قال ايرن ان الرياضى اراد ان يبيّن البعد الذى بين المراكز وبين الخطوط المستقيمة المساسة لذلك ذكر الاعمدة وذلك انه قد يمكن ان نخرج من كل نقطة الى كل خط خطوط كثيرة فامّا البعد الذى بين النقطة وبين الخط فهو العمود الخارج من تلك النقطة الى ذلك الخط.

قال اوقليدس وقطعة الدائرة هى الشكل الذى يحيط به خط مستقيم وقطعة قوس من محيط الدائرة.

وزاوية القطعة هى التى اذا علم على قوس القطعة نقطة ما واخرج منها الى نهايتى قاعدة القطعة خطان مستقيمان احاطا بها

واذا كان الخطان المحيطان بالزاوية يحيطان بقوس فان تلك الدائرة [الزاوية .scr] تسمّى المركبة على تلك القوس.

قطاع الدائرة هو الشكل الذى يحيط به الخطان المستقيمان المحيطان بالزاوية والقوس التى الزاوية متركبة عليها

قال ايرن يعنى بالقوس التى توتّر الزاوية وانواع القطاع اثنان فمنها ما يكون رؤسها على المراكز ومنها ما يكون رؤسها على المحيطات فامّا التى رؤسها [لا كانـ]ـت على المراكز ولا على المحيطات فانها ليست بقطاع لكنها تشابه القطاع

قال اوقليدس قطع [الدو]ائر المتشابهة هى التى زوايا[ها] متساوية او التى تكون الزوايا التى تقع فيها متساوية.

قال [ايـ]ـرن قد ينبغى ان نعلم انه كانت قطع الدوائر متشابهةً فان الزوايا المرسومة فيها متساوية وعـ[ـند ?] ذلك اذا كانت الزوايا التى تقع فى قطع الدوائر متساويةً فانّ تلك القطع متشابهة

وانواع الاشكال هى هذه الدائرة وقطع الدائرة

والمنحدبة والهلاليّة امّا الدائرة فهى الشكل الذى قد خصّناه فى الاشكال التى تحيط بها الخطوط المستقيمة وامّا قطعة الدائرة فهى الشكل الذى يحيط به خط مستقيم وقوس من محيط الدائرة واذا تقاطعت دائرتان فان القطعة المشتركة لهما تسمّى المنحدبة والقطعتان الباقيتان تسمّى كل واحدة منهما هلاليّة. فتمّت المصادرة

اذا جاز خط مستقيم على دائرة يماسّها من خارجها ولا يقطع منها شياءً فانّه يقال له المماسّ للدائرة. واذا كانت الدوائر تماسّ بعضها بعضاً ولا تقطع واحدة منها الاخرى فانه يقال له المتماسّة. واذا كانت فى الدوائر خطوط فكانت الاعمدة التى تخرج اليها من المركز متساو[يةً فانّ ا]بعاد الخطوط من المركز سوآء وابعدها هو الذى عموده اطول. والقطعة من الدائرة يحيط بها خط مستقيم يقال له الوتر وطائفة من الخط المحيط يقال لها القوس وزاوية القطعة يحيط بها خط الوتر وخط القوس. واذا تعلّمت نقطة على خط القوس واخرج منها خطان الى طرفى الوتر فصار الوتر قاعدةً لهما فانّ الزاوية التى على النقطة والخطان يحيطان بها مركّبة على القوس والشكل الذى يقال له القطّاع هو الذى يحيط به خطان يخرجان من المركز الى الخط المحيط والقوس الذى بينهما والزاوية التى يحيط بها الخطان مركّبة على مركز الدائرة وقطع الدوائر اذا كانت زاويتا كل قطعة مساويتين لزاويتى القطعة الاخرى فالقطع متساوية واذا كانت القطع متساوية فانّ زاويتى كل قطعة مساويتان لزاويتى القطعة الاخرى. واذا كانت زوايا

القطع متساويةً فالقطع متساوية واذا كانت القطع متساوية فالزاويا متساوية. ـع

الشكل الاوّل من المقالة الثالثة

نريد ان نبيّن كيف نجد مركز دائرة مفروضة فننزل انها دائرة اب ونريد ان نبيّن كيف نجد مركزها فننحرج فيها وتر جد حيث شئنا من الدائرة ونقسمه بنصفين على نقطة ه كما بيّنا قسمة تلك ببرهان يب من ا ونقيم على نقطة ه عمودا ونخرجه فى كلتى الجهتين حتى ينتهى طرفاه الى محيط الدائرة كما بيّنا اخراجه ببرهان يا من ا وليكن خط اب ثم نقسم خط اب بنصفين على نقطة ح واقول ان نقطة ح مركز الدائرة وانه لا يمكن ان يكون غيرها مركزاً فان امكن ان يكون غير نقطة ح هى المركز فليكن مركزها نقطة ط ونخرج خطوط طد طه طجـ فلانّ خط جه مثل خط هد فانا اذا اخذنا خط هط مشتركاً يكون خطا جه هط مثل خطى ده هط ولان نقطة ط رسمت على انها مركز الدائرة يجب ان يكون خط طجـ مثل خط طد فببرهان ح من ا فان زاوية جهط مساوية لزاوية دهط واذا قام خط مستقيم على خط مستقيم فكانت الزاويتان اللتان عن جنبتيه متساويتين فانّ الخط القائم عمود عليه وكل واحدة من الزاويتين

قائمة فزاوية جـهط اذاً قائمة لكن زاوية جـهح قد تبيّن انّها هى القائمة [فزا]وية جـهط الصغرى مثل زاوية جـهح العظمى هذا خلف لا يمكن فليست نقطة ط اذاً بمركز للدائرة وكذلك سائر النقط التى تفرض فى الدائرة حيث فرضت منها غير ممكن ان تكون مركزاً للدائرة سوى نقطة ح معما قد تبيّن من وجودنا لمركز الدائرة قد تبيّن ايضا ان كل وترين يقسم احدهما الاخر بنصفين وعلى زوايا قائمة فان عليه يكون مركز الدائرة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

تبيّن انه لا يكون وتران فى دائرة يقطع احدهما الاخر بنصفين على زاوية قائمة الّا وهو يجوز على مركز الدائرة.

الشكل الثانى من المقالة الثالثة

اذا فرض على محيط دائرة نقطتان كيف ما وقعتا ووصل بينهما بخط مستقيم فانّ الخط المستقيم الذى يصل بين النقطتين يقع داخل الدائرة مثاله انا نفرض على دائرة اب نقطتى جـد ونخرج خط جـد مستقيما فاقول انه وقع داخل دائرة اب برهانه انه غير ممكن ان يقع خارجاً عن الدائرة فان امكن فليقع على مثال خط جـهد ونطلب مركز الدائرة بحسب برهان الشكل الاول من هذه المقالة وننزل انها نقطة ز ونصل بين نقطتى جز ونقطتى زد ونخرج من نقطة ز الى محيط دائرة اب خطا مستقيما كيف ما وقع وننزل انه خط زب وننزل انّا قد انفذناه الى نقطة ه فان كان كما انزلنا ان خط جـهد مستقيم فمن البيّن ان مثلث

جـهدز متساوى الساقين لان ساق جز مساو لساق زد لانهما خرجا من المركز الى المحيط فزاوية زجه مثل زاوية زده وبحسب يو من ا فان زاوية زهجـ الخارجة من مثلث زده اعظم من زاوية زده الداخلة فزاوية زهجـ اذاً اعظم من زاوية زجه لكن بحسب برهان يط من ا يكون ضلع زجـ الموتّر للزاوية العظمى اعظم من ضلع هز الموتّر للزاوية الصغرى لكن خط زجـ مساو لخط زب فخط زب اذاً اعظم من خط زه الاصغر اعظم من الاعظم هذا خلف غير ممكن وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثالث من المقالة الثالثة

اذا اجيز على مركز دائرة خط مستقيم فقطع خطاً اخر مستقيما ليس على المركز بنصفين فانه يقطعه على زوايا قائمة وان قطعه على زوايا قائمة فانّه يقطعه بنصفين مثاله ان دائرة اب مركزها نقطة ز وقد اجيز على ز خط اب وقد قطع خط جـد على نقطة ه فاقول ان كان قطعه بنصفين فانه يقطعه على زوايا قائمة وان قطعه على (على) زوايا قائمة فانّه يقطعه بنصفين برهانه انا ننزل اوّلا انّه قطعه بنصفين على نقطة ه ونخرج [من نـ]ـقطة ز المركز خطى زجـ زد فلان خط جـه مثل خط هد وناخذ هز مشتركاً فان خطى جه هز مثل خطى ده هز [فقـ]ـاعدة جز مثل قاعدة دز لانهما خرجا من المركز الى المحيط فبحسب برهان ح من ا تصير زاوية جـهز [مسـ]ـاوية لزاوية دهز وبحسب مصادرة ا اذا قام خط مستقيم على خط مستقيم فكانت الزاويتان اللـ[ـتان عـ]ـن جنبتى الخط القائم

متساويتين فانّ كل واحد من الزاويتين يقال لها قائمة فزاويتا جـهز دهز كل واحد[ة من همـ]ـا قائمة فقد تبيّن ان خط اب لما قطع خط جـد بنصفين قطعه على زوايا قائمة وننزل ايضا ان خط اب قد قطع خط جـد على نقطة ه على زوايا قائمة فاقول انه قد قطعه بنصفين برهانه ان مثلث جزد متساوى الساقين ساق زد مثل ساق زجـ لانهما خرجا من المركز الى المحيط فبحسب برهان ه من ا فانّ زاوية زجـد مساوية لزاوية زدجـ وقد كنّا بيّنا ان زاوية جـهز القائمة مثل زاوية دهز فزاويتا زجه زهجـ مساويتان لزاويتى زده زهد فبحسب برهان لب من ا تبقى زاوية جزه مساوية لزاوية دزه فاذا اخذنا خط زه مشتركاً فانّه يكون ضلعا جز زه مساويين لضلعى دز زه وزاوية جزه قد تبيّن انّها مثل زاوية دزه فبحسب برهان د من ا تكون قاعدة جه مثل قاعدة ده فقد تبيّن ان خط اب قد قطع خط جـد بنصفين وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الرابع من المقالة الثالثة

اذا تقاطع خطان فى دائرة على غير المركز فانهما لا يتقاطعان على انصافهما مثاله ان خطى جـد هز قد تقاطعا فى دائرة اب على نقطة ح وليس واحد منهما يجوز على المركز فاقول انهما لم يتقاطعا على انصافهما وانه غير ممكن ذلك فان امكن ان يجوز على غير المركز ويقطع احدهما الاخر بنصفين فليتقاطعا على انصافهما ولننزل ان موضع التقاطع نقطة ح ونستخرج مركز دائرة اب كما بيّن ذلك ببرهان ا من جـ وليكن نقطة ط ونصل بين نقطتى طح

بخط مستقيم فمن اجل انه قد خرج من نقطة ط التى هى المركز خط طح المستقيم وقسم خط جـد بنصفين فبحسب برهان جـ من جـ فان خط طح عمود على خط جـد فزاوية دحط اذاً قائمة وايضا فان خط طح عمود على (من المركز الى) خط زه وقسمه بنصفين على نقطة ح فبحسب برهان جـ من جـ فان خط طح عمود على خط هز فزاوية زحط اذن قائمة وقد تبيّن ان زاوية دحط ايضا قائمة فزاوية زحط اذن مساوية لزاوية دحط العظمى مثل الصغرى هذا خلف فقد تبيّن ان خطى جـد هز لا يتقاطعان على انصافهما على غير المركز فقد بقى ان يكون تقاطعهما على المركز لان الخطوط الخارجة من المركز الى محيط الدائرة متساوية وذلك ما اردنا ان نبيّن

الشكل الخامس من المقالة الثالثة

اذا تماسّت دائرتان فانّهما لا تكونان على مركز [واحد] مثاله ان دائرتى اب اجـ قد تماسّتا على نقطة ا فاقول انهما لا تكونان على مركز واحد. برهانه ان امكن ان تكونا على مركز واحد فلننزل انهما على مركز د ونخرج خط اد ونخرج من نقطة د خطاً الى دائرة اب كيف اتّفق وليكن خط دب فمن اجل انّ نقطة د مركز لدائرة اجـ فمن البيّن ان خط اد مساو لخط [د]جـ وايضا فلان نقطة د مركز لدائرة اب وقد خرج منها خطان الى المحيط وهما خطا اد [دب] فخط اد اذن مساو لخط دجـ والمساوية لشىء واحد فهى متساوية فخط دب اذن مساو لخط دجـ الاعظم مساو للاصغر هذا خلف

غير ممكن وذلك ما اردنا ان نبيّن

قال ايرن انما قدّمنا المتماسّة على المتقاطعة لان المماسّة قبل التقاطع.

الشكل السادس من المقالة الثالثة

اذا تقاطعت دائرتان فانّهما ليستا على مركز واحد مثاله ان دائرتى ازجـ ادجـ تقاطعتا على نقطتى اجـ فاقول ان دائرتى ازجـ ادجـ ليستا على مركز واحد برهانه انه ان امكن فليكن مركزهما واحدا وننزل انه نقطة ه ونخرج من نقطة ه الى نقطة ا خط ها فمن البيّن انه قد انتهى الى محيط الدائرتين جميعاً ونخرج خط هد الى محيط دائرة ادجـ كيف اتّفق اخراجه فمن اجل انّ نقطة ه مركز دائرة ازجـ يكون خط ها مساويا لخط هز وايضا فمن اجل ان نقطة ه مركز لدائرة ادجـ يكون خط ها مساويا لخط هد وقد تبيّن ان خط ها مساو لخط هز والمساوية لشى واحد فهى متساوية خط هد اذن مساو لخط هز الاعظم مثل الاصغر هذا خلف غير ممكن وذلك ما اردنا ان نبيّن

الشكل السابع من المقالة الثالثة

اذا فرض على قطر دائرة علامة ما ليست بمركز الدائرة واخراج من تلك العلامة الى محيط الدائرة خطوط مستقيمة فان اعظم الخطوط الذى عليه مركز الدائرة واصغرها باقى القطر واما الخطوط الاخرى فما قرب منها من المركز كان اعظم ممّا بعد منها عنه وخطان فقط عن جنبتى القطر متساويان مثاله ان دائرة ابجـد

قطرها جـد ونفرض عليه نقطة لا تكون على المركز ولتكن نقطة ه والمركز نقطة ط ونخرج من نقطة ه الى محيط الدائرة خطوطاً كم شئنا وكيف وقعت ولتكن خطوط ها هح هز فاقول ان اطول هذه الخطوط كلها الخط الذى عليه المركز وهو خط هجـ واقصرها خط هد والباقية فما قرب منها من نقطة ط فهو اعظم ممّا بعد عنها. اقول ان خط هز اعظم من خط هح وخط هح اعظم من خط ها برهانه انا نخرج من نقطة ط خطوط طز طح طا فمن اجل ان نقطة ط مركز فان خط طز مساو لخط طح وناخذ خط هط مشتركاً فخطا هط طز مساويان لخطى هط طح وزاوية هطز اعظم من زاوية هطح فبحسب برهان ڪد من ا فان خط هز اعظم من خط هح لكن خط طز مساو لخط طجـ فخط هط مع خط طز مساو لخط هجـ وخط هط مع خط طز اعظم من خط هز وذلك ببرهان ڪ من ا فخط هجـ اذن اعظم من خط هز وقد تبيّن ان خط هز اعظم من خط هح وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبيّن ان خط هح اعظم من خط ها وايضاً فان خطى اه هط اعظم من خط اط لكن خط اط مساو لخط دط فاذاً خطا اه هط اعظم من خط دط فاذا اسقطنا خط هط [المـ]ـشتركـ بقى خط اه اعظم من خط هد فقد تبيّن ان اطول هذه الخطوط كلها خط هجـ الذى على [عليه .scr] المركز [و]اصغرها تمام القطر الذى هو خط هد والباقى فما قرب من المركز اعظم ممّا بعد عنه اعنى [ان] قد تبيّن ان خط هز اعظم من خط هح وخط هح اعظم من خط اه. واقول انه يخرج من [نقطة] ه عن جنبتى القطر الذى هو خط دجـ الى محيط الدائرة خطان متساويان

