن ببرهان د من ب فاذا اسقطنا مربعى خطى اجـ جـد بقى مربع خط اب مساوياً لمربع خط بد ولضعف السطح الذى يحيط به خطا جـد دب فاذاً خط اب اعظم من خط بد فنفصل من خط اب خط به مساوياً لخط بد كما بيّنا ذلك ببرهان جـ من ا فاقول انا قد قسمنا خط اب على نقطة ه قسمة يكون

السطح الذى يحيط به خطا با اه مساوياً للمربع الكائن من خط به برهانه ان المربع الكائن من خط جب مساو لمجموع المربعين الكائنين من قسمى جـد دب مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا جـد دب وذلك بحسب برهان د من ب لكن بحسب برهان مو من ا يكون المربع الكائن من خط جب مساويا لمجموع المربعين الكائنين من خطى جـا اب لانّ زاوية جـاب قائمة فمجموع المربعين الكائنين من قسمى جـد دب مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا جـد دب مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى اجـ اب وكنّا فصلنا جـد مثل اجـ وفصلنا به مثل بد فاذاً مجموع المربعين الكائنين من [خطى] اجـ به مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ به مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى جـا اب فاذا القينا جـا المشترڪ بقى ضعف السطح الذى يحيط به خطا جـا هب مع المربع الكائن من خط هب مساوياً للمربع الكائن من خط اب فلان خط اب ضعف خط جـا يكون ضعف السطح الذى يحيط به خطا اجـ هب مساوياً للسطح الذى يحيط به خطا اب به وذلك بحسب برهان ا من ب فالسطح الذى يحيط به خطا اب به مع المربع الكائن من خط به مساو للمربع الكائن من خط اب لكن بحسب برهان ب من ب فانّ مجموع السطحين اللذين يحيط باحدهما خطا با اه وبالاخر خطا اب به مساو للمربع الكائن من خط اب فاذاً السطح الذى يحيط به خطا اب به مع المربع الكائن من خط به مساو للسطحين اللّذين يحيط باحدهما خطا اب به وبالاخر خطا با اه فاذا القينا السطح الذى يحيط به خطا اب

به المشتركـ من جميعهما بقى حينيذ السطح الذى يحيط به خطا با اه مساوياً للمربع الكائن من خط به وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثانى عشر من المقالة الثانية

كل مثلث منفرج الزاوية فان مربع الضلع الذى يوتّر الزاوية المنفرجة اعظم من مربعى الضلعين المحيطين بالزاوية المنفرجة بمثل ضعف السطح الذى يحيط به احد الضلعين المحيطين بالزاوية المنفرجة والخط الذى يخرج على استقامة هذا [الضلع] ما بين الزاوية المنفرجة ومسقط العمود مثاله ان زاوية ابجـ من مثلث ابجـ منفرجة [وقد] اخرج ضلع جٮ على استقامة وقد ارسل من نقطة ا عمود اد كما بيّنا ذلك ببرهان يب [من] ا فاقول ان المربع الكائن من ضلع اجـ اعظم من مجموع المربعين لكائنين من ضلعى اب بجـ [بمثل?] ضعف السطح الذى يحيط به خطا جب بد برهانه ان خط جـد قد انقسم بقسمين على نقـ[ـطة ب] فببرهان د من ب فان المربع الكائن من خط جـد مساو لمجوع

المربعين الكائنين من قسمى دب بجـ مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا دب دجـ فاذا اخدنا المربع الكائن من عمود اد مشتركاً فانه يكون|مجموع المربعين الكائنين من ضلعى جـد دا مساوياً لمجموع مربعات خطوط جب بد دا مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا جب بد لكن بحسب برهان مو من ا يكون مجموع المربعين الكائنين من ضلعى جـد دا مساوياً للمربع الكائن من ضلع اجـ لان زاوية د قائمة وكذلك مجموع المربعين الكائنين من ضلعى بد دا مساو للمربع الكائن من ضلع اب فالمربع الكائن من ضلع اجـ اذن مساو لمجموع المربعين الكائنين من ضلعى اب بجـ مع ضعف السطح الذى يحيط به ضلع بجـ وخط بد فالمربع الكائن من ضلع اجـ اذن قد تبيّن انه اعظم من مجموع المربعين الكائنين من ضلعى اب بجـ بضعف السطح الذى يحيط به ضلع جب وخط بد وذلك ما اردنا ان نبيّن.

زيادة قال ايرن كل مثلث يكون المربع الكائن من احد اضلاعه اعظم من مجموع المربعين الكائنين من الضلعين الباقيين فان الزاوية التى يحيط بها ذانك الضلعان منفرجة فليكن مثلث ابجـ مربع ضلع بجـ منه اعظم من مجموع مربعى ضلعى با اجـ فاقول ان زاوية باجـ منفرجة برهانه انا نخرج من نقطة ا من خط اجـ عمود اد مساويا لضلع اب كما بيّنا ذلك ببرهان الشكل المضاف الى يب من ا ونخرج خط جـد فلان مربع اب مساو لمربع اد فانا اذا اخذنا مربع اجـ مشتركا فانه يكون مجموع المربعين من خطى اب اجـ يساوى مجموع مربعى دا اجـ لكنّا فرضنا المربع

الكائن من ضلع بجـ اعظم من مجموع المربعين الكائنين من ضلعى اب اجـ لكن بحسب برهان مو من ا يكون مجموع مربعى دا اجـ مثل المربع الكائن من ضلع دجـ فاذاً المربع الكائن من ضلع بجـ اعظم من المربع الكائن من ضلع جـد فضلع بجـ اذاً اعظم من ضلع جـد ولانا فرضنا ضلع دا مثل ضلع اب فاذا اخذنا ضلع اجـ مشتركا يكون ضلعا با اجـ مساويين لضلعى دا اجـ وقاعدة بجـ قد تبيّن انها اعظم من قاعدة جـد فبحسب برهان كه من ا تكون زاوية باجـ اعظم من زاوية داجـ لكن زاوية داجـ قائمة فزاوية باجـ منفرجة وذلك ما اردنا ان نبيّن

الشكل الثالث عشر من المقالة الثانية

كل مثلث فانّ المربع الكائن من الضلع الذى يوتر الزاوية زواياه الحادّة اصغر من مجموع المربعين الكائنين من الضلعين اللذين يحيطان بزاويته الحادّة بمثل ضعف السطح الذى يحيط به احد الضلعين المحيطين بالزاوية الحادّة والخط الذى بين تلك الزاوية وبين مسقط العمود من ذلك الضلع مثاله ان زاوية ابجـ من مثلث ابجـ حادّة وقد اخرج من نقطة ا عمود اد الى ضلع بجـ فاقول ان المربع الكائن من ضلع اجـ اصغر من مجموع المربعين الكائنين من خطى اب ب[جـ بمـ]ـثل ضعف السطح الذى يحيط به خطا جب بد برهانه ان خط بح قد انقسم بقسمين على نقطة د [فبحـ]ـسب برهان ز من ب فان المربع الكائن من خط بجـ مع المربع الكائن من خط بد مساو لضعف السطح [الذى]

يحيط به خطا جب بد مع المربع الكائن من قسم جـد فاذا اخذنا المربع الكائن من عمود اد مشتركا [كان] مجموع المربعات الثلث الكائنات من خطوط جب بد اد مساوياً لضعف السطح الذى يحيط به خطا جب بد مع مجموع المربعين الكائنين من خطى جـد دا لكن بحسب برهان مو من ا فان مجموع المربعين الكائنين من ضلعى بد دا مساو للمربع الكائن من خط اب لان زاويتى (زاويتى) د قائمتان وبهذا الاستشهاد يتبيّن ان مجموع المربعين الكائنين من ضلعى اد دجـ مساو للمربع الكائن من ضلع اجـ فيصير مجموع المربعين الكائنين من ضلعى اب بجـ مساوياً للمربع الكائن من ضلع اجـ مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا بجـ بد فقد تبيّن ان المربع الكائن من ضلع اجـ اصغر من مجموع المربعين الكائنين من ضلعى اب بجـ بضعف السطح الذى يحيط به خطا جب بد وذلك ما اردنا ان نبيّن

قال ايرن فى عكس هذا الشكل كل مثلث يكون مربع احد اضلاعه اصغر من مربعى الضلعين الباقيين فان الزاوية التى يحيط به [بها .s] ذانك الضلعان حادّة مثاله ان ضلع بجـ من مثلث ابجـ مربعه اصغر من مجموع مربعى ضلعى اب اجـ فاقول ان زاوية باجـ حادّة برهانه انا نقيم على نقطة ا من خط اجـ عمود اد مساوياً لضلع اب كما بيّنا ذلك ببرهان يب من ا ونصل دجـ فانا متى استشهدنا شكل مو من ا وشكل مه من ا كما استشهدنا فى الشكل المضاف الذى قبل هذا الشكل اعنى فى الزاوية المنفرجة نبيّن ان زاوية باجـ حادّة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الرابع عشر من المقالة الثانية

نريد ان نبيّن كيف نعمل سطحا مربعا مساويا لمثلث معلوم فليكن المثلث المفروض مثلث ابجـ ونريد ان نبيّن كيف نعمل سطحا مربعا مساويا لمثلث ابجـ فنعمل سطحا متوازى الاضلاع قائم الزوايا مساويا لمثلث ابجـ كما بينا عمله ببرهان مب من ا وليكن سطح دح فان كان سطح دح مربعا فقد عملنا ما اردنا عمله وان كان مختلف الاضلاع فننزل ان ضلع ده اعظم من ضلع هح ونخرج ده على الاستقامة حتى يصير ما اخرجناه مساويا لخط هح وليكن هط ثم نقسم دط بنصفين على نقطة ڪ كما بيّنا قسمته ببرهان ى من ا ونخط على مركز ڪ وببعد ڪڪ نصف دائرة دلط ونخرج من نقطة ه عمود هل كما بيّنا اخراجه ببرهان يب من ا ونخرج كل فلان خط دط قد قسم بنصفين على نقطة ڪ وبقسمين مختلفين على نقطة ه فبحسب برهان ه من ب فانّ السطح الذى يحيط به خطا ده هط مع المربع الكائن من خط ڪه مساو للمربع الكائن من خط ڪط لكن ڪط مثل كل لانهما خرجا من المركز الى المحيط فالسطح الذى يحيط به خطا ده هط مع المربع الكائن من خط ڪه مساو للمربع الكائن من خط ڪل لكن بحسب برهان مو من ا يكون المربع الكائن من خط ڪل مساويا لمجموع المربعين الكائنين من خطى ڪه هل لان زاوية ڪهل قائمة فالسطح الذى يحيط به خطا ده هط مع المربع الكائن من خط [ڪه] مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى ڪه هل فنسقط مربع ڪه المشترڪ فيبقى الـ[ـسطـ]ـح الذى يحيط

به خطا ده هط مساوياً للمربع الكائن من خط هل وكنّا اخرجنا هط مساوياً لـ[ـضلـ]ـع هح فالسطح الذى يحيط به خطا ده هح اذاً مساو للمربع الكائن من خط هل لكن السطح [الذ]ى يحيط به خطا ده هح هو سطح دح اذاً مساو للمربع الكائن من خط هل لكن سطح دح مساو لمثلث ابجـ فالمربع الكائن من خط هل اذاً مساو لمثلث ابجـ فقد اصبنا ضلع المربع المساوى لسطح دح و هو خط هل † مساو لمثلث ابجـ وذلك ما اردنا ان نبيّن.

تمت المقالة الثانية من كتاب اوقليدس