كل واحد من الاشيا الباقية فانما يسمى بهذا الاسم لمشاركته للاشيا التى ذكرنا فيقال انها موجودة على جهة اتفاق الاسمآ فاما انها اشيا فانها تقال وهى ايضاً كذلك بالحقيقة وذلك ان الامر فى الاشيا الجسمانية العنصرية هى ابداً فى تنقل وتميز احوال بمنزلة الشى الجارى الذى لا ثبات له وان بالواجب ما صارت بهذا السبب تشبه بطبيعة العنصر الذى هو فيها وبخواصه امر بين وذلك ان كل واحد من هذه الاشيا يتغير بكليته ويصير غير الذى كان اولاً واما ما ليس بجسم مما هو بحال الاجسام او مما يرى ويظهر معه مثل الكيفية والكمية والشكل والعظم والصغر والمساواة والمخالفة والاضافة والفعل والوضع والمكان والزمان وبالجملة جميع الاشيا المطبقة باحوال كل واحد من الاجسام فانها اشيا اما بذاتها فغير متغيرة ولا منتقلة واما على جهة عرضية فانها تشارك الاعراض التى تعرض للجسم الموضوع وتقارنها وهذه الاشيا التى تسمى العلم اليقين بها خاصة باسم الحكمة واما على جهه عرضية...

(٢) وقد يسمى ايضا بهذا الاسم علم الاشيا السرمدية التى ليس لها هيولى ولا تنقضى المتشابهة الاحوال التى ليست متغيرة فان جواهرها باقية على امر واحد على التمام وهى التى يقال لكل واحد منها انه موجود حق الوجود بالصحة واما هذه الاشيا الاخر فانها ترى متغيرة بالكون والفساد والنمو والتنقص والاستحالة تغيراً عاماً مشتركاً لها وهى يقال انها موجودة على سبيل الموافقة فى الاسم لتلك الاجزا وذلك على حسب مشاركتها لها واما طبيعتها فهى طبيعة ما ليس بموجود حق الوجود وذلك انها لا تبقى على امر واحد ولو بقآ يسيراً لكنها تتغير تغيراً دايماً بمنزلة الشى الذى يجرى ويتبدل لكل نوع من التبدل كما قال افلاطون فى كتاب طيماوس حيث يقول ما الشى الموجود ابداً الا انه لا تكون له وما الشى الكاين الا انه ليس بموجود فى وقت من الاوقات فاما الاول من هذين فانه يدرك بالعقل مع الفكر ويعلم انه موجود باق على امر واحد واما الثانى منهما فانه يظن انه يكون ويبطل بالراى مع الحس وليس يكون موجوداً فى وقت من الاوقات فمن الامر الواجب الاضطرارى اذاً ان كان كما يجب ان ينال الغاية التى ينبغى

للانسان ان يقصدها ويام نحوها وكانت هذه الغاية هى الحياة الجميلة المحمودة وكانت هذه الحياة انما تنال بالفلسفة وحدها لا بشى غيرها وكان قد ظهر لنا وتبين ان الفلسلفة هى الشوق الى الحكمة وان الحكمة هى علم اليقين بحقيقة ما عليه الاشيا الموجودة وان الاشيا يقال انها موجودة اما بعضها فعلى حقيقة التسمية واما بعضها فعلى جهة الاشتراك فى الاسم ان نستقصى تمييز ما يعرض للاشيا الموجودة ونوضح ذلك ونبينه فاقول ان من الاشيا الموجودة اعنى الاشيا التى يقال لها موجودة على حقيقة التسمية والتى يقال لها موجودة على جهة المشاركة فى الاسم جميعاً وهى المعقولة والمحسوسة بعضها متصلة وبعضها متخذة بعضها ببعض مختلطة مثل الحيوان والشجر والعالم وما اشبه ذلك وهذه الاشيا تخص بان تسمى ذوات عظم وذوات قدر على حقيقة التسمية وبعضها منفصلة منقسمة متجاورة على جهة الاجتماع وهذه الاشيا تسمى ذوات العدد وذوات الكثرة مثل القطيع والامة والملا وما اشبه ذلك فقد يجب ان يظن ان العلم بهذين النوعين جميعاً هو الحكمة الا ان المقدار والعدد غير متناهى الطبيعة اضطراراً وذلك ان العدد وان كان يبتدى من اصل محدود فانه لا ينقطع فى ممره الى ما يتلو ولا ينتهى وان المقدار وان كان بكليته محدوداً فانه اذا قسم لم يصر فى تقسمه الى غاية لا ينقسم لكنه يذهب ذلك كذلك وكان العلم والادراك انما يقع ابدا على اشيا متناهية لا على ما ليس متناه تبين مما قلناه انه لا يمكن ان يقع لنا العلم بالمقدار مطلقاً ولا العلم بالعدد مطلقاً ابداً وذلك ان كل واحد من هذين النوعين بذاته غير متناه واما العدد ففى جهة التزيد والكثرة واما المقدار ففى جهة النقصان والصغر الا ان كل واحد منهما قد يحد بعضه من جهة اما العدد فمن جهة كميته واما المقدار فمن جهة مساحته.

(٣) وايضا فانا نبتدى ابتدا اخر فنقول ان الكمية لما كان بعضها يفهم منفرداً

من غير ان يكون له اضافة او قياس الى غيره مثل المربع والزوج والفرد والتام وما اشبه ذلك وكان بعضها انما يرى ويفهم على سبيل الاضافة والقياس الى غيره بنوع من الانواع مثل الضعف والكبير والصغير والمثل والنصف والمثل والثلث وما اشبه ذلك وكان من البين ان هاهنا طريقين من طرق العلم يدركان ويبينان الحل فى جميع الاشيا التى يبحث عنها من امر الكمية احدهما علم العدد الذى به يعلم امر الكمية اذا فهمت على سبيل الانفراد والاخر علم الموسيقى الذى به يعلم امر الكمية التى تقال على سبيل الاضافة الى شى ما وايضا فانه لما كان ما يقع عليه المساحة بعضه ساكناً غير متحرك وبعضه متحركاً يدور كان هاهنا ايضا علمان اخران يعرف بهما امور المساحة احدهما يعرف به امر الشى الساكن الذى لا يتحرك وهو علم الهندسة والاخر يعرف به امر الشى المتحرك الذى يدور وهو علم الكرة فليس بممتنع اذاً ان يصح بهذه العلوم معرفة انواع الشى الموجود ولا بمعتذر ان يعلم الحق فى ذلك وهذه هى الحكمة التى يعلم بها الاشيا علماً يقيناً فهو بين انه لا يتعذر من هذا الوجه التفلسف الصحيح فان اندروقودس الذى من شيعة فوثاغورس قال انه كما ان صناعة التصور قد ينتفع فى تسوية اعمالها بغيرها من الصنايع التى يعتاد الناس فيها العمل بايديهم كذلك ايضا ينفع علم امر الخطوط والاعداد ومدد التاليف ودور الفلك فى تعلم قول الحكمآ وقد قال ارحوطس ايضا الذى من بلاد طرنطس قولاً فيه مشابه من هذا القول فى اول كتابه فى علم التاليف فانه قال هذا القول انى ارى علمنا بالعلوم التعليمية علماً صحيحاً وان من الصواب ان نعلم انها علوم لا يقع فيها شى من الخطا وانا نعلم بها الطبايع العامية معرفة جيدة وكذلك ايضاً الطبايع الجزيية اذا صححنا النظر اليها وتاملناها فاما علم الهندسة والعدد والكرة منها فقد تادى الينا منه ما ليس بالدون... وهذه الاربع طبايع تظن انها اخوات بعضها لبعض ومزاد هذه الاخوات وتقلبها يكون فى النوعين الاولين من انواع الموجود وافلاطون ايضا

قد ذكر جمل ما قد قدمنا ذكره وبيناه انفاً فى اخر المقالة الثالثة عشر من كتابه فى النواميس وهى المقالة التى يوسمها بعض الناس كتاب الفيلسوف وذلك ان فى هذه المقالة يفحص افلاطون عن امر الفيلسوف ويخبر كيف ينبغى ان يكون الفيلسوف الذى هو فيلسوف بالحقيقة فقال هكذا كل جدول من جداول جماعات العدد وجماعات التاليف فانه يجب ان يوجد مشاكلا لحركات الكواكب ضرباً من المشاكلة اذا تفهمه الانسان وهذا شى يظهرللانسان ويتبين ان هو فهم ما يقول فهماً صحيحاً فنظر فى جميع هذه الاشيا نظرة الى شى واحد بعينه وذلك ان رباط جميع هذه الاشيا يرى رباطاً واحداً فان راى احد انه يقدر ان ياخذ فى علم الفلسفة من غير هذه الجهة فينبغى ان يسله اسعافنا بذلك وليس ينبغى فى وقت من الاوقات ان يسلك غير هذه السبيل لكن ينظر فى العلوم التعليمية على هذه الجهة ان صعب ذلك وان سهل فيترك ويسلك هذه السبيل ولا يغفل عنها وانا ارى ان اسمى من علم هذه الاشيا بارع الحكمة وان اثق بجودة سعيه وطلبه للعلم فهو بين ان هذه العلوم التعليمية تشبه المعابر والدرج والجسور وذلك انها تنقل افهامنا وتصير بها من الاشيا المظنونة الى الاشيا المعقولة المعلومة ومن الاشيا التى هى ربايب لنا ونابتة معنا منذ الصبا مالوفة عندنا هيولانية جسمانية الى الاشيا الغير مالوفة والتى هى مباينة للحواس فاما الاشيا السرمدية التى ليست هيولانية فهى شديدة المجانسة لانفسها والقرب منها ومجانستها للقوة العقلية التى هى فى الانفس اقدم واسبق وقد ذكر سقراطس الذى جعله افلاطون فى كتاب بوليطيا مخاطباً للرجل الذى كان يجادله هذه العلوم التعليمية ووصف منافع من منافعها فى تدبير الناس وامورهم وما يتصرفون فيه فقال

ان علم العدد نافع فى الحسابات والقسمة والجمع والمقياضات والشركة والهندسة نافعة فى تدبير العساكر وبنا المدن وبنا الهياكل وقسمة الارضين والموسيقى نافعة فى الاعياد وفى اوقات السرور وفى عبادة الله وعلم الكرة والنجوم فى علم الفلاحة والملاحة فانه يعرف به الاوقات الصالحة الموافقة والابتدا لساير الاعمال الاخر وقال ايضا انى اراك تشبه انساناً قد تخوف ان اكون اقول ان العلوم التعليمية غير نافعة وهذا امر صعب جدا بل هو امر غير ممكن وذلك ان عين النفس اذا عميت ببعض الامور الباقية او غشيت اذ كانت انما تحيى وتنتبه بهذه العلوم وحدها فهو اولى واحق ان تلتمس صلاحها وسلامتها باكثر من عشرة الاف عين من اعين البدن وذلك ان الحق فى جميع الاشيا انما يرى ويعرف بهذه العين وحدها.

(٤) فلننظر الان اى هذه الطرق الاربعة من طرق العلم يضطر بالحاجة الى تقديمه وان نبتدى بالنظر فيه او لعله ان يكون من الامر البين انه يجب ان يقدم منها ما كان اولا فى طبيعته متقدماً لجميع هذه العلوم الباقية والذى هو الابتدا والاصل لها والذى قياسه اليها قياس الوالد وهو صناعة علم العدد وليس انما السبب فى ذلك ما قلناه من ان انها سابقة فى علم الله صانع الاشيا متقدمة للعلوم الباقية بمنزلة الشى الجميل الذى قياسه الى الاشيا الباقية قياس المثال فجعله مثالاً لساير الاشيا التى خلق وحذوا عليها وعلى حسبه خلقها وسواها وزين ما خلقه من العنصر وبلغ به الامر الافضل الموافق فى كل واحد من الاشيا فقط لكن لان هذه الصناعة مع ذلك اقدم بالطبيعة من الصنايع الاخر وذلك ان الصنايع الاخر ترتفع وتبطل بارتفاع هذه الصناعة وليس ترتفع هى بارتفاع تلك كما ان الحيوان اقدم من الانسان بالطبيعة وذلك ان الانسان يرتفع ويبطل بارتفاع الحيوان وليس

يرتفع الحيوان بارتفاع الانسان وايضا فان الانسان اقدم فى الطبيعة من النحوى وذلك انه متى لم يكن انسان لم يكن نحوى واما اذا لم يكن نحوى فقد يمكن ان يكون انسان فليس يرتفع الانسان بارتفاع النحوى ولذلك صار اقدم منه وفى عكس ما قلنا يقال ان الشى بعد الشى اوانه تاخر عنه بالطبيعة اذا كان الشى لا يجب لوجوبه ويدخل بدخوله وليس يجب هو بوجوب ذلك الاخر مثل صاحب علم الموسيقى فانه يجب بوجوبه ان يكون الانسان موجوداً وكذلك الفرس ايضا فانه لا يجب بوجوده ان يكون الانسان موجوداً ولا يعرض عكس ذلك لان الحيوان اذا كان موجوداً ولا متى كان الانسان موجوداً وجب ان يكون صاحب علم الموسيقى موجوداً وكذلك ايضا تكون الحال فى العلوم التى قدمنا ذكرها وذلك انه متى كانت الهندسة موجودة وجب اضطراراً ان يكون علم العدد موجوداً وذلك ان صاحب علم الهندسة اذا قال ان الشكل مثلث او مربع او ذى ثمانى قواعد او ذو عشرين قاعدة او ان الشى ثلثة اضعاف او ثمانية اضعاف او مثل ونصف او غير ذلك مما اشبهه وليس يمكن ان يكون الشى من ذلك موجوداً او مفهوماً من غير العدد الذى يتبين معه وذلك انه لا يمكن ان يكون شى ما ثلثة امثال او ان يقال انه كذلك من 〈غير〉 ان يكون قد تقدمه وضع عدد الثلثة ولا الثمانية الاضعاف من غير عدد الثمانية واما امر العدد فانه يجرى على عكس ما قلناه لانه متى ما لم يكن عدد الثلثة او لا الاربعة او ما بعدها من الاعداد معلوماً موجوداً عرض الا يكون الشكل المشارك له فى الاسم موجوداً فقد وجب مما قلنا ان علم العدد يرتفع ويبطل بارتفاعه وبطلانه علم الهندسة ولا يرتفع هو ويبطل ببطلان علم الهندسة وان ذلك العلم يجب بوجوب هذا العلم.

(٥) وكذلك القول فى علم الموسيقى ان الشى الذى يفهم منفرداً بذاته اقدم من الشى الذى اما قوامه بقياس 〈الى〉 شى اخر كما ان العظم اقدم من الاعظم

والغنى من الذى هو اغنى والانسان من الاب فقط لكن ما يجرى فى علم الموسيقى ايضا من علم الاتفاق الذى باربع والاتفاق الذى بخمس والاتفاق الذى بالكل اشيا اشيا انما سميت بهذه الاسما على حسب العدد وايضا فان النسب التاليفية انما هى ابدا نسب عددية اما الذى باربع فان نسبته نسبة المثل وثلث وامسا الذى بخمس فان نسبته نسبة المثل والنصف واما الذى بالكل فان نسبته نسبة الضعف واما الثلاثة الامثال فانها نسبة الذى بالكل والخمس معا واما الاربعة الامثال فانها تشبه اتم الاتفاقات وهو اتفاق ضعف الذى بالكل واما الامر فى علم الكرة وانه انما يعلم جميع ما نفحص عنه فيها ويحتاج الى علمه منها بالاعداد وعلم العدد فهو امر بين وليس انما يتبين ذلك من قبل ان هذا العلم انما يكون من بعد علم الهندسة وذلك ان الحركة هى بالطبيعة من بعد السكون ولا من قبل ان حركات النجوم توجد جارية على نظام وتاليف لحنى من كل وجه فقط لكن لان ادوار الكواكب ومقادير المطالع والمغارب ومسير الكواكب ورجوعها وظهورها واستتارها انما يعلم جميعها بالاعداد فاذ كان ذلك كذلك فحقيق بنا ان تقدم اولاً القول فى صناعة العدد كالشى الاول الشديد التقدم بالطبيعة والمرتبة لانها بمنزلة الوالدة والظير لما سواها ونجعل ابتدانا فى ايضاح ذلك وتبيينه من هاهنا.

(٦) فنقول انا نرى جميع الاشيا التى قد رتبتها الطبيعة فى العالم على طريق صناعى بكليتها وفى جز جز منها انما خلقها الخالق عز وجل على نسب الاعداد وهو الذى ميزها وسواها على حال المحمودة الجميلة واكد فيها امر المثال الذى قصد بها نحوه فانه جعل الاعداد مثالاً وشبيهاً برسم متقدم سابق فى علم الله خالق العالم الا انه انما هو مفهوم عنده فقط من غير ان يكون ذلك فى هيولى ما بوجه من الوجوه بتة الا ان ذاته ذات موجودة وعلى حسبه اجرى الامور على طريق صناعى فى جميع هذه الاشيا اعنى الزمان والحركة والسما وجميع ادوار الكواكب ويجب اضطراراً ان يكون العدد فى هذه الاشيا مولفاً من سنخه لا من شى اخر لكن من ذاته وكل شى يولف فانما يولف من اشيا مختلفة موجودة

وذلك انه لا يمكن ان يظن ان الشى مولف مما ليس بموجود ولا من اشيا موجودة الا انها متشابهة لا اختلاف بينها ولا من اشيا مختلفة ليس لبعضها قياس الى بعض ولا مجانسة فقد بقى اذاً ان يكون الاشيا التى منها يكون تاليف ما يولف اشيا موجودة وان تكون موجودة وان تكون مختلفة وان يكون فيما بينها مناسبة فالعدد مولف من مثل هذه الاشيا وذلك انه له النوعان الاولان من الانواع التى ينقسم اليها ذاتهما ذات الكمية وفيما بينهما اختلاف وليسا من المتباينة التى لا مجانسة بينهما وهما الفرد والزوج وتاليف احدهما مع الاخر تاليف على معاقبة وابدال وعلى طبيعة عجيبة بديعة وليس ينفرد احدهما عن الاخر لكنهما يجريان على امر واحد ونوع واحد من التاليف وسنبين ذلك فيما بعد.

(٧) اما العدد مطلقاً فهو جماعة اعداد وكمية مبثوثة قوامها من آحاد والقسمة الاولى التى ينقسم بها العدد هى ان منها زوجاً ومنه فرداً والعدد الزوج هو الذى ينقسم بقسمين متساويين ولا يقع فى الوسط من قسمه الوحدة والعدد الفرد هو الذى لا يمكن ان ينقسم قسمين متساويين بسبب الوحدة التى تقع فى وسطه وهذان الحدان انما يحدهما بهما العامة واما الحد المنسوب الى فوثاغورس فهو ان العدد الزوج هو الذى يقبل القسمة بالشى الواحد بعينه الى ما هو اعظم وما هو اصغر اما اعظم ذلك فبالمساحة واما اصغره فبالكمية على ما يجب بحسب التكافى الطبيعى الذى يعرض لهذين الجنسين وان العدد الفرد هو الذى لا يمكن فيه ذلك لكنه انما يقسم بقسمين غير متساويين وقد حد القدمآ هذين على جهة اخرى فقالوا ان العدد الزوج هو الذى يمكن ان يقسم قسمين متساويين وقسمين غير متساويين ما خلى عدد الاثنين الذى هو ابتدا نوع العدد

الزوج فانه انما ينقسم بقسمين متساويين فقط ويكون متى وجد احد قسميه فى نوع من نوعى العدد كيف ما كان قسماه اللذان ينقسم اليهما كان القسم الاخر كان ايضاً من ذلك النوع من نوعى العدد واما العدد الفرد هو الذى كيف ما قسم فانما ينقسم ابداً على قسمين من اقسامه نوعا العدد جميعاً وليس يوجد هذان النوعان فى وقت من الاوقات غير مختلطين فيه احدهما بالاخر لكن كل واحد منهما يوجد فيه ابدا مقروناً بالاخر وان نحن حددنا العدد الزوج والعدد الفرد كل واحد منهما قلنا ان العدد الفرد هو الذى اختلاف ما بينه وبين الزوج واحد من الناحيتين جميعاً اعنى ناحية العظم وناحية الصغر وان العدد الزوج هو الذى يخالف الفرد بالواحد الى الناحيتين جميعاً اعنى انه اعظم من الفرد باالواحد.

(٨) كل عدد فهو مساو لنصف العددين الذين عن جنبتيه اذا جمعا وهو ايضا نصف العددين اللذين ورا هذين ونصف العددين اللذين وراهما بواحد واحد من كل واحد من الجانبين وهو ايضا نصف العددين اللذين وراهما بعددين وكذلك تجد الحال فى جميع الاعداد حتى ينتهى الى ما لا يمكن فيه ذلك فاما الواحد وحده فانه لما لم يمكن له عن جنبتيه عددان صار نصفا للعدد الواحد الذى يليه فالابتدا الطبيعى لجميع هذه الاعداد هو الواحد واذا قسم الزوج الى انواعه كان بعضه زوج الزوج وبعضه زوج الفرد وبعضه زوج زوج الفرد والنوعان المتضادان من هذه الانواع اللذان هما كالمقارنين فى بعد احدهما من الاخر زوج الزوج وزوج الفرد وما زوج زوج الفرد فهو مشارك لهما جميعا وهو بمنزلة الوسطة فيما بينهما والعدد الذى يقال له زوج الزوج هو الذى يمكن ان ينقسم بقسمين متساويين على ما يجب فى جميع جنس الزوج ويمكن ان ينقسم كل واحد من قسميه ايضا بقسمين متساويين وان ينقسم كل واحد من قسمى هذين

القسمين بقسمين متساويين حتى ينتهى القسمة الى الواحد الذى لاينقسم بالطبيعة مثل عدد الاربعة والستين فان نصفه لب ونصف ذلك يو ونصفه ح ونصفها د ونصفها ب ونصف ذلك فى اخر الامر الواحد الذى لمسا كان بالطبيعة غير منقسم لم يكن له نصف ومما يلزم هذا النوع من انواع العدد ان كل جز من اجزايه فانه يسمى منه تسمية هى من جنس زوج الزوج ونفس الاحاد التى فيه حالها حال الزوج الزوج وليس يشارك فى شى من ذلك شى من الاجناس الاخر ولعل هذا النوع من العدد انما سمى زوج الزوج من هذه الجهة انه هو زوج واجزاوه ايضا واجزا اجزايه ابدا حتى ينتهى الى الواحد هى ازواج انفسها وفى تسميتها منه واقول ذلك بقول اشد اختصاراً من هذا وهو ان كل جز من اجزا هذا العدد زوج الزوج فى نفسه وفى تسميته من جملة العدد الذى هو جز منه وتولد ازواج الازواج كلها وطريق وجودها حتى لا يشذ عدد منها لكن ينتطم فيه كلها على الولآ يكون على ما اصف تبتدى من الواحد فتجعله كالاصل والاساس وتاخذ اعداداً مبتدية منه متوالية على نسبة الضعف وتذهب فيها كم شياً فان الاعداد التى توجد بهذه الصفة هى ازواج ازواج ولو خرج ذلك الى ما لا نهاية له وليس يمكن ان يوجد اعداد الزواج غير هذه مثل الواحد والاثنين والاربعة والثمانية والستة عشر والاثنين وثلاثين والاربعة وستين والماية وثمانية وعشرين والمايتين وستة وخمسين والخمسماية واثنى عشر وما بعد ذلك على هذا المثال بالغاً ما بلغ فكل واحد من الاعداد التى ذكرنا يتولد بنسبة الضعف المبتدية من الواحد