برهانه انا نخرج من نقطة [ه الى] قوس دڪجـ خطوطاً مستقيمة مساويةً لخطوط ها هح هز فنعمل على نقطة ط من خط طجـ زاويةً مثل زاوية اطه كما بيّنا عمله ببرهان ڪجـ من ا ولتكن زاوية بطه ونعمل عليها ايضا زاويةً مثل زاوية حطه وننزل انها زاوية ڪطه وايضا زاوية مثل زاوية زطه ولتكن زاوية لطه ونخرج خطوط هب هڪ هل فمن اجل ان نقطة ط مركز الدائرة فان خطوط طا طڪ طل تكون متساويةً ولانّا عملنا زاوية بطه مساويةً اطه فانا اذا اخذنا خط طه مشتركاً يكون خطا هط طب مساويين لخطى اط طه وزاوية اطه مساوية لزاوية هطب فبحسب برهان د من ا يكون خط اه مساوياً لخط هب وتبيّن ايضا ان خط هڪ مساو لخط هح لانا عملنا زاوية هطڪ مساويةً لزاوية حطه فضلعا حط طه مساويان لضلعى ڪط طه وزاوية حطه مثل زاوية ڪطه فخط هح مساو لخط هڪ وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبيّن ان خط طز مساو لخط طل فقد تبيّن ان خطين عن جنبتى القطر متساويان وذلك ما اردنا ان نبيّن فاقول انه غير ممكن ان نخرج من نقطة ه الى قوس دڪجـ خطوط مساوية ها هح هز غير خطوط هب هڪ هل فان امكن فلنخرج مثل خط هم ونصل مط فخط طم مساو لخط طا لانهما اخرجا من المركز الى المحيط فناخذ خط هط مشتركا فخطا مط طه مساويان لخطى اط طه وقاعدة هم مساوية لقاعدة ها فبحسب برهان ح من ا تكون زاوية مطه مساوية لزاوية اطه لكنا عملنا زاوية بطه مساوية لزاوية اطه فزاوية مطه اذن مساوية لزاوية بطه العظمى مثل الصغرى هذا

خلف غير ممكن وبمثل هذا البرهان يتبيّن انه لا يمكن [ان نخرج من نقطة ه] الى قوس جـڪد خطوط غير هب هڪ هل يساوى خطوط ها هح هز وذلك ما اردنا ان نبيّن.

قال ايرن هذا الشكل قد بيّن فيه الرياضى ان الخطوط القريبة من المركز اعظم من البعيدة عنه بان صيّر الخطين فى جهة واحدة من المركز فان فرص لنا خطان من جنبتى المركز احدهما اقرب اليه من الاخر فانا نبيّن ان اقربهما اليه اعظم من ابعدهما عنه بهذا العمل. نفرض دائرة ابجـ وقطرها بجـ ومركزها د نفرض على بجـ نقطة ه ونخرج منها الى المحيط ها هز ونجعل ها اقرب الى المركز من هز فاقول ان ها اعظم من هز برهانه انا نخرج من د عمودى دح دط وخطى دا دز فلان اه اقرب الى المركز من زه فبحسب مصادرة هذه المقالة يكون عمود دط اعظم من عمود دح فمربع خط دط اعظم من مربع خط دح فمن اجل انّ كل وا[حدة] من زاويتى دطه دحه قائمة فببرهان مو من ا فانّ مربع دط مع مربع طه مساو لمربع ده وكذلك مربع دح مع مربع حه مساو لمربع ده فمربع دط مع مربع طه اذن مساو لمربع دح مع مربع حه ولكن مربع دط قد تبيّن انه اعظم من مربع دح فيبقى اذن مربع هح اعظم من مربع هط فخط هح اذن اعظم من خط هط. وايضا فلان زاويتى احد زطد كل واحدة منهما قائمة فببرهان مو من ا يكون مربع زط مع مربع طد مساوياً لمربع دز ومربع اح مع مربع حد مساويا لمربع اد لكن خط

اد مساو لخط دز لانهما خرجا من المركز الى المحيط فمربع اح اذن مع مربع حد مساو لمربع زط مع مربع طد وقد تبيّن ان مربع دط اعظم من مربع دح فاذا اسقطناهما بقى مربع اح اعظم من مربع زط فخط اح اذاً اعظم من خط زط وقد بيّنا ان خط هح اعظم من خط هط فخط ها اذن اعظم من خط هز وذلك ما اردنا ان نبيّن.

وقال ايرن ايضا فان كان الخط الذى يخرج من علامة د عموداً على خط هز لا يقع على خط هز لكن على الخط المتّصل به على استقامة كعمود دح فمن اجل ان خط دز مساو لخط دا لانهما خرجا من المركز الى المحيط ومربعى دط طا مساويان لمربع اد ومربعى دح حز مساويان لمربع دز فان مربعى دح حز مساويان لمربعى دط طا لكن مربع دح اعظم من مربع دط فاذا اسقطناهما بقى مربع اط اعظم من مربع حز فخط اط اذن اعظم من خط زح فاذا اسقطنا من خط حز خط حه وزدنا على خط اط خط طه فمن البيّن ان جميع خط ها اعظم من خط هز بكثير وذلك ما اردنا ان نبيّن

الشكل الثامن من المقالة الثالثة

اذا فرضت نقطة خارج دائرة واخرج منها الى الدائرة خطوط مستقيمة احدها يجوز على المركز والاخر كيف ما وقعت من محيط الدائرة فانّ اعظمها هو الذى يجوز على المركز واصغرها الذى يصل

بين النقطة وبين القطر واّما الخطوط الاخر فما كان منها يقطع الدائرة ويلقى اخمصها فان ما قرب منها من قطر الدائرة فهو اعظم ممّا بعد عنها وما كان منها لا يقطع الدائرة ولكن يلقى حدبتها فان ما بعد عن القطر منها يكون اعظم مما قرب منه وقد يخرج من تلك النقطة عن جنبتى القطر الى الدائرة خطان من التى تلقى اخمصها ومن التى تلقى حدبتها متساويان مثاله انا نفرض دائرة اب ونفرض (من) نقطة جـ خارجها ونخرج خطوط جـد جه جـز جـا تقطع الدائرة وتلقى اخمصها الذى هو قوس دا وخطوط جط جڪ جـل تلقى حدبته التى هى قوس حل وخط جد يمرّ بنقطة م التى هى المركز فاقول انّ اعظمها من التى تقطع الدائرة خط جـد والباقية فما قرب من خط جـد هو اعظم ممّا بعد عنه وما بعد عن خط جـد [من] الخطوط التى تلقى حدبة الدائرة اعظم مما قرب منه واقصر الخطوط كلها خط جـح وقد تخرج [من] جـ عن جنبتى خط جـد الذى هو القطر خطوط تقطع الدائرة وتلقى اخمصها يكون خطان منهم عن جنبتى القطر متساويين برهانه انا نخرج خطوط ما مز مه فخطوط ما مز مه مد متساوية لانها خرجت من المركز الى المحيط ومن اجل انّ كل مثلث فان كل ضلعين من اضلاعه اذا جمعا [كانا] كخط واحد هو اعظم من الضلع الثالث فبحسب برهان ڪ من ا فان خط جم مع خط مه اعظم من خط جه لكن خط مد مساو لخط مه فخط جـد اذاً اعظم من خط جه ولان ضلعى جـم مه من مثلث جمه مساويان لضلعى جم مز من مثلث جمز وزاوية جمه بيّن انها اعظم من زاوية جمز

فبحسب برهان ڪد من ا تكون قاعدة جه اعظم من قاعدة جـز وكذلك يتبيّن ان خط جز اعظم من خط جـا فقد تبيّن ان اعظم الخطوط جـد وان جـه الاقرب الى جـد اعظم من جـز الابعد وان جز اعظم من جـا فاقول ايضا ان خط جط الذى هو ابعد من خط جد اعظم من خط جـڪ الاقرب وجـڪ اعظم من جـل واقصرها كلها خط جـح برهانه انا نخرج خطوط مط مڪ مل فمن اجل ان كل مثلث فان ضلعين من اضلاعه كخط واحد اعظم من الضلع الثالث فان مل لجـ اعظم من مجـ لكن مل مثل مح فاذا اسقطناهما بقى لجـ اعظم من حجـ ومن اجل مثلث مڪجـ قد خرج من طرفى ضلع من اضلاعه وهو ضلع مجـ خطان فالتقى طرفاهما على نقطة ل داخل المثلث فان بحسب برهان كا من ا يكون خط مل مع خط لجـ اصغر من خط مڪ مع خط ڪجـ لكن خط مڪ مثل خط مل فاذا اسقطناهما بقى خط جـڪ اعظم من خط جـل وكذلك يتبيّن ان خط جط اعظم من خط جـڪ فقد نبيّن ان اعظم هذه الخطوط جط واقصرها دح [جـح .s] وان جط اعظم من جـڪ وجـڪ اعظم من جل وجل اعظم من جـح واقول ايضا انه قد تخرج من نقطة جـ خطوط عن جنيتى خط جـد تقطع الدائرة وتلقى اخمصها كل خطين خطين نظيرين منها متساويان برهانه انا نعمل على نقطة م من خط جم زاويةً مثل زاوية جمه كما بيّن عملها ببرهان كجـ من ا ولتكن زاوية جمب فلان خط مب مساو لخط مه ونخرج خط جم مشتركا يكون خطا جم مب مساويين لخطى جم مه وزاوية جمب عملت مساوية لزاوية جمه فبحسب برهان

د من ا تكون قاعدة جه مساويةً لقاعدة جب وكذلك لو اردنا ان نخرج خطين اخرين يكون الذى يتلو خط جب مساويا لخط جز والرابع مساويا لخط جـا لعملنا على نقطة م من خط جم زاويتين مثل زاويتى جمز جـما ثم نصل بين نقطة جـ وبين طرف الخط الذى عملت الزاوية عليه من محيط الدائرة فاقول انه غير ممكن ان يخرج من نقطة جـ الى قوس دبح خط اخر مساو لخط جـه غير خط جب ولا خط اخر مساو للخطوط الاخر سوى الخطوط التى خرجت فان امكن فليكن جس ونخرج خط مس فمن اجل ان خط مب مساو لخط مس لانهما خرجا من المركز فانا اذا اخذنا خط جم مشتركا يكون خط جم مع خط جب مثل جم مع جـس وزاوية جمب اعظم من زاوية جمس فبحسب برهان ڪد من ا يكون جب اعظم من جـس وكنّا فرضناهما متساويين هذا خلف فليس يمكن اذن ان يخرج من نقطة جـ الى قوس دبح خط مستقيم مساو لخط جب ولا لسائر الخطوط المساوية لخطوط جه جز جـا واقول ايضا وقد تخرج من نقطة جـ خطوط عن جنبتى خط جـح تلقى حدبة الدائرة ويكون كل خطين خطين نظيرين عن جنبتى خط دح متساويين برهانه انا نعمل على نقطة م من خط جم زاويةً مثل زاوية جمل ولتكن زاوية جمع ونصل جـع فخط مع مساو لخط مل لانهما خرجا من المركز وناخذ جم مشتركا فخطا عم مجـ مثل خطى لم مجـ وزاوية عمجـ عملت مساويةً لزاوية لمجـ فقاعدة جل مثل قاعدة جـع وبمثل هذا العمل نخرج من نقطة جـ الى تقبيب سح خطوطا مساوية لخطوط جـڪ جط واقول انه غير

ممكن ان يخرج من نقطة جـ الى تقبيب سح جط اخر مساو لخط جـع فان امكن فليكن مثل خط جـف ونصل بين نقطتى مف فمن اجل ان مثلث جمف قد خرج من طرفى ضلع من اضلاعه خطا جـع مع والتقى طرفاهما داخل المثلث على نقطة ع فمن البيّن بحسب برهان كا من ا ان [خط] جف مع خط فم اعظم من خط جـع مع خط عم لكن خط مف مساو لخط مع لانهما خرجا من المركز الى المحيط فاذا اسقطناهما بقى خط جـف اعظم من خط جـع وكنا فرضناهما متساويين وهذا خلف غير ممكن فقد تبيّن انه غير ممكن ان يخرج من نقطة جـ خط يلقى تقبيب حس مساو لخط حـع ولا لسائر الخطوط التى هى نظاير لخطوط جـل جـڪ دط (جط .s) وذلك ما لردنا ان نبيّن.

قال ايرن من اجل ان الرياضى برهن على هذا الشكل بان صيّر الخطوط فى الجهة الواحدة فينبغى ان نبرهن ببرهان اخر كما فعلنا فى الشكل المتقدم فنقول انه اذا فرض خطان مستقيمان عن جنبتى القطر احدهما اقرب الى المركز والاخر ابعد عنه فان اقربهما اليه يكون اعظم من ابعدهما مثال ذلك انا نفرض دائرة ابجـ ونخرج قطرها وهو خط بجـ على استقامة الى نقطة د ونخرج من د الى دائرة ابجـ خطين اخرين مستقيمين عن جنبتى القطر وهما خطا دا ده وخط دا اقرب الى المركز من خط ده فاقول ان خط اد اعظم من خط ده برهانه انّا نستخرج مركز الدائرة كما بيّنا اخراجه ببرهان ا من ا وليكن نقطة ز ونخرج من نقطة ز الى خطى اد ده عمودى زح زط كما تبيّن اخراجه ببرهان يب من ا فمن اجل

ان خط اد اقرب الى نقطة ز من خط ده فان عمود زح اصغر من (مجموع) عمود زط وايضا فمن اجل ان مربع خط دح مع مربع خط زح مساو لمربع خط دز وذلك بحسب برهان مو من ا وكذلك مربع خط دط مع مربع خط طز مساو لمربع خط دز فمجموع مربعى دح حز مسـ[ـاو] لمجموع مربعى دط طز لكن مربع خط حز اصغر من مربع خط طز فاذا اسقطناهما بقى مربع خـ[ـط دح] اعظم من مربع خط دط فخط دح اعظم من خط دط وايضا فان خط از مثل خط زه [لانهمـ]ـا خرجا من المركز الى المحيط لكن مجموع مربعى خطى زح اح مساو لمربع خط از ومجموع مربعى خطى زط طه مساو [لمربع] خط زه فمجموع مربعى خطى زط طه اذاً مساو لمجموع مربعى خطى زح حا لكن مربع خط زح اصغر من مربع خط زط فاذا اسقطناهما بقى مربع خط اح اعظم من مربع خط طه وكنا بيّنا ان خط دح اعظم ايضا من خط دط فخط دا اذاً اعظم من خط ده وذلك ما ارذنا ان نبيّن. ونبيّن ايضا انّ الخطوط التى تلقى تقبيب الدائرة ما كان منها اقرب الى الخط الذى بين العلامة وبين القطر يكون اصغر من ما كان منها ابعد عنه ونفعل ذلك ايضا فى خطين مستقيمين يكونان عن جنبتى الخط الذى بين العلامة والقطر فننزل ان الدائرة ابجـ وقطرها خط بجـ ونخرج خط بجـ على استقامة الى نقطة د ونخرج من نقطة د الى تقبيب الدائرة خطى ده دز ونجعل خط ده اقرب الى خط دجـ من خط دز فاقول ان خط ده اصغر من خط دز برهانه انا نخرج خطى ده دز الى اخمص الدائرة فليخرجا الى نقطتى اح ونطلب مركز

الدائرة وهو نقطة ط ونخرج من نقطة ط عمودى طڪ طل ونصل بين نقطتى طه ونقطتى طز بخطى طه طز فمن اجل انّ زاوية دهط خارج مثلث هڪط وزاوية هڪط قائمة فان بحسب برهان يو من ا تكون زاوية دهط اعظم من زاوية هڪط فزاوية دهط اذن منقرجة وكذلك يتبيّن انّ زاوية دزط منفرجة فمثلثا دهط دزط منفرجا الزاوية وكل زاوية منفرجة فان مربع الضلع الذى يوتّر الزاوية المنفرجة مساو لمجموع المربعين الكائنين من الضلعين المحيطين بالزاوية المنفرجة مع ضعف السطح الذى يحيط به احد الضلعين المحيطين بالزاوية المنفرجة الذى يقع على استقامة العمود والخط الذى بين العمود وطرف الزاوية المنفرجة وذلك بحسب برهان يب من ب فالمربعان الكائنان من ضلعى ده هط مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا ده هڪ مساو لمربع خط دط وكذلك مجموع مربعى خطى دز زط مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا دز زل مساو لمربع خط دط فمجموع مربعى خطى دز زط مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا دز زل مساو لمجموع مربعى خطى ده هط مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا ده هڪ فمن اجل انّ هڪ مساو لخط ڪا وخط زل مساو لخط لح وذلك بحسب برهان جـ من جـ فانه بحسب برهان ا من ب يكون ضعف السطح الذى يحيط به خطا ده هڪ مساوياً للسطح الذى يحيط به خطا ده ها وكذلك ضعف السطح الذى يحيط به خطا دز زل مساو للسطح الذى يحيط به خطا دز زح فالسطح الذى يحيط به خطا اه هد مع المربع الكائن من خط ده مساو للسطح الذى يحيط به خطا حز زد مع

المربع الكائن من خط دز لكن بحسب برهان جـ من ب فان السطح الذى يحيط به خطا اه هد مع المربع الكائن من خط ده مساو للسطح الذى يحيط به خطا اد ده وكذلك السطح الذى يحيط به خطا حز زد مع المربع الكائن من خط دز مساو للسطح الذى يحيط به خطا حد دز فالسطح اذن الذى يحيط به خطا اد ده مساو للسطح الذى يحيط به خطا حد دز وقد بيّنا ان خط اد اعظم من خط حد لانه اقرب الى المركز فخط ده اذن اصغر من خط دز وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل التاسع من المقالة الثالثة

كل نقطة فى داخل دائرة يخرج منها الى الخط المحيط بالدائرة اكثر من خطين وتكون كلّها متساويةً فان تلك النقطة مركز لتلك الدائرة. مثاله ان فى داخل دائرة اب نقطة جـ وقد خرج منها الى الخط المحيط بالدائرة اكثر من خطين وهى كلها متساوية وهى خطوط جب جـد جه فاقول ان [نقطة] جـ مركز لدائرة اب برهانه انا نخرج خطى بد ده ونقسم كل واحد منهما بنصفين على نقطتى زح ونخرج خطى جز جـح وننفذهما فى الجهتين جميعا الى محيط الدائرة وهما خطا اط ڪم فمن اجل ان خط بز فصلناه مساويا لخط زد فاذا اخذنا زجـ مشتركا فان خطى جز زب مساويان لخطى جز زد وقاعدة جب مساوية لقاعدة جـد فانّ بحسب برهان ح من ا فانّ زاوية جزب مساوية لزاوية جزد وكل واحدة منهما اذاً قائمة فبحسب ما تبيّن فى وجود مركز

الدائرة انّه متى قسم خط بد بنصفين واخرج مثل خط اط عموداً على خط بد فانّ على خط اط يكون مركز الدائرة فمركز الدائرة اذاً على خط اط وبمثل هذا البرهان وهذا الاستشهاد يتبيّن ان مركز الدائرة على خط ڪم فمن الظاهر انّ المركز على النقطة التى عليها تقاطع خطا اط ڪم فمركز الدائرة على نقطة جـ فنقطة جـ اذن مركز للدائرة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل العاشر من المقالة الثالثة

لا يمكن ان تقاطع دائرة دائرةً اخرى على اكثر من موضعين فان امكن فلتقاطع دائرة اب دائرة جـد على اكثر من علامتين وليكن على علامات ه ز ح ونخرج خطى هز زح ونقسم كل واحد منهما بنصفين على نقطتى ڪ ل ونجيز على نقطتى ڪ ل خطى اب جـد يقطعان خطى هز زح على زوايا قائمة بحسب ما بيّن ببرهان يا من ا فمن اجل ان خط زح فى دائرتى اب جـد وقد قسم بنصفين على علامة ل واخرج عليه خط الب على زاوية قائمة فبحسب ما بيّنا فى برهان ط من جـ فانّ مركز دائرتى اب جـد على خط اب. وايضا فان خط هز وقع فى دائرتى اب جد وقد قسم بنصفين على نقطة ڪ واخراج خط جـڪد على زوايا قائمة على خط هز فمركز دائرتى اب جـد على خط جـڪد فمركز الدائرتين على خطى اب جـد فهما اذن على الفصل المشترك للخطين فهما

على نقطة ن فنقطة ن مركز لدائرتى اب جـد وقد تبيّن ببرهان ه من جـ ان كل دائرتين تتقاطعان فليس مراكزهما بواحد فليس يمكن ان تقاطع دائرة دائرةً الا فى موضعين وذلك ما اردنا ان نبيّن.

قال ايرن نبيّن هذا بالشكل التاسع فنقول ان امكن ان تقاطع دائرة دائرةً على اكثر من علامتين فلتقاطع دائرة ابجـد دائرة بجهز على اكثر من علامتين اعنى على علامات ب جـ ه ز ونستخرج مركز دائرة ابجـد كما بيّن اخراجه ببرهان ا من جـ و[نفرضه] على علامة ط ونخرج خطوط طب طجـ طه فمن اجل ان نقطة ط مركز ابجد فانّ خطوط طـ[ب] طجـ طه تكون متساويةً ولان نقطة ط داخل دائرة بجهز وقد خرج منها الى محيطها خطوط متساوية اكثر [من] خطين فبحسب برهان ط من جـ تكون نقطة ط مركزاً لدائرة بجهز وهى ايضا مركز لدائرة ابجد فدائرتان [تـ]ـقاطعان مركزاهما نقطة واحدة هذا خلف لانّا قد بيّنا ببرهان ه من جـ ان هذا غير ممكن وذلك ما ردنا ان نبيّن.

الشكل الحادى عشر من المقالة الثالثة

كل دائرتين تماسّان فالخط الذى يجوز على مركزيهما يقع حيث تتماسّان مثاله ان دائرتى اب اجـ تتماسّان على نقطة ا و مركز دائرة اب نقطة ه ومركز دائرة اجـ نقطة ن فاقول ان الخط المستقيم الذى يجوز على نقطتى هن يقع على نقطة ا لا يمكن غيره فان

امكن ان يجوز على مركزيهما ويقع على غير نقطة التماسّ فليقع كخط هزحط ونخرج خطى اه از فبحسب برهان ڪ من ا يكون ضلعا از زه مجموعين اعظم من ضلع اه لكن خط از مساو لخط زح لانهما خرجا من المركز الى المحيط ونجعل خط هز مشتركاً فخط هح اذن اعظم من خط ها وخط ها مثل خط هط لانهما خرجا من المركز الى المحيط فخط هح اذن اعظم من خط هط الاصغر اعظم من الاعظم هذا محال فقد ظهر ان الخط الذى يجوز على نقطتى هن ليس يقع على موضع اخر غير نقطة ا وذلك ما اردنا نبيّن.

قال ايرن انّ الرياضى فرض فى هذا الشكل الدائرتين متماسّتين من داخل فنبيّن نحن ذلك وان كانت المماسّة من خارج فلنفرض دائرتى اب جـد تتماسّان على نقطة جـ وليكن مركز دائرة اب نقطة ن ومركز دائرة جـد نقطة ه فاقول ان الخط المستقيم الذى يجوز على نقطتى هن يمرّ بنقطة جـ برهانه انه لا يمكن غيره فان امكن فليكن الخط الذى يمرّ بنقطتى هن لا يجوز على نقطة جـ ولكن ليمرّ بموضع اخر كخط زطڪح ونخرج خطى جز جـح فيحدث مثلث جزح فبحسب برهان ڪ من ا يكون ضلعا زجـ جـح مجموعين اعظم من ضلع زح لكن خط جـح مساو لخط حڪ وخط زط مساو لخط زجـ فمجموع خطى زجـ جـح مساو لمجوع خطى حڪ زط فاذن مجموع خطى حڪ زط اعظم من خط زح الاصغر اعظم من الاعظم هذا محال فالخط المستقيم اذن الذى يجوز على نقطتى هن اللتين

هما المركزان ليس يمكن ان يجوز على موضع من المواصع الّا على نقطة جـ الموضع الذى عليه تماسّ الدائرتان و ذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثانى عشر من المقالة الثالثة

لا تماسّ دائرة دائرةً اخرى على اكثر من علامة واحدة من داخل كانت المماسّة او من خارج فان امكن ان تتماسّ دائرتان على اكثر من علامة واحدة فلتتماسّ امّا من داخل فدائرتا اب جـد على نقطتى جـ د وامّا من خارج فدائرتا اب طح على نقطتى ا ب فلنبرهن على اللتين قد تماسّتا من داخل فننزل ان مركز دائرة اب نقطة ه ومركز دائرة جـد نقطة ز فالخط الذى يجوز على نقطتى هز بحسب ما قد تبيّن ببرهان يا من جـ يقع حيث تتماسّ الدائرتان فلتكن كخط جهزد فمن اجل ان نقطة ه مركز لدائرة [اب] وقد خرج منها الى المحيط خطا هجـ هد فهما متساويان فخط هجـ اذن اعظم من زد فخط جز اذن اعظم من زد بكثير وايضا فانا فرضنا نقطة ز مركزاً لدائرة جـد فخط زجـ مساو [لخط] زد فخط زجـ الاعظم اذن مساو لخط زد الاصغر هذا خلف غير ممكن فليس يمكن ان تماسّ دائرة دائرة الا على نقطة واحدة وهذا اذا كانت المماسّة من داخل ونبيّن ايضا انه ولا اذا كانت المماسّة من خارج يمكن ان تتماسّا الا على نقطة واحدة برهانه انه ان امكن ان تماسّ دائرة اب دائرة حط على اكثر من نقطة فلتتماسّا على نقطتى ا ب

فمن اجل انّ على محيط دائرة اب نقطتى اب فمن الظاهر بحسب برهان ب من جـ ان الخط المستقيم الذى يصل بين نقطتى ا ب يقع داخل دائرة اب فليقع كخط اب ومن اجل انّ على محيط دائرة حط نقطتى ا ب فبحسب برهان ب من جـ فانّ الخط المستقيم الذى يصل بينهما يقع داخل دائرة حط وقد وقع خارجاً منها هذا خلف غير ممكن فليس تتماسّ دائرتان من خارج الا على نقطة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

قال ايرن نقدّم مقدّمة يحتاج اليها فى الشكل الثانى عشر خط مستقيم لا يقطع محيط دائرة على اكثر من علامتين فان امكن فليقطع خط اجـ المستقيم دائرة داجـ على اكثر من علامتين اعنى على علامات ا ب جـ ونستخرج مركز الدائرة كما بيّن استخراجه ببرهان ا من جـ وليكن نقطة ه ونصل خطوط ها هب هجـ فمن اجل ان خط ابجـ خط واحد مستقيم وزاوية هبا خارج مثلث ه ب جـ فان بحسب برهان يو من ا تكون زاوية هبا اعظم من زاوية هجب لكن زاوية هبا مساوية لزاوية هاب وذلك بيّن بحسب برهان ه من ا فزاوية هاب اذن اعظم من زاوية هجـب لان ضلع هجـ مساو لضلع ها فانّه بحسب [برهان] ه من ا تكون زاوية هاب مساوية لزاوية هجب وقد كانت اعظم منها هذا خلف غير ممكن فاذن خط مستقيم لا يقطع محيط دائرة على اكثر من علامتين وذلك ما اردنا ان نبيّن. فان قال قائل ان مركز الدائرة يمكن ان يكون على

خط اب فعند ذلك نقول انّه ان امكن فليكن على علامة ز فمن اجل انّ علامة ز مركز دائرة اب جـد فانّ خط از مساو لخط زب وايضا فانّ خط زا مساو لخط زبجـ فخط زبجـ اذن مساو لخط زب فاذن خط جبز الاعظم مساو لخط زب الاصغر وذلك غير ممكن فاذن خط مستقيم لا يقطع محيط دائرة على اكثر من علامتين وذلك ما اردنا ان نبيّن.

قال ايرن ايضا فى الشكل الثانى عشر ان امكن ان تتماسّ دائرتان على اكثر من علامة واحدة فلتتماسّ دائرتا ابجد اهجز من داخل على اكثر من علامة اعنى على علامتى ا جـ ولنستخرج مركز دايرة اهجز كما بيّن اخراجه ببرهان ا من جـ وليكن نقطة ح ومركز دائرة ابجد وننزل انه خارج دائرة اهجز على علامة ط فنقول انّ المركز لا يقع خارجاً فان امكن فانا نصل بين نقطتى حط اللتين هما المركزان بخط حط فمن البيّن بحسب برهان يا من جـ انّ خط حط اذا اخرج فى جهتيه جميعاً فانه يجوز على مواضع المماسّة فهو اذن يحوز على نقطتى ا جـ فلنخرجه فيصير اذن وضع هذا الخط كوضع خط احزطجـ فخط احزطجـ يقطع دائرة اهجز على اكثر من علامتين وقد بيّنا ان ذلك غير ممكن فليس يقع [مر]كز دائرة ابجـد خارج دائرة اهجز وبمثل هذا نبيّن انه لا يقع على قوس ازجـ فان [امكن] فليكن مثل نقطة ز فخط احزجـ خط واحد مستقيم يقطع محيط دائرة اهجز على اكثر من علامتين اعنى على علامات ا ز جـ وذلك غير ممكن فغير

ممكن اذن ان يقع مركز دائرة ابجـد على محيط دائرة اهزجـ وقد كنّا بيّنا انه لا يقع ايضا خارجها فاذن يقع داخلها كما قال الرياضى وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثالث عشر من المقالة الثالثة

الخطوط المتساوية فى دائرة فان بعدها من المركز متساو والخطوط التى بعدها من المركز متساو هى متساوية مثاله انه وقع فى دائرة اب خطا جـد هز وهما متساويان فاقول ان بعدهما من المركز متساو برهانه انا نستخرج مركز الدائرة كما بيّن اخراجه ببرهان ا من جـ وليكن نقطة ح ونخرج خطوط حجـ حد حه حز ونخرج من نقطة ح الى خطى جـد هز عمودى حط حڪ كما بيّن اخراجها ببرهان يب من ا فمن اجل انه وقع فى دائرة اب خطا جـد هز وقد خرج من المركز اليهما عمودا حط حڪ فبيّن ببرهان جـ من جـ انّهما يقطعان خطى جـد هز بنصفين فخط طجـ مثل خط طد وهڪ مثل ڪز فمن اجل ان ضلع حجـ مثل ضلع حه وضلع دجـ مثل ضلع زه وقاعدة حد مساوية لقاعدة حز فانه بحسب برهان ح من ا تكون زاوية دجح مساوية لزاوية زهح ومن اجل انّ خط جـد مثل خط هز فانّ ايضا فهما متساوية فخط جط اذن مساو لخط هڪ وحجـ مثل حه وقد تبيّن ان زاوية طجـح مساوية لزاوية حهڪ فبحسب برهان د من ا تكون قاعدة حط مساوية لقاعدة حڪ

وهما عمودان على خطى جـد هز فهما اذن بعدا خطى جـد هز من نقطة ح التى هى مركز دائرة اب فبعدا خطى جـد هز من المركز متساويان وذلك ما اردنا ان نبيّن. واقول ايضا اذا كان بعد خطى جـد هز من المركز بعداً متساوياً فانهما متساويان. برهانه من اجل ان الابعاد التى للخطوط من المركز هى اعمدة على الخطوط وخطا حط حڪ قد خرجا من المركز وهما عمودان على خطى جـد هز فهما اذن البعدان وهما متساويان فمن اجل ان خطى حط حڪ خرجا من نقطة ح التى هى المركز الى خطى جـد هز وقطعاهما على زوايا قائمة فبحسب برهان جـ من جـ فانّ كل واحد منهما يقطع خطى جـد هز بنصفين على نقطتى طڪ فخط دجـ مثلا خط جط وخط زه مثلا خط ڪه فلان زاويتى حطجـ حڪه كل واحدة منهما قائمة فان بحسب برهان مو من ا يكون مجموع مربعى خطى جط طح مساويا لمربع خط حجـ وكذلك مجموع مربعى خطى حڪ ڪه مساو لمربع خط حه ولان خطى حجـ حه متساويان لانهما خرجا من المركز الى المحيط يكون مجموع مربعى خطى حط طجـ مساويا لمجموع مربعى خطى حڪ ڪه لكن مربع خط حط مساو لمربع خط حڪ فاذا اسقطناهما بقى مربع خط طجـ مساوياً لمربع خط ڪه فخط طجـ اذن مساو لخط ڪه وكنّا بيّنا ان خط دجـ ضعف خط طجـ وخط زه ضعف خط ڪه فالاشياء التى هى اضعاف متساوية لاشياء متساوية فهى متساوية فخط دجـ اذن مساو لخط زه وذلك ما اردنا ان نبيّن.

امّا زيادة ايرن فى هذا الشكل فانّه بيّن انّ مركز الدائرة

يقع بين خطى هز جـد ورسم لذلك صورة دائرة ابجد واخرج فيها خطى ابجد وهما متساويان فقال ان مركز هذه الدائرة يقع بين خطى ابجد لا يمكن غيره فان امكن فليقع اوّلاً على خطى اب جـد فننزل انّه قد وقع على خط جـد على نقطة ه ونخرج خطى ها هب فمن اجل انّ نقطة ه مركز فانّ خط اه مساو لخط هد وخط به مساو لخط هجـ لكن بحسب برهان ڪ من ا فان مجموع خطى اه هب كخط واحد اعظم من خط اب فخط جـد اذن اعظم من خط اب وكنا فرضناهما متساويين هذا خلف وبمثل هذا يتبيّن انه ولا يمكن ان يقع على خط اب فاذن ليس مركز دائرة اب جـد على احد خطى اب جـد فاقول ايضا انه ولا خارجاً عن احد خطى اب جـد فان امكن فليكن خارجاً عن خط جد وننز[ل انـ]ـه نقطة ز ونخرج خطوط زد زجـ زا (زا) زب فمن اجل ان نقطة ز مركز الدائرة فانّ الخطوط الخارجة منها الى المحيط متساوية فخطا زا زب مثل خطى زد زجـ وقاعدة اب مساوية لقاعدة دجـ فبحسب برهان ح من ا تكون زاوية ازب مساوية لزاوية دزجـ الاصغر مساوية للاعظم هذا خلف وبمثل هذا البرهان يتبيّن انّه غير ممكن ان يقع ايضا خارج خط اب فقد تبيّن انّ مركز دائرة اب جـد ليس يقع الا فيما بين خطى اب جـد وذلك ما اردنا ان نبيّن.

وبيّن ايضا ايرن انّ مركز دائرة ابجـد يقع بين خطى ابجـد المتساويين بغير طريق الخلف فقال ليس يخلو من ان يكون خطا اب جـد متوازيين او غير متوازيين فلننزل انهما متوازيان اوّلا ونصل بين خطى ابدجـ

بخطى اجـ دب فالزوايا المتبادلة اذن متساوية فزاوية ا مساوية لزاوية جـ وزاوية د مساوية لزاوية ب وقاعدة اٮ مساوية لقاعدة دجـ فبحسب برهان كو من ا يكون ضلع اه مساويا لضلع هجـ وضلع هجـ مساويا لضلع هد فخطا اجـ بد تقاطعا على انصافهما على نقطة ه فبيّن ببرهان د من جـ ان مركز الدائرة على خطى اجـ بد فالمركز اذن نقطة ه وذلك وذلك ما اردنا ان نبيّن. وننزل ايضا ان خطى اب جـد غير متوازيين ونخرجهما على استقامة حتى يلتقيا فليلتقيا على نقطة ه ونخرج خطى اجـ بد يتقاطعان على نقطة ز ونخرج خط هزح فاقول انّ مركز الدائرة على خط هح برهانه من اجل انّ زاوية باجـ مساوية لزاوية بدجـ لانّهما فى قطعة واحدة وتوتّرهما قوس واحدة وهى قوس بدجـ ومثل هذه الاشكال يستشهد بها وان كانت مرسومة من بعد لانّه ليس فيها مقدمات تتلو هذا الشكل ولا هذا الشكل من الاوائل لذلك الشكل لكن اوائل ذلك الشكل ماخوذة من المقالة الاولى ومن الشكل الاول من هذه المقالة فمن احل ذلك لما احتاج ايرن الى حلّ هذه الشكوڪ جعل الشكل العشرين من هذه المقالة اوّلا لهذا الشكل الثالث عشر فقال من اجل انّ زاوية باجـ مساوية لزاوية بدجـ وزاوية ابد مساوية لزاوية اجد لانهما ايضا فى قطعة ابجـد وتوتّرهما قوس واحدة وهى قوس اد وضلع اب مساو لضلع جـد فانّه بحسب برهان ڪو من ا يكون خط از مساوياً لخط زد وايضاً من اجل انّ زاوية دبجـ مساوية لزاوية اجب لانهما فى قطعة دجب وتوتّرهما قوسا

دجـ اب المتساويان وقد تبيّن ان زاوية دجـا مثل زاوية دبا فان زاوية دجب باسرها مساوية لزاوية ابجـ باسرها فاذن بحسب برهان و من ا يكون مثلث هجب متساوى السّاقين ساق هجـ مثل ساق هب وقد فرضنا دجـ مثل اب فيكون هد الٮاقى مثل ها وايضا من اجل ان زاوية هاجـ مساوية لزاوية هدب وذلك بحسب برهان لب من ا وضلعا هد دز مثل ضلعى ها از فبحسب برهان د من ا تكون زاوية دهز مساوية لزاوية اهز فخط هب اذن مساو لخط هجـ وزاوية بهط قد تبيّن انها مساوية لزاوية [جهط] وناخذ خط هط مشتركاً وضلعا جـه هط مساويان لضلعى به هط وزاوية [جـ]ـهط مساوية لزاوية بجط فقاعدة بط مساوية لقاعدة جط وزاوية هطب مساوية لزاوية هطجـ فهما اذن قائمتان فخط بجـ قد وقع فى دائرة ابجـد وقد جاز عليه خط هط وقسمه بنصفين وعلى زوايا قائمة فبحسب برهان جـ من جـ فانّ على خط هز يكون مركز الدائرة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

وقال ايضا فان قال قائل انّ الخطين المتساويين يتقاطعان داخل دائرة اب جـد على علامة ه كخطى اجـ بد (المشترڪ) فانا نقول انّ المركز لا يخلو من ان يكون على تقاطع خطى اجـ بد المشترڪ لهما اعنى علامة ه او على غيرها فان وقع على علامة ه فهو اذن بين خطى اجـ بد وقد انحلّ المطلب وقد بيّنا انه لا يقع على احد خطى اب جـد فان قال قائل انا نفرض خطى اب جـد غير متقاطعين فى داخل دائرة ابجـد لكن متلاقيين على محيطها كخطى اب اد فانّا نبيّن ان مركز دائرة ابجـد بين

خطى اب اد ونخرج خط بد ونقسمه بنصفين على علامة ه ونخرج اه ونخرجه الى محيط الدائرة الى نقطة ح فاقول ان مركز الدائرة على خط اجـ برهانه ان مثلث ابد متساوى الساقين فبحسب برهان ه من ا تكون زاوية ابد مساوية لزاوية ادب وكنّا فرضنا خط اب مثل خط اد وفصلنا به مثل هد فضلعا اد ده مثل ضلعى اب به وزاوية ب مثل زاوية د فمثلث اهد مثل مثلث ابه وزاوية اهب مثل زاوية اهد فقد جاز خط اجـ على خط بد وقسمه بنصفين على نقطة ه وعلى زوايا قائمة فبحسب برهان جـ من جـ فانّه على خط اجـ يكون مركز الدائرة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الرابع عشر من المقالة الثالثة

الخطوط المستقيمة الواقعة فى دائرة اعظمها قطر الدائرة والباقية فما كان منها اقرب الى المركز فهو اعظم ممّا بعد عنه مثاله انّ دائرة اب وقع فيها خطوط جـد هز حط وخط جـد قطر الدائرة وخط هز اقرب الى المركز من خط حط فاقول ان اعظمها خط جـد وخط هز اعظم من خط حط برهانه انا ننزل انّ المركز نقطة ڪ ونخرج منها الى خطى هز حط عمودى ڪل ڪم كما بيّنا اخراجهما ببرهان يب من ا فمن اجل انّ خط هز اقرب الى المركز من خط حط فان عمود ڪم اعظم من عمود ڪل فنفصل من خط ڪم مثل خط ڪل كما بيّن ببرهان ب من ا وليكن خط ڪن ونجيز على نقطة ن خط سنع موازياً لخط طح كما بيّن ببرهان لا من ا فخط ڪن عمود على خط سع واذا كانت ابعاد الخطوط من المركز متساويةً

فانّ الاعمدة التى تخرج الى الخطوط من المركز تكون متساوية واذا كانت الاعمدة متساوية فان الخطوط متساوية فخط هز مساو لخط سع ونخرج خطوط ڪس ڪع ڪح ڪط فمن اجل ان كل مثلث فان كل ضلعين من اضلاعه مجموعين كخط واحد اعظم من الضلع الثالث وذلك بيّن ببرهان كـ من ا [فـ]ضلعا ڪس ڪع مجموعين كخط واحد اعظم من خط سع لكن خط ڪس مساو لخط ڪجـ وخط ڪع مساو لخط ڪد فخطا ڪس ڪع كخط واحد مساو لقطر الدائرة الذى هو خط جـد فخط جـد اذن اعظم من خط سع لكن خط سع مساو لخط هز فخط جـد الذى هو القطر اعظم من خط هز وايضا فمن اجل ان خطى ڪس ڪع مساويان لخطى ڪح ڪط لانهما خارجة من المركز الى المحيط وزاوية سڪع اعظم من زاوية حڪط فببرهان ڪد من ا تكون قاعدة سع اعظم من قاعدة حط لكن خط سع مساو لخط هز فخط هز الاقرب الى المركز اعظم من خط طح الابعد عنه وقد بيّنّا ان قطر الدائرة وهو جـد اعظم من خط هز فقد ظهر انه اذا وقع فى دائرة خطوط مستقيمة فاعظمها قطر الدائرة والباقية فما قرب منهما من مركز الدائرة اعظم ممّا بعد عنه وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الخامس عشر من المقالة الثالثة

كل دائرة يخرج من طرف قطرها خط مستقيم على زاوية قائمة فانه يقع خارج الدائرة ولا يقع بينه وبين الخط المحيط

بالدائرة خط اخر مستقيم وكل خط هذه حاله فهو مماسّ للدائرة وتكون الزاوية التى يحيط بها ذلك الخط والخط المحيط اصغر من كلّ زاوية حادّة والتى تليها من داخل الدائرة التى تحيط بها القطر والخط المحيط اعظم من كل زاوية حادّة مثاله ان دائرة اجد قطرها جـد وقد خرج من نقطة د التى هى طرف القطر خط على زاوية قائمة وهو خط دز فاقول انه يقع خارج الدائرة لا يمكن غير ذلك فان امكن ان يقع فى داخل الدائرة فليكن مثل خط دا ونخرج خط ها فمثلث اهد متساوى السّاقين لان خط ها مثل خط هد لانهما خرجا من المركز الى المحيط فببرهان ه من ا تكون زاوية هاد مساوية لزاوية هدا لكن زاوية هدا فرضناها قائمة فزاوية هاد اذن قائمة فمثلث هاد فيه زاويتان قائمتان وذلك غير ممكن لانه قد تبيّن ببرهان يز من ا ان كل زاويتين من زوايا كل مثلث اذا جمعتا اصغر من قائمتين فقد تبيّن ان الخط القائم على نقطة د على زاوية قائمة يقع خارج الدائرة فليقع مثل خط دز واقول ايضا انه لا يقع بينه وبين قوس جـاد خط اخر فان امكن فليقع مثل خط دح فمن اجل ان زاوية هدز قائمة فانّ زاوية هدح اصغر من قائمة فقد يمكن اذن ان يخرج الى خط دح من نقطة ه خط قائم عليه على زوايا قائمة فلنخرج خط هط فمن اجل ان زاوية هطد اعظم من زاوية هدط والزاوية

العظمى يوتّرها الضلع الاعظم وذلك بحسب برهان يط من ا يكون خط هد اعظم من خط هط لكن خط هد مساو لخط هڪ لانّهما خرجا من المركز الى المحيط فخط هڪ اذن اعظم من خط هط الاصغر اعظم من الاعظم هذا خلف فقد ظهر انه لا يقع بين خط دز وبين قوس دا خط اخر مستقيم وايضا فاقول ان زاوية ڪدز الخارجة اصغر من كل زاوية حادّة وان زاوية هدڪ الداخلة اعظم من كل زاوية حادّة برهانه ان لو كانت زاوية [ڪ]دز الخارجة مثل زاوية حادّة او اعظم من حادّة لكان يقع بين قوس اڪد وبين خط دز خط اخر مستقيم فمن اجل ما قد تبيّن انه لا يمكن ان يقع بينهما خط اخر مستقيم صارت اصغر من كل زاوية حادّة وصارت زاوية نصف الدائرة التى تحيط بها قوس جـاد وقطر جـهد اعظم من كل زاوية حادّة

وعندها يتبيّن ان كل خط مستقيم يخرج من طرف قطر الدائرة على زاوية قائمة فانه مماسّ للدائرة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

قال النريزى اراد الرياضى ان الزاوية التى تحيط بها قوس جـاد وعمود دز اصغر من كل زاوية حادّة لانها غير منقسمة فلو كانت منقسمةً لوقع بين قوس جـاد وبين خط دز خط اخر مستقيم اذ كان قسمة الزوايا انما تكون بالخطوط المستقيمة التى تفصلها فلمّا لم تنفصل زاوية ڪدز لم تكن بزاوية حادّة لانّ الزوايا الحادّة كلها تنقسم فسمّاها باسم اضطرّه الامر اليه

بسبب الزاوية الاخرى الداخلة وذلك انّ زاوية هدز لمّا كانت قائمة ووقع بين خط جـد وعمود دز قوس جـا وفصلت زاوية ڪدز لا مقدار لها بقيت الزاوية الداخلة التى يحيط بها قطر جـد وقوس جـاد اعظم من كل زاوية حادّة لان الحادّة هى التى تنقص عن الزاوية القائمة بزاوية ما اخرى حادّة فمن اجل ان هذه الزاوية الداخلة لم تنقص عن الزاوية القائمة التى هى زاوية حادّة بزاوية لها مقدار نسب الرياضى الزاوية الداخلة الى انها اعظم من كل زاوية حادّة ومن اجل انّ الزاوية الخارجة لا يمكن ان تنقسم بخط مستقيم فانّ كل خط حاله هذه الحال فهو مماسّ للدائرة.

الشكل السادس عشر من المقالة الثالثة

نريد ان نبيّن كيف نخرج من نقطة مفروضة خطا مستقيما يماسّ دائرةً مفروضةً فننزل ان النقطة المفروضة نقطة ا والدائرة المفروضة دائرة بجـ فنستخرج مركز الدائرة وليكن نقطة د ونصل بين نقطتى د ا بخط دا يقطع الدائرة على نقطة ز ونجعل نقطة د مركزاً ونخط ببعد دا دائرة اه ونقيم على نقطة ز من خط اد خطاً يكون عموداً عليه ونخرجه الى ان يلقى دائرة اه كما بيّنا

اخراجه ببرهان يا من ا وليكن خط زح فمن البيّن بحسب برهان يه من جـ ان خط زح يقع خارج دائرة بجـ وهو مماسّ للدائرة ونصل بين نقطتى دح بخط دح يقطع دائرة بجـ على نقطة ط ونصل نقطتى ا ط بخط اط فلان خط دا مساو لخط دح لانهما خرجا من المركز الى المحيط وخط دز مثل خط دط فان خطى اد دط مساويان لخطى حد دز كل ضلع مساو لنظيره وزاوية ادط مشتركة للمثلثين فان بحسب برهان د من ا تكون قاعدة اط مساويةً لقاعدة حز ومثلث ادط مساوياً لمثلث حدز وسائر الزوايا مثل سائر الزوايا زاوية اطد مساوية لزاوية حزد لكن زاوية حزد قائمة فزاوية دطا اذن قائمة فقد خرج من نقطة ط التى هى طرف قطر دائرة بجـ خط طا على زاوية قائمة وقد تبيّن ببرهان يه من جـ ان الخط الخارج من طرف قطر الدائرة على زاوية قائمة يماسّ الدائرة فخط اط اذن مماسّ للدائرة فقد خرج من نقطة ا المفروضة الى دائرة بجـ المفروضة خط اط يماسّ الدائرة وذلك ما اردنا ان نبيّن

قال ايرن ان كانت النقطة المفروضة داخل الدائرة لم يمكن ان يخرج منها خط يماسّ الدائرة لان الخط يقطع الدائرة وان كانت على الخط المحيط اخرج قطر الدائرة من النقطة المفروضة ثم يقام على تلك النقطة عمود فيكون ذلك العمود هو الخط المماسّ للدائرة. وان اردنا ان نخرج خطين من نقطة ا الى محيط دائرة بجـ يماسّانها فانا نخرج خط حز على الاستقامة الى نقطة ڪ ونصل بين نقطتى دڪ بخط دڪ يقطع الدائرة على نقطة ل ونصل خط ال فبيّن بحسب ما برهن الرياضى ان خط ال

ايضا مماسّ للدائرة وهو مساو لخط اط فقد تبيّن ايضا ان كل نقطة مفروضة يخرج منها خطان يماسّان دائرةً مفروضةً فان الخطين متساويان وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل السابع عشر من المقالة الثالثة

كل دائرة ماسّها خط مستقيم ويخرج من النقطة التى عليها المماسّة خط مستقيم الى مركز الدائرة فانّ الخط المخرج عمود على الخط المماسّ فلننزل ان خط جـد يماسّ دائرة اب على نقطة ب ومركز الدائرة علامة ه فاقول ان خط به عمود على خط جـد لا يمكن غيره فان امكن فلنخرج من نقطة ه التى هى المركز عموداً على خط جـد وليكن عمود هز فمن اجل ان زاوية هزب قائمة فان زاوية هبز اصغر من قائمة لان كل زاويتين من زوايا المثلث اصغر من زاويتين قائمتين وذلك بيّن ببرهان يز من ا ومن اجل ان الزاوية العظمى وترها الضلع الاطول بحسب ما بيّن ببرهان يط من ا يكون ضلع به اعظم من ضلع هز ونقطة ز خارج الدائرة فخط هز اعظم من خط هب فيكون خط هب الاصغر اعظم من خط هز الاعظم هذا خلف فليس يمكن اذن ان يكون خط هز عموداً على خط جـد ولا غيره من الخطوط سوى الخط الذى يصل بين موضع التماسّ وبين المركز مثل هب وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثامن عشر من المقالة الثالثة

كل خط يماسّ دائرةً ويخرج من حيث يماسّها خط على زاوية [قائمة] يقطع الدائرة فان عليه يكون مركز الدائرة مثاله ان

خط جـد يماسّ دائرة اب على نقطة ب وقد خرج من نقطة ب خط با عموداً على خط جـد يقطع الدائرة فاقول انّ مركز الدائرة على خط اب لا يمكن غيره فان امكن فلننزل ان المركز نقطة ه ونصل هب فمن اجل ان خط جـد يماسّ دائرة اب وقد خرج من النقطة التى عليها المماسّة خط مستقيم الى المركز وهو خط به فان خط به عمود على خط جـد ٰوذلك ببرهان ١٧ من ٣ فزاوية هبجـ قائمة وقد كنّا فرضنا زاوية ابجـ قائمةً فزاوية ابجـ مساوية لزاوية هبجـ الاعظم مساو للاصغر هذا خلف فليس يمكن ان تكون نقطة ه مركزاً لدائرة اب ولا غيرها من النقط التى ليست على خط اب فمركز الدائرة اذن على خط اب وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل التاسع عشر من المقالة الثالثة

الزاوية التى على مركز كل دائرة ضعف الزاوية التى على المحيط اذا كانت قاعدتاهما قوساً واحدة مثاله انّ دائرة ابجـ على مركزها زاوية بدجـ وعلى محيطها زاوية باجـ وقاعدتهما قوس واحد وهى قوس بجـ فاقول ان زاوية بدجـ ضعف زاوية ٮاجـ برهانه انا نخرج خط اد ونخرجه الى علامة ه فمن اجل انّ مركز الدائرة نقطة ط وقد خرج منها خطا دا دب فهما متساويان فبحسب برهان ه من ا تكون زاوية داب مساوية لزاوية دبا ولانّ زاوية بده خارج مثلث ابد ومجموع زاويتى داب دبا ضعف زاوية داب فانّه بحسب برهان لب من ا تكون زاوية بده مثل زاويتى داب دبا فزاوية بده مثل

ضعف زاوية باد وبمثل هذا الاستشهاد يتبيّن ان زاوية جـده ضعف زاوية باد وبمثل هذا الاستشهاد يتبيّن ان زاوية جـده مثل ضعف زاوية جـاد فجميع زاوية بدجـ ضعف جميع زاوية باجـ فقد ظهر انّ الزاوية التى على مركز كل دائرة ضعف الزاوية التى على محيطها اذا كانت قاعدتهما قوساً واحدة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

قال ايرن فان كان وضع الزاوية التى على المحيط مثل [وضع] زاوية جـاب وخط اد يتصل بخط دب على استقامة فظاهر ان زاوية جـدب ضعف زاوية جـاب. وان كان وضع الزاوية التى على المحيط مثل وضع زاوية جـدب على ان تقاطع خط جـد خط هب فانّا نخرج خط دهز فمن اجل انّ خط هد مساو لخط هب فانّ زاوية هدب مساوية لزاوية هبد فزاوية بهز التى هى خارج مثلث هبد ضعف زاوية هدب وايضا فانّ خط هد مساو لخط هجـ فزاوية هدجـ مساوية لزاوية هجـد فزاوية زهجـ ضعف زاوية هدجـ فاذا اسقطناهما بقيت زاوية بهجـ ضعف زاوية بدجـ وذلك ما اردنا ان نبيّن.

وقال ايرن ايضاً امّا الشكل فقد تبيّن بكل وضع وبرهن على كل عمل وقد يبقى علينا ان نضع المقدّمة المقولة له ونبرهنه برهاناً عامّا لانّه ان لم يبرهن على ما سنبرهنه لم يمكنّا ان نبرهن الشكل الذى بعده على كل وضع لكن على ما وضعه الرياضى فقط وذلك منكر لانّه قد يجب اضطراراً ان تصيّر المقدمة عامّةً وان يبرهن على كل وضع وان تحلّ عناد المعاندين ليلا يكون شى فى المساحة غير مبرهن واذا وضعنا هذه المقدّمة وبيّنا الشكل كان جميع ما فى الشكل بيّناً واضحاً ولا يبقى للمعاندين موضع

عناد فيه اعنى فى الشكل الذى بعد هذا وهو الشكل العشرون والمقدمة التى يجب تقديمها والشكل الموضوع لها هو هذا الزاوية التى على مركز كل دائرة هى ضعف الزاوية التى على محيطها اذا كانت قاعدقهما جميعاً قوساً واحدةً والزوايا الباقية التى على المركز وهى تتمّة الاربع القوائم ضعف الزاوية التى على المحيط فى القوس التى توتّر الزاوية التى على المركز فلتكن الزاوية التى على المركز زاوية جهب والتى على المحيط زاوية جـاب ونخرج خطى به جه على استقامتهما الى محيط الدائرة الى نقطتى حز ونخرج خطى جط طب وخط طه فاقول ان كل الزوايا التى تقع فى قوس باجـ حيث كان وقوعها وقاعدة جميعها قوس بطجـ فان زاوية جهب ضعف لكل واحدة منها وان مجموع زوايا بهز زهح حهجـ ضعف زاوية بطجـ وضعف لكل واحدة من الزوايا التى تقع فى قوس بطجـ . برهانه انّ نقطة ه مركز الدائرة فخط هب مثل خط هط فزاوية هبط مساوية لزاوية هطب فزاوية حهط اذن الخارجة ضعف زاوية هطب وايضا خط هط مثل خط هڃـ فزاوية هطجـ مثل زاوية هجـط فزاوية زهط ضعف زاوية هطجـ فمجموع زاويتى حهط زهط ضعف زاوية بطجـ لكن زاوية جـهب مساوية لزاوية حهز وذلك بيّن ببرهان يه من ا فاذا اسقطنا زاوية جـهب واخذنا بدلها زاوية حهز بقيت زاويتا حهجـ زهب مع زاوية حهز ضعف زاوية جـطب وظاهر انّ زاوية بطجـ حيث فرضناها من قوس بطجـ فانّ زوايا جـهح حهز زهب الثلث اذا

جمعت مساوية لضعف زاوية بط[جـ فـ]ـكل الزوايا التى تقع اذن فى قطعة قوس بطجـ متساوية وايضا فمن اجل ان زاوية باجـ عملت كيف وقعت وقد تبيّن ان الزاوية التى على المركز ضعفها وهى زاوية بهجـ فانّ كل الزوايا التى فى القطعة الواحدة اعنى المرسومة فى قوس اجـ متساوية لانه قد تبيّن انّ زاوية بهجـ ضعف كل واحدة منها وايضا فمن اجل ان زاوية بطجـ فى قطعة بطجـ وقد ظهر ان زوايا بهز زهح حهجـ اذا جمعت ضعفها فان الزوايا كلها التى ترسم فى قطعة بطجـ متساوية لا نّ كل واحدة منها نصف الزوايا المذكورة اذا جمعت فقد تبيّن انّ كل الزوايا التى تقع فى قطعة واحدة متساوية وهذا الذى كنّا اردنا ان نبيّنه كلّياً ولذلك جعلنا هذا الشكل ليتبيّن ما قاله الرياضىّ بيانا كلّيا واذا قد تبين هذا فانّ الشكل الذى بعده يتبرهن معه وذلك بان نقول من اجل انّ زوايا بهز زهح حهجـ اذا جمعت مساوية لضعف زاوية بطجـ وزاوية بهجـ ضعف زاوية باجـ فمجموع الاربع الزوايا اعنى زوايا بهجـ بهز زهح حهجـ مساوية لضعف زاويتى بطجـ باجـ لكن الاربع الزوايا معادلات لاربع زوايا قائمة وذلك بيّن ببرهان يه من ا فمجموع زوايتى بطجـ باجـ اذن مثل مجموع زاويتين قائمتين فاذن السطوح ذوات الاربعة الاضلاع التى فى كل دائرة فانّ كلّ زاويتين تتقابلان مساويتان لزاويتين قائمتين.

قال النريزى

هذا البرهان والذى قبله ثلثة اشكال الشكل التاسع عشر والعشرون والواحد والعشرون.

الشكل العشرون من المقالة الثالثة

الزوايا التى فى قطعة واحدة من دائرة فهى متساوية اذا كان يوتّرها قوس واحدة مثاله ان دائرة ابجـد فى قطعة منها وهى قطعة جـابد زاويتى جـاد جـبد على قاعدة واحدة وهى قوس جـد فاقول انهما متساويتان برهانه انا نستخرج مركز الدائرة وليكن نقطة ه ونخرج خطى هجـ هد فبحسب برهان يط من جـ فان زاوية جهد ضعف لكل واحدة من زاويتى جـاد جـبد والاشياء التى هى نصف لشى واحد فانّ الاشياء متساوية فزاوية جـاد اذن مساوية لزاويةجـبد وذلك ما اردنا ان نبين.

قال ايرن وقد يمكن ان نبرهن هذا الشكل برهانا عامّا بالشكل الذى قدّمناه

الشكل الواحد والعشرون من المقالة الثالثة

كل دائرة يقع فيها سطح ذو اربعة اضلاع فكل زاويتين تتقابلان منه فهما مساويتان لزاويتين قائمتين مثاله انّ فى دائرة ابجـد سطح ابجـد فاقول ان كل زاويتين تتقابلان منه فهما مساويتان لزاويتين قائمتين برهانه انا نخرج خطى اجـ دب فمن اجل انّ زاويتى باجـ بدجـ فى قطعة واحدة وهى قطعة بادجـ وعلى قوس واحدة وهى قوس بجـ فببرهان ڪ من جـ تكون زاوية باجـ مساويةً لزاوية بدجـ وايضاً فان زاويتى ادب اجـب فى قطعة واحدة

وعلى قوس واحدة فزاويتا ادب اجـب متساويتان فمجموع زاويتى باجـ اجـب مثل زاوية ادجـ وناخذ زاوية ابجـ مشتركةً فزوايا باجـ بجـا ابجـ مساوية لزاويتى ابجـ ادجـ وبحسب برهان لب من ا تكون زوايا باجـ اجـب ابجـ مساوية لزاويتين قائمتين فزاويتا ادجـ ابجـ المتقابلتان اذن مساويتان لزاويتين قائمتين وعلى هذا المثال يتبيّن ان مجموع زاويتى باد بجـد مساو لزاويتين قائمتين فكل سطح ذو اربعة اضلاع يقع فى دائرة فان كل زاويتين من زوايا متقابلتين تساويان زاويتين قائمتين وذلك ما اردنا ان نبيّن

قال ايرن وهذا الشكل يتبرهن ايضا بالشكل الذى قدّمناه.

الشكل الثانى والعشرون من المقالة الثالثة

لا يمكن ان يقوم على خط واحد مستقيم قطعتان متشابهتان من دائرتين احد هما اعظم من الاخرى فان امكن ان تقوم فلننزل انهما قطعتا اجـب ادب والعظمى منهما قطعة ادب ونخرج خط اجـ وننفذه على الاستقامة الى نقطة د ونخرج خطى بجـ بد فمن اجل ان قطعة اجـب تشبه قطعة ادب فانّ زاوية اجـب مساوية لزاوية ادب لان القسىّ المتشابهة تقبل زوايا متساوية ولان زاوية اجـب خارج مثلث جـبد فبحسب برهان ١٩ من ا تكون زاوية اجـب اعظم من زاوية ادب فزاوية اجـب مساوية لزاوية ادب وهى ايضا اعظم منها هذا خلف غير ممكن فليس يقوم اذن على خط واحد

قطعتان متشابهتان من دائرتين احدهما اعظم من الاخرى وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثالث والعشرون من المقالة الثالثة

قطع الدوائر المتشابهة اذا كانت على خطوط مستقيمة متساوية فانها متساوية مثاله ان قطعتى ابجـ دهز متشابهتان وهما على خطى اجـ دز المتساويين فاقول ان القطعتين متساويتان برهانه انا اذا ركبنا قطعة اٮجـ على قطعة دهز نركّب خط اجـ على خط دز ولم يفضل احدهما على الاخر لانّهما متساويان وتركبت قطعة ابجـ على قطعة دهز ولم تفضل ايضا احدهما على الاخرى لانهما متشابهتان فان فضلت وقعت قوس ابجـ خارج قوس دهز او داخلها فلننزل انّها وقعت اوّلا خارجاً كقوس دحز فقطعة دحز تشبه قطعة دهز وقد تبيّن ببرهان ڪب من جـ انه لا يمكن ان يقوم على خط واحد مستقيم قطعتان متشابهتان من دائرتين احدهما اعظم من الاخرى فقطعة دحز اعظم من قطعة دهز وهى شبيهة بها هذا

خلف غير ممكن فقطعة ابجـ اذن مساوية لقطعة دهز و كذلك يتبين لو وقعت قوس دحز داخل قوس دهز فالقطوع المتشابهة اذا كانت على خطوط مستقيمة متساوية فان القطوع متساوية وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الرابع والعشرون من المقالة الثالثة

اذا كانت قطعة من دائرة معلومةً فاردنا ان نبيّن كيف نتمّ الدائرة التى القطعة منها نصف دائرة كانت او اعظم او اصغر فانا ننزل اوّلا انّ القطعة المفروضة التى عليها ابجـ نصف دائرة ونبيّن كيف نتمّ دائرتها فلتكن القطعة على ما فى الصورة الاولى فمن اجل انّ قطعة باجـ نصف دائرة فانّ خط جـدب قطر الدائرة التى قطعة باجـ نصفها فمن الظاهر ان مركز الدائرة على منصّف خط بجـ اذا كانت الخطوط التى تخرج من المركز الى المحيط متساويةً فنقسم خط جـب بنصفين على نقطة د كما بيّن ببرهان يـ من ا فعلى مركز د وببعد دجـ ودب نتمّ دائرة ابجـ . ثمّ ننزل انّ القطعة التى عليها باجـ من الصورة الثانية اعظم من نصف دائرة ونبيّن كيف نتمّ دائرتها فنقسم خط بجـ بنصفين كما بيّن ببرهان يـ من ا على نقطة د ونخرج من نقطة د خط دا عموداً على خط بجـ كما بيّن ببرهان يـا من ا فمن اجل انّ قطعة باجـ اعظم من نصف دائرة فانّ مركز الدائرة اذن يقع فيها ومن اجل انّ خط بجـ فى دائرة باجـ وقد قسم على نقطة د بنصفين واخرج عمود

دا فظاهر بحسب برهان ٣ من ٣ انّ مركز الدائرة على خط دا فلان خط دا يمرّ بالمركز فهو اطول الخطوط كلّها التى تخرج من نقطة د الى محيط قطعة باجـ وذلك بيّن ببرهان ز من جـ فخط دا اعظم من خط دب ونخرج خط با فبحسب برهان يح من ا فان زاوية ابد اعظم من زاوية باد فنعمل على نقطة ب من خط اب زاويةً مثل زاوية باد كما بيّن عمله ببرهان كجـ من ا ولتكن زاوية ابه ونخرج خطى به جه فمن اجل ان زاوية باه مساوية لزاوية ابه فان بحسب برهان و من ا يكون ضلع اه مساويا لضلع به ومن اجل انّ زاوية بده مساوية لزاوية جـده و خط بد مثل خط دجـ فاذا اخذنا ده مشتركاً يكون خطا بد ده مساويين لخطى جـد ده والزاويتان اللتان عند د متساويتان فبحسب برهان د من ا يكون خط به مساويا لخط جه وقد بيّنا انّ نخطّ اه مثل خط هب فنقطة ه فى قطعة دائرة باجـ وقد خرج منها اكثر من خطين وصارت متساويةً فبحسب برهان ط من جـ تكون نقطة ه مركزاً لدائرة باجـ فعلى نقطة ه وببعد ها نتمّ الدائرة. ثمّ ننزل ان القطعة على ما فى الصورة الثالثة اصغر من نصف دائرة وهى قطعة باجـ ونقسم خط بجـ بنصفين على نقطة د ونقيم على نقطة د عمود دا وننفذه الى قوس باجـ فمن اجل ان خط بجـ وتر لقوس باجـ وقد قسم بنصفين على نقطة د واخرج عمود دا فظاهر ببرهان جـ من جـ ان خط اد تمام القطر وبحسب برهان ز من

جـ فان خط دا اصغر من خط دب فنخرج خط اب فبحسب برهان يح من ا فان زاوية باد اعظم من زاوية ابد فنعمل على نقطة ب من خط اب زاويةً مساويةً لزاوية باد ولتكن زاوية ابه ونخرج خط اد يلقى خط به على نقطة ه ونخرج خط هجـ فلان زاوية ا مساوية لزاوية ب فان خط ها مساو لخط هب وبمثل ما بيّنا نبيّن ان خط هجـ مساو لخط هب فالخظوط الثلثة متساوية هجـ(ه)هب ها فعلى نقطة ه وببعد ها نتمّ الدائرة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

هذا الشكل اخّره ايرن وجعله الشكل الواحد والثلثين لانه قصد للبرهان عليه فى صورة واحدة.

الشكل الخامس والعشرون من المقالة الثالثة

الزوايا المتساوية التى فى الدوائر المتساوية فانها على قسى متساوية على المحيطات كانت او على المراكز مثاله ان دائرتى ابجـ دهز متساويتان ومركزاهما نقطتا حط وعليهما زاويتا ٮحجـ هطز فاقول ان قوس بجـ مساوية لقوس هز برهانه انا نفرض على قوسى باجـ هدز نقطتين كيف ما وقعتا فننرل انّهما نقطتا ا د ونحرج خطوط اب اجـ ده دز بجـ هز فمن اجل ان خطى بح حجـ مثل

خطى هط طز وزاوية بحجـ مساوية لزاوية هطز فبحسب برهان م من ا تكون قاعدة بجـ مثل قاعدة هز ومن اجل ان زاويتى ٮحجـ هطز على المركزين وزاويتى باجـ هدز على المحيطين فبحسب برهان يط من جـ تكون زاوية بحجـ ضعف زاوية باجـ وزاوية هطز ضعف زاوية هدز فزاوية باجـ اذن مساوية لزاوية هدز فقطعة باجـ تشبه قطعة هدز وهما من دائرتين متساويتين فمن اجل ان خطى بجـ هز متساويان وعليهما قطعتا باجـ هدز المتشابهتان فبحسب برهان كجـ من جـ تكون قطعة باجـ مساوية لقطعة هدز وفرضنا دائرة باجـ مساويةً لدائرة هدز واذا اسقطنا من المتساوية متساويةً فان الباقى يكون متساوياً فقوس بجـ مساوية لقوس هز فقد ظهر ان الزوايا المتساوية اذا كانت فى الدوائر المتساوية على المراكز كانت او على المحيطات فانها على قسىّ متساوية وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل السادس والعشرون من المقالة الثالثة

اذا كانت فى دوائر متساوية زوايا على قسى متساوية فالزوايا متساوية على المراكز كانت او على المحيطات مثاله ان دائرتى ابجـ دهز متساويتان وقوسى بجـ هز متساويتان والمركزان نقطتا طح وعليهما زاويتا بطجـ هحز توتّرهما قوسا بجـ هز المتساويتان فاقول ان زاوية بطجـ مساوية لزاوية هحز لا يمكن الا ذلك فان امكن فلتكن زاوية بطجـ اصغر من زاوية هحز ونعمل على نقطة ح من

خط هح زاوية هحڪ مساوية لزاوية بطجـ كما بيّن عملها ببرهان كجـ من ا فمن اجل انّ دائرتى ابجـ دهز متساويتان وعلى مركزيهما زاويتا بطجـ هحڪ المتساويتان فبحسب برهان ڪه من جـ تكون قوس بجـ مساويةً لقوس هڪ لكنا فرضنا قوس بجـ مساويةً لقوس هز فقوس هز اذن مساوية لقوس هڪ العظمى مثل الصغرى هذا خلف غير ممكن فليست اذاً زاوية ٮطجـ باصغر من زاوية هحز ولا هى ايضا اعظم منها فهى اذن مثلها وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل السابع والعشرون من المقالة الثالثة

الاوتار المتساوية فى الدوائر المتساوية تفصل قيساً متساويةً والوتر الاعظم يفصل قوساً اعظم مثاله ان دائرتى ابجـ دهز متساويتان وفيهما وترا بجـ هز متساويان فاقول ان قوسى بجـ هز متساويتان برهانه انا نستخرج المركزين وليكونا نقطتى طح ونخرج منهما خطوط طب طجـ حه حز فمن اجل ان دائرتى باجـ هدز متساويتان فانّ خطى بط طجـ مساويان لخطى هح حز وخط بجـ فرض مساوياً لخط هز فبحسب برهان ح من ا تكون زاوية بطجـ مساويةً لزاوية هحز فمن اجل ان دائرتى ابجـ دهز متساويتان وعلى مركزيهما زاويتا بطجـ هحز المتساويتان فانه بحسب برهان كه من ٣ تكون قوس بجـ مساويةً لقوس هز واذا اسقط من الدوائر المتساوية قطع متساوية فان القطع الباقية تكون متساويةً فقوس باجـ ايضا مساوية

لقوس هدز فقد تبيّن ان الاوتار المتساوية فى الدوائر المتساوية تفصل قسياً متساوية وذلك ما اردنا ان نبيّن

الشكل الثامن والعشرون من المقالة الثالثة

القسى المتساوية من الدوائر المتساوية تفصلها اوتار متساوية مثاله ان دائرتى ابجـ دهز متساويتان ونفصل منهما قوسى بجـ هز متساويتين فاقول ان وتريهما متساويان برهانه انا نستخرج مركزى الدائرتين وليكونا نقطتى طح ونخرج خطوط طب طجـ حه حز ووترى بجـ هز فمن اجل انّ دائرتى ابجـ دهز متساويتان وقد فصل منهما قوسا بجـ هز المتساويتان فبحسب برهان كـو من جـ تكون زاوية بطجـ مساوية لزاوية هحز وايضا فمن اجل ان دائرتى ابجـ دهز متساويتان وقد خرج من المركزين الى المحيط خطوط فهى اذن متساوية فخطا طب طجـ مساويان لخطى حه هز وزاوية ط مساوية لزاوية ح فبحسب برهان ڪ من ا تكون قاعدة بجـ مساوية لقاعدة هز فقد تبيّن ان القسى المتساوية من الدوائر المتساوية تفصلها اوتار متساوية وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل التاسع والعشرون من المقالة الثالثة

نريد ان نبيّن كيف نقسم قوساً مفروضةً بنصفين فننزل انها قوس باجـ فنخرج وترها وهو خط بجـ ونقسمه بنصفين على نقطة د ونقيم على نقطة د خطاً على زاوية قائمة وننفذه الى قوس باجـ

وليكن خط اد ونخرج خطى اب اجـ فمن اجل ان خط بد فصلناه مثل خط دجـ وناخذ خط دا مشتركاً فخطا بد دا مثل خطى جـد دا وزاوية بدا مساوية لزاوية جـدا فقاعدة اجـ مساوية لقاعدة اب ومن اجل ان الاوتار المتساوية من الدوائر المتساوية تفصل قسياً متساوية فبحسب برهان كز من جـ تكون قوس اب مساوية لقوس اجـ فقد قسمنا قوس باجـ بنصفين على نقطة ا وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثلثون من المقالة الثالثة

الزوايا المستقيمة الخطين التى تقع فى دائرة ما كان منها فى نصف دائرة فهو قائم وما كان منها فى قطعة اعظم من نصف دائرة فهو حادّة وما كان منها فى قطعة اصغر من نصف دائرة فهو منفرج وامّا الزاوية التى يحيط بها خط الوتر وخط القوس فان القطعة ان كانت اعظم من نصف دائرة فالزاوية منفرجة وان كانت اصغر من نصف دائرة فالزاوية حادّة مثاله ان دائرة اب وقع على خط محيطها زوايا ادب داب ازد وزاوية ادب فى قطعة ادب وهى نصف دائرة وزاوية داب فى قطعة داجـب وهى اعظم من نصف دائرة وزاوية ازد فى قطعة ازد وهى اصغر من نصف دائرة فاقول ان زاوية ازد منفرجة وزاوية داب حادّة وزاوية ادب قائمة برهانه انا نخرج قطر اب ونستخرج المركز وهو نقطة ط ونصل هد فمن اجل ان نقطة ه مركز للدائرة وقد خرج منها الى المحيط خطوط ها هب هد فهى اذن متساوية فمثلث هاد متساوى الساقين فببرهان ه من

ا تكون زاوية هاد مساوية لزاواية هدا فمن اجل ان زاوية دهب خارجة من المثلث فببرهان لب من ا تكون زاوية دهب مساوية لزاويتى هاد هدا فزاوية دهب اذن ضعف زاوية [ه]دا وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبيّن ان زاوية اهد ضعف زاوية هدب فمجموع زاويتى دها دهب ضعف جميع زاوية ادب ومن اجل انه اذا قام خط على خط فان الزاويتين اللتين عن جنبتيه امّا قائمتان وامّا مساويتان لقائمتين فببرهان يجـ من ا فان مجموع زاويتى دها دهب مساو لزاويتين قائمتين وهو ضعف زاوية ادب فزاوية ادب اذن قائمة. وايضا فمن اجل ان مثلث ادب فيه زاوية قائمة وهى زاوية ادب فببرهان يز من ا تكون زاوية داب حادةً وهى فى قطعة داجب التى هى اعظم من نصف دائرة. وايضا فان زاوية ابد حادّة لانها فى مثلث ابد القائم الزاوية ومن اجل ان سطح اٮدز ذو اربعة اضلاع فى دائرة اب فببرهان ڪا من جـ فانّ كل زاويتين منه تتقابلان مساويتان لزاويتين قائمتين وزاويتا ازد ابد متقابلتان فهما اذاً جميعاً مساويتان لزاويتين قائمتين وزاوية ابد منهما قد بيّنا انها حادّة فيبقى اذن زاوية ازد اعظم من زاوية قائمة فهى اذن منفرجة وهى فى قطعة ازد التى هى اصغر من نصف دائرة فقد تبيّن ان كل نصف دائرة فان الزاوية المستقيمة الخطين الواقعة على محيطها تكون قائمةً وكل قطعة هى اعظم من نصف دائرة فان الزاوية المستقيمة الخطين الواقعة فيها تكون حادّةً وكل قطعة هى اصغر من نصف دائرة فان الزاوية المستقيمة الخطين الواقعة على

محيطها تكون منفرجة وذلك ما اردنا ان نبيّن. وايضا اقول ان الزاوية التى يحيط بها قوس بد ووتر دا منفرجة وهى زاوية قطعة ازد برهانه انا نخرج خط بد على الاستقامة الى نقطة ح فلانّ زاوية ادب قائمة فانا متى رفعنا وتر بد كانت الزاوية التى يحيط بها قوس بد وخط اد اعظم من قائمة فهى اذن منفرجة ومن اجل انّ خط اد قائم على خط بح المستقيم وزاوية ادب قائمة فانّ زاوية ادح ايضاً تكون قائمةً وذلك بيّن ببرهان يجـ من ا فاذا اسقطنا الزاوية التى يحيط بها تقبيب زد وخط دح بقيت الزاوية التى يحيط بها قوس زد وخط اد حادّة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الواحد والثلثون من المقالة الثالثة

كل دائرة ماسّها خط مستقيم واخرج من نقطة المماسّة خط اخر مستقيم يقطع الدائرة على غير المركز فان الزاويتين اللتين تقعان عن جنبتيه مساويتان للزاويتين اللتين تقعان فى قطعتى الدائرة المتبادلتين مثاله ان دائرة اب يماسها خط ده على نقطة ب وقد خرج من نقطة ب خط بز يقطع الدائرة على غير المركز فاقول انّ زاويتى زبد زبه مساويتان للزاويتين اللتين تقعان فى قطعتى زاجب زطب اما زاوية زبد فهى مساوية للزاوية التى تقع فى قطعة زاجب واما زاوية زبه فمساوية للزاوية التى تقع فى قطعة بطز برهانه انّا نعلم على قوس زب علامةً اين وقعت منها فننزل انها

علامة ط ونخرج خطى طز طب ونستخرج مركز الدائرة فننزل انها نقطة ح ونخرج خط بحا فظاهر ببرهان يز من جـ ان خط احب قائم على خط ده على زوايا قائمة على نقطة ب فزاوية ابه قائمة ومن اجل ان قطعة ازب نصف دائرة فببرهان ل من جـ تكون زاوية ازب قائمة فاذا اخذنا زاوية ابز مشتركة كان مجموع زاويتى ازب ابز مساوياً لجميع زاوية زبه لكن مجموع زاويتى زبه زبد مساو لزاويتين قائمتين ولكن مجموع زوايا المثلث الثلث اعنى زوايا ابز ازب زاب مساو لزاويتين قائمتين فهى اذن مجموعةً مثل زاويتى زبد زبه فاذا اسقطنا زاوية زبه بزاويتى ازب زبا بقيت زاوية زبد مساوية لزاوية زاب وهى فى قطعة زاجب ومن اجل ان سطح ازطب ذو اربعة اضلاع فى دائرة اب فانّ كل زاويتين منه تتقابلان مساويتان لزاويتين قائمتين فزاويتا زاب زطب اذن مساويتان لزاويتين قائمتين فهما اذن مساويتان لزاويتى زبد زبه وقد بيّنا انّ زاوية زاب مساوية لزاوية زبد فتبقى زاوية زطب مساوية لزاوية زبه وهى فى قطعة بطز فقد تبيّن ان الزاويتين اللتين عن جنبتى خط زب مساويتان للزاويتين اللتين تقعان فى قطعتى الدائرة المتبادلتين وذلك ما اردنا ان نبيّن

فان كان خط زب قطر الدائرة فمن البيّن ان كل واحد من الزاويتين اللتين عن جنبتيه قائمة ومساوية لكلّ واحدة من الزاويتين اللتين تقعان فى نصف الدائرة.

شكل لايرن اذا كانت قطعة من دائرة معلومة نريد ان نبيّن كيف نتمّ الدائرة التى القطعة منها فلتكن القطعة التى عليها ابجـد ونقسم قوس ابجـ بنصفين

على نقطة ب ونخرج من نقطة ب الى وتر اجـ عمود بد ونخرج وتر بجـ ونعمل على نقطة جـ من خط بجـ زاوية مساويةً لزاوية دبجـ فان كانت الزاوية المعمولة المساوية لزاوية دبجـ تقع مثل زاوية بجـد وظاهر انّ مركز الدائرة على نقطة د وان قطعة ابجـ نصف دائرة وان كانت الزاوية المعمولة على نقطة جـ المساوية لزاوية دبجـ تقع خارج قطعة ابجـ كزاوية بجـه فانّ مركز الدائرة يقع خارج قطعة ابجـ كنقطة ه فتكون القطعة اصغر من نصف دائرة وان كانت الزاوية المعمولة على نقطة جـ المساوية لزاوية دبجـ تقع داخل قطعة ابجـ كزاوية بجـز فان مركز الدائرة يقع داخل قطعة ابجـ على نقطة ز فيظهر لنا ان القطعة المفروضة اعظم من نصف دائرة فاذن قد تبيّن كيف نتمّ القطعة المفروضة اين وقع المركز على اجـ او داخله او خارجه وذلك ما اردنا ان نبيّن.

قال المفسّر قسم قوس اجـ بنصفين ليظهر انّ وتر قوس اب مساو لوتر قوس بجـ لانه لو قسم خط اجـ بنصفين لكان يقتضى الشكل التاسع والعشرين وهو كيف نقسم قوساً معلومةً بنصفين وما كان يظهر له ان وتر قوس اب مساو لوتر قوس بجـ الّا بعد قسمته قوس ابجـ بنصفين فبالواجب جعل هذا الشكل بعد ذلك الشكل وانما اراد ان يبيّن انّ الزاوية التى عند ا مساوية للزاوية التى عند جـ اذا

كانت الزاوية المعمولة على نقطة جـ تقع كزاوية بجـد ليتبيّن ان خطوط دب دجـ دا متساوية لتكون النقطة مركزا للدّائرة وايضا ليتبيّن له ان خط اد مثل خط دجـ ليتبيّن ان مركز الدائرة على خط بد او على الذى على استقامته.

الشكل الثانى والثلثون من المقالة الثالثة

نريد ان نبيّن كيف نقيم على خط مستقيم معلوم قطعةً من دائرة تقبل زاوية مثل زاوية معلومة اىّ زاوية كانت قائمةً او منفرجةً او حادّةً مثاله ان خط اب الخط المعلوم والزاوية المعلومة القائمة زاوية جـده والمنفرجة زاوية حطڪ والحادّة زاوية نسع فنريد ان نبيّن كيف نقيم [على] خط اب قطعةً من دائرة تقبل زاويةً مساويةً لزاوية جـده ثم قطعةً تقبل زاويةً مساوية لزاوية حطڪ ثمّ قطعةً تقبل زاويةً مساويةً لزاوية نسع فنرسم خط اب فى ثلثة مواضع ونبتدى برسم الصورة الاولى فنقسم خط اب بنصفين على نقطة ز ونرسم على نقطة ز وببعد زا وزب دائرة اب فمن اجل انّ مركز دائرة اب على خط اب فان خط اب قطر لدائرة اب والقطر يقسم الدائرة بنصفين كما بيّن سنبليقيوس فى مصادرة المقالة الاولى فكل واحدة من القطعتين اللتين على خط اب نصف دائرة وقد تبيّن ببرهان ل من جـ ان القطعة التى هى نصف دائرة تقبل زاويةً قائمةً فنصف الدائرة الذى على خط اب يقبل [زاوية] مثل زاوية جـده القائمة ونتلو

بالصورة الثانية فنعمل على نقطة ا من خط اب الثانى زاويةً مساويةً لزاوية حطڪ المنفرجة كما بيّن عمله ببرهان كجـ من ا ولتكن زاوية بال ونقيم على نقطة ا من خط ال خط ام عموداً عليه فظاهر انّ زاوية لام قائمة وزاوية ماب حادّة ثم نعمل على نقطة ب من خط اب زاوية ابم مساويةً لزاوية بام فمن اجل ان مثلث امب زاويتاه اللتان فوق القاعدة متساويتان فانّه بحسب برهان و من ا يكون خط ما مساوياً لخط مب فاذن الدائرة المخطوطة على مركز م وببعد ما تجوز على نقطتى اب ولا يقطع من خط ال ولا الخط الذى على استقامته شيّا لانها متى قطعت منه شياً كان الخط المستقيم القائم على طرف قطر ما على زوايا قائمة يقع داخل الدائرة وقد بيّن ببرهان يه من جـ انه يقع خارج الدائرة وانه مماس للدائرة فخط ال اذن مماسّ للدائرة ومن اجل ان خط ال يماسّ دائرة اب وقد خرج من النقطة التى عليها المماسّة خط اب فقطع الدائرة على غير المركز فبحسب برهان لا من جـ تكون الزاوية التى تقع فى قطعة اب الصغرى مساويةً لزاوية بال المبادلة لها لكن زاوية بال عملت مساوية لزاوية حطڪ المنفرجة فقد اقمنا على خط اب فى الصورة الثانية قطعة اب الصغرى تقبل زاويةً مساويةً لزاوية حطڪ المنفرجة وذلك ما اردنا ان نبيّن. وبقى ان نبيّن كيف نعمل على خط اب الثالث قطعة دائرة تقبل زاويةً مساويةً لزاوية نسع الحادّة فنعمل على خط اب على نقطة ا زاوية باف

مساويةً لزاوية نسع فمن اجل انّ زاوية نسع حادّة تكون زاوية باف حادّة ايضا فنقيم على نقطة ا من خط اف عمود اق فزاوية باف حادّة فنعمل على نقطة ب من خط اب زاوية ابق مساويةً لزاوية باق فمن اجل ان زاويتى اب متساويتان فانّ ساقى قا قب متساويتان فنقطة ق مركز الدائرة فالدائرة المرسومة على نقطة ق وببعد قا تمرّ بنقطتى اب ولا تقطع من خط اف ولا الخط الذى على استقامته شيا ولتكن دائرة اب ومن اجل ان خط اف قائم على طرف قطر قا على زوايا قائمة فبحسب برهان يه من جـ يكون خط اف مماساً لدائرة اب من خارج ومن اجل ان خط اف يماسّ دائرة اب وقد خرج من نقطة المماسّة خط اب فقطع الدائرة على غير المركز فانّ ببرهان لا من جـ تكون الزاوية التى تقع فى قطعة اب العظمى مساويةً لزاوية نسع فقد اقمنا على خط اب المعلوم قطعة اب العظمى تقبل زاويةً مثل زاوية نسع الحادّة المعلومة وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الثالث والثلثون من المقالة الثالثة

نريد ان نبيّن كيف نفصل من دائرة معلومة قطعةً تقبل زاويةً مساويةً لزاوية معلومة فننزل ان الدائرة المعلومة دائرة ابجـ والزاوية المعلومة زاوية دهز ونريد ان نبيّن كيف نفصل من دائرة ابجـ قطعةً تقبل زاوية مساويةً لزاوية دهز فنجيز على اىّ نقطة

اردنا من النقط التى على محيط دائرة ابجـ خطا يماسّ الدائرة فننزل ان النقطة نقطة جـ ونجيز عليها خط حط يماسّ دائرة ابجـ وذلك بحسب ما بيّنا ببرهان يه من جـ وهو انا نجيز على نقطة جـ قطر الدائرة ونقيم على طرف القطر الذى عند نقطة جـ خطاً على زاوية قائمة وهو خط حط فخط حط اذن مماسّ للدائرة ونعمل على نقطة جـ من خط حط زاويةً مساويةً لزاوية ده ز ولتكن زاوية بجـح فمن اجل ان خط حط يماسّ دائرة ابجـ وقد خرج من العلامة التى عليها المماسّة خط جب فقطع الدائرة على غير المركز فمن البيّن ببرهان لا من جـ ان زاوية بجـح مساوية للزاوية التى تقع فى قطعة باجـ المبادلة لها لكنّا عملنا زاوية بجـح مساويةً لزاوية دهز فالزاوية التى فى قطعة باجـ مساوية لزاوية دهز فقد فصلنا من دائرة ابجـ قطعة باجـ تقبل زاويةً مساويةً لزاوية دهز وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الرابع والثلثون من المقالة الثالثة

كل وترين يتقاطعان فى دائرة فان السطح القائم الزوايا الذى يحيط به احد قسمى [احد] الخطين مع قسمة الاخر مساو للسطح القائم الزوايا الذى يحيط به احد القسمين من الخط الاخر مع قسمة الاخر. هذا التقاطع له ست جهات امّا ان يكون التقاطع

لهما جميعا على المركز واما ان يكون احدهما يمرّ بالمركز ويقاطع الاخر بنصفين وعلى زوايا قائمة واما ان يمرّ احدهما على المركز ولا يقاطع الاخر بنصفين واما ان لا يمرّا بالمركز ويقاطع احدهما الاخر بنصفين واما ان لا يمرّا بالمركز ولا يقاطع احدهما الاخر بنصفين ولا على زوايا قائمة واما ان لا يمرّا بالمركز ولا يقاطع احدهما الاخر بنصفين لكنهما يتقاطعان على زوايا قائمة فنجعل اذن لذلك ست صعب متواليةً اولى وثانيةً وثالثةً ورابعةً وخامسةً وسادسةً ولتكن ستّ دوائر على كل دائرة منها اب جـد فلتكن الدائرة الاولى عليها ابجـد يتقاطع فيها القطران على مركز ه فاقول ان القائم الزوايا الذى يحيط به قسما اه هجـ مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به قسما به هد برهانه من اجل ان نقطة ه مركز لدائرة ابجـد فالخطوط الاربعة متساوية ها هب هجـ هد لانها خرجت من المركز الى المحيط فالقائم الزوايا الذى يحيط به قسما اه هجـ مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد وذلك ما اردنا ان نبيّن. وايضا فانّ فى الصورة الثانية قاطع قطر بد وتر اجـ بنصفين على نقطة ه فظاهر ببرهان جـ من جـ انهما يتقاطعان على زوايا قائمة ومركز الدائرة ز ونصل از فمن اجل انّ خط بد قد قسم بنصفين على نقطة ز وبقسمين مختلفين على نقطة ه فانه بحسب برهان ه من ب يكون القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط زه مساويا للمربع الكائن من خط زد لكن خط از مساو لخط زد فاذن القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط زه مساو للمربع الكائن من خط از لكن

بحسب برهان مو من ا فان المربع الكائن من خط از مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى زه ها فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط زه مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى زه ها فاذا اسقطنا المربع الكائن من خط زه بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مساوياً للمربع الكائن من خط اه لكن خط اه مساو لخط هجـ فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا (ا) به هد مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا اه هجـ وذلك ما اردنا ان نبيّن.

وايضا فى الصورة الثالثة تقاطع قطر بد ووتر اجـ على زوايا غير قائمة على نقطة ه فبيّن ببرهان جـ من جـ ان نقطة ه ليست على منصّف وتر اجـ فليكن خط جـه اعظم من خط اه ونخرج من المركز وهو نقطة ز الى خط اجـ عمود زح كما بيّن اخراجه ببرهان يب من ا فظاهر ببرهان جـ من جـ ان عمود زح يقسم وتر اجـ بنصفين على نقطة ح فخط اجـ قد قسم بنصفين على نقطة ح وبقسمين مختلفين على نقطة ه فببرهان ه من ب يكون القائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع المربع الكائن من خط حه مساوياً للمربع الكائن من خط اح وناخذ مربع خط زح مشتركاً فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع المربعين الكائنين من خطى هح زح مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى زح حا لكن بحسب برهان مو من ا فان مجموع المربعين الكائنين من خطى زح حا مساو للمربع الكائن من خط زد المساوى لخط زا فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا جـه ها مع المربعين الكائنين من خطى هح زح مساو

للمربع الكائن من خط زد وايضا فبحسب برهان مو من ا فان مجموع المربعين الكائنين من خطى حزحه مساو للمربع الكائن من خط زه فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع المربع الكائن من خط زه مساو للمربع الكائن من خط زد. وايضا فان خط بد قد انقسم بنصفين على نقطة ز وبقسمين مختلفين على نقطة ه فبحسب برهان ه من ب فان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط زه مساو للمربع الكائن من خط زد فالقائم الزوايا الذى يحيط ٮه خطا به هد مع المربع الكائن من خط زه اذن مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع المربع الكائن من خط زه فاذا القينا المربع الكائن من خط زه المشترڪ بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مساوياً للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد وذلك ما اردنا ان نبيّن. وايضا فى الصورة الرابعة تقاطع وترا اجـ بد على غير المركز لكن قطع احدهما الاخر بنصفين فننزل انّ خط بد قاطع اجـ بنصفين على علامة ه فاقول ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا اه هجـ [مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد] برهانه من اجل ان خط بد قاطع اجـ بنصفين على نقطة ه فان خط اجـ غير مقاطع لخط بد بنصفين لانه قد تبيّن ببرهان د من جـ ان كل وترين يتقاطعان فى دائرة ولا يجوزان على المركز فليس يقطع كل واحد منهما الاخر بنصفين فخط اجـ اذن يقطع خط بد بقسمين مختلفين فلننزل القسم الاعظم خط به ونخرج من المركز الذى هو نقطة ز عموداً الى خط دب وليكن عمود زح ونخرج خطوط زه

زد زا فمن اجل ان خط بد قد انقسم بنصفين على علامة ح وبقسمين مختلفين على علامة ه فبحسب برهان ه من ب فان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط حه مساو للمربع الكائن من خط حد وناخذ مربع خط زح مشتركا فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربعين الكائنين من خطى حه حز مساو لجميع المربعين الكائنين من خطى حز حد لكن مجموع المربعين الكائنين من خطى زح حه مساو للمربع الكائن من خط زه فيكون القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط هز مساوياً لمجموع المربعين الكائنين من خطى زح حد لكن بحسب برهان مو من ا فان مجموع المربعين الكائنين من خطى زح حد مساو للمربع الكائن من خط از المساوى لخط زد فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط زه اذن مساو للمربع الكائن من خط از ومن اجل ان نقطة ه منصف خط اجـ وقد خرج من نقطة ز التى هى المركز اليه خط زه فظاهر بحسب برهان جـ من جـ ان زاوية اهز قائمة فمجموع المربعين الكائنين من خطى زه ها مساو للمربع الكائن من خط از فاذا اسقطنا المربع الكائن من خط زه المشترڪ بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مساويا للمربع الكائن من خط اه لكن اه مساو لخط هجـ فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد اذن مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا اه هجـ وذلك ما اردنا ان نبيّن. وايضا فى الصورة الخامسة تقاطع وترا اجـ بد على نقطة ه وليس واحد منهما يمر بالمركز ولا

احدهما يقطع الاخر بنصفين فاقول ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا اه هجـ برهانه انا نستخرج المركز وليكن نقطة ز ونخرج عمودى زح زط الى خطى بد جـا ونخرج خطوط زا زد زه فظاهر بحسب ما بيّنا قبل ان بح مساو لخط حد وخط جـط مساو لخط اط فمن اجل ان خط اجـ قد انقسم بنصفين على نقطة ط وبقسمين مختلفين على نقطة ه فبحسب برهان ه من ب يكون القائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع المربع الكائن من خط طه مساويا للمربع الكائن من خط طا فاذا اخذنا المربع الكائن من خط زط مشتركا كان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع مجموع المربعين الكائنين من خطى طه طز مساويا لمجموع المربعين الكائنين من خطى اط طز لكن مجموع المربعين الكائنين من خطى طه طز مساو للمربع الكائن من خط زه فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع المربع الكائن من خط زه مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى زط طا لكن مجموع المربعين الكائنين من خطى زط طا مساو للمربع الكائن من خط زد المساوى لخط زا لانّ زاوية اطز قائمة وذلك بيّن ببرهان مو من ا فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع المربع الكائن من خط زه مساو للمربع الكائن من خط زد وايضا فان خط بد قد انقسم كما بيّنا بنصفين على علامة ح وبقسمين مختلفين على علامة ه فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط هح مساو للمربع الكائن من خط حد وناخذ

خط حز مشتركاً فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع مجموع المربعين الكائنين من خطى حه حز مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى حز حد لكن مجموع المربعين الكائنين من خطى حز حه مساو للمربع الكائن من خط زه فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط زه مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى حز حد لكن مجموع المربعين الكائنين من خطى حز حد مساو للمربع الكائن من خط زد فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط هز مساو للمربع الكائن من خط زد وقد كنّا بيّنا ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع المربع الكائن من خط هز مساو ايضا للمربع الكائن من خط زد فاذا اسقطنا المربع الكائن من خط زه بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد وذلك ما اردنا ان نبيّن وايضا فى الصورة السادسة تقاطع وترا اجـ بد على نقطة ه وليس واحد منهما على المركز لكنهما يتقاطعان على زوايا قائمة على نقطة ه فاقول ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا اه هجـ مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد برهانه انا نستخرج مركز الدائرة وليكن نقطة ز ونخرج منها الى خطى اجـ بد عمودى زح زط فظاهر انهما يقسمان خطى اجـ بد كل واحد منهما بنصفين فخط بد قد انقسم بنصفين على نقطة ح وبقسمين مختلفين على نقطة ه فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن

من خط حه مساو للمربع الكائن من خط حد فاذا اخذنا خط زح مشتركا كان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربعين الكائنين من خطى حه حز مساويا لمجموع المربعين الكائنين من خطى زح حد لكن مجموع المربعين الكائنين من خطى زح حه مساو للمربع الكائن من خط زه فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط زه مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى زح حد لكن مجموع المربعين الكائنين من خطى زح حد مساو للمربع الكائن من خط زجـ المساوى لخط زد لانّ زاوية زحد قائمة وبمثل هذا البرهان يتبيّن ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا اه هجـ مع المربع الكائن من خط زه مساو للمربع الكائن من خط زجـ فيكون القائم الزوايا الذى يحيط به خطا اه هجـ مع المربع الكائن من خط هز مساوياً للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط هز فاذا اسقطنا المربع الكائن من خط هز بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مساويا للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا اه هجـ وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل الخامس والثلثون من المقالة الثالثة

كل علامة مفروضة خارج دائرة يخرج منها خطان مستقيمان احدهما يقطع الدائرة والاخر يماسّها فان السطح القائم الزوايا الذى يحيط به الخط القاطع للدائرة وقسمه الذى يقع خارج الدائرة مساو للمربع الكائن من الخط المماسّ للدائرة وهذا ينقسم الى

ثلثة اوضاع امّا ان يكون وضع الخط القاطع على مركز الدائرة وامّا ان يكون فى النصف الذى بين المركز وبين الخط المماسّ للدائرة وامّا ان يكون فى النصف الاخر مثاله انا ننزل دائرة اب على الوضع الاوّل وننزل ان خارجاً منها علامة د وقد خرج منها الى الدائرة خطان احدهما يقطعها ويجوز على مركزها وينتهى الى محيطها وهو خط دجـب والاخر يماسّها على نقطة ا وهو خط دا فاقول ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مساو للمربع الكائن من خط اد برهانه انا ننزل ان مركز الدائرة علامة ه ونخرج ها فظاهر بحسب برهان يز من جـ ان زاوية داه قائمة وذلك لان خط اد فرض مماساً للدائرة على نقطة ا وقد خرج من نقطة ا الى مركز الدائرة خط اه فهو اذن عمود على خط اد بحسب برهان مو من ا فان مجموع المربعين الكائنين من خطى اد اه مساو للمربع الكائن من خط ده ومن اجل ان خط بجـ قد قسم بنصفين على نقطة ه وزيد فى طوله خط جـد فانه بحسب برهان [و] من [ب] يكون القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط جه مساوياً للمربع الكائن من خط هد وقد كنّا بيّنا ان المربع الكائن من خط ده مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى دا اه فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط جه مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى اه اد لكن المربع الكائن من خط اه مساو للمربع الكائن من خط هجـ فاذا

اسقطنا هما من الجهتين بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مساوياً للمربع الكائن من خط اد وذلك ما اردنا ان نبيّن. وايضاً فانا ننزل دائرة اب على الوضع الثانى وان علامة د مفروضة خارجها وقد خرج منها خط دجـب يقطع الدائرة وينتهى الى اخمصها وخط اد يماسّها على نقطة ا فاقول ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مساو للمربع الكائن من خط اد برهانه انا نستخرج مركز الدائرة كما بيّن ببرهان ا من جـ ونخرج خطوط ده ها هجـ ونخرج من نقطة ه الى خط جب عمود هز كما بيّن اخراجه ببرهان يب من ا فظاهر بما بيّن ببرهان جـ من جـ ان خط هز يقسم خط بجـ بنصفين فخط بجـ قد انقسم على نقطة ز بنصفين وقد زيد فى طوله خط جـد فبيّن ببرهان و من ب ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط جز مساو للمربع الكائن من خط زد فاذا اخذنا المربع الكائن من خط زه مشتركاً كان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربعين الكائنين من خطى جز زه مساوياً للمربعين الكائنين من خطى زه زد لكن مجموع المربعين الكائنين من خطى زه زجـ مساو للمربع الكائن من خط هجـ فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط هجـ مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى زه زد لكن مجموع المربعين الكائنين من خطى زه زد مساو للمربع الكائن من خط هد وذلك بيّن ببرهان

مو من ا لان زاوية هزد قائمة فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط هجـ اذن مساو للمربع الكائن من خط هد ومن اجل ان خط اد يماسّ دائرة اب على نقطة ا وقد خرج من نقطة ا الى المركز خط اه على زوايا قائمة فبحسب برهان يز من جـ فان زاوية داه قائمة وبحسب برهان مو من ا يكون مجموع المربعين الكائنين من خطى دا اه مساو للمربع الكائن من خط هد وقد كنّا بيّنا ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط هجـ مساو للمربع الكائن من خط ده فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط هجـ اذن مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى ها اد ومن اجل ان خط ها مساو لخط هجـ فان مربعيهما متساويان فاذا اسقطناهما من الجهتين بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مساويا للمربع الكائن من خط اد وذلك ما اردنا ان نبيّن. وايضا فانا ننزل ان دائرة اب على الوضع الثالث ونقطة د خارجة عنها وقد خرج منها الى الدائرة خطـ[ـا] دجـب دا امّا خط دجـب فانه يقطعها وينتهى الى اخمصها الى نقطة ب وامّا خط دا فيماسها على نقطة ا فاقول ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مساو للمربع الكائن من خط اد برهانه انا نستخرج المركز وليكن نقطة ه ونخرج خطوط ده هجـ ها ونخرج من نقطة ه خط هز ونقسم خط بجـ على زوايا قائمة فبيّن بحسب برهان جـ من جـ انه نقسمه بنصفين فخط بجـ قد انقسم بنصفين على نقطة ز وقد زيد فى طوله خط

جـد فبحسب برهان ومن ب فان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط جز مساو للمربع الكائن من خط زد فاذا اخذنا خط زه مشتركاً كان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع مجموع المربعين الكائنين من خطى جز زه مساوياً لمجموع المربعين الكائنين من خطى زه زد لكن بحسب برهان مو من ا يكون مجموع المربعين الكائنين من خطى زه زد مساوياً للمربع الكائن من خط هد لان زاوية هزد قائمة فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط هجـ مساو للمربع الكائن من خط هد ومجموع المربعين الكائنين من خطى ها اد ايضاً مساو للمربع الكائن من خط هد والمساوية لشى واحد فهى متساوية فمجموع المربعين الكائنين من خطى ها اد مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط هجـ ومن اجل ان خط هجـ مساو لخط ها فانّ مربعيهما متساويان فاذا اسقطناهما من الجهتين بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مساوياً للمربع الكائن من خط اد وذلك ما اردنا ان نبيّن.

الشكل السادس والثلثون من المقالة الثالثة

كل علامة مفروضة خارج دائرة يخرج منها الى الدائرة خطان مستقيمان احدهما يقطع الدائرة وينتهى الى اخمصها والاخر يلقى تقبيبها فقط وكان السطح الذى يحيط به الخط القاطع وقسمه الخارج من الدائرة مساوياً للمربع الكائن من الخط الملاقى

لتقبيب الدائرة فان الخط الملاقى للدائرة ممماس للدائرة ونعيذ الصورة الاولى من الصور الثلث المتقدّمة فاقول اذا كانت نقطة د خارجة من دائرة اد وخرج منها خطان احدهما كخط دجـب وهو يقطع الدائرة والاخر كخط اد ينتهى الى تقبيبها الى نقطة ا وكان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مساوياً للمربع الكائن من خط اد فان خط اد يماسّ دائرة اب على نقطة ا برهانه انا نصل خط اه فمن اجل ان خط بجـ قد انقسم بنصفين على نقطة ة وزيد فى طوله خط جـد فان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط هجـ مساو للمربع الكائن من خط هد لكن مربع خط هجـ مساو لمربع خط ها والقائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مساو للمربع الكائن من خط دا فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط هجـ مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى ها اد وقد كنّا بيّنا ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط هجـ مساو للمربع الكائن من خط هد فالمربع الكائن من خط هد اذن مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى اه اد وكل مثلث يكون مجموع المربعين الكائنين من الخطين اللذين يحيطان باحد زواياه مساوياً لمربع الخط الذى يوتر تلك الزواية فان تلك الزاوية قائمة وذلك بيّن ببرهان مز من ا فزاوية هاد اذن قائمة وكل خط يخرج من طرف قطر دائرة على زوايا قائمة فان ذلك الخط مماس للدائرة وذلك بيّن ببرهن يه من جـ فخط اد اذن يماس دائرة اب على نقطة ا وذلك ما اردنا ان نبيّن فلنعد رسم

الصورة الثانية كهئتها فاقول اذا كان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مساوياً للمربع الكائن من خط اد فان زاوية داه قائمة برهانه من اجل ان فى رسم الصورة الثانية قد تبين ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط هجـ مساو للمربع الكائن من خط هد وظاهر ايضا ان المربع الكائن من خط هجـ مساو للمربع الكائن من خط ها والقائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مساو للمربع الكائن من خط اد فمجموع المربعين الكائنين من خطى اد اه مساو للمربع الكائن من خط هد فبيّن بحسب ما بيّنا فى الشكل المتقدّم ان زاوية هاد قائمة فخط اد مسماسّ لدائرة اب وذلك ما اردنا ان نبيّن. ونعيد ايضاً رسم الصورة الثالثة فاقول اذا كان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مساوياً للمربع الكائن من خط اد فان زاوية داه قائمة برهانه من اجل انّ فى رسم الصورة الثالثة قد تبيّن ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط هجـ مساو للمربع الكائن من خط هد ومربع هجـ مساو لمربع خط ها لانّهما متساويان وفرضنا على ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مساو للمربع الكائن من خط اد فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط هجـ مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى ها اد لكنا قد بيّنا ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دجـ مع المربع الكائن من خط هجـ مساو للمربع الكائن من خط هد فمجموع المربعين الكائنين من خطى ها اد مساو للمربع الكائن من خط هد فبحسب برهان مز من ا تكون

زاوية هاد قائمة وبحسب برهان ه من جـ فان خط اد مماس لدائرة اب على نقطة ا وذلك ما اردنا نبيّن.

تمت المقالة الثالثة من كتاب اوقليدس والحمد لله وصلى الله على محمد واله وسلّم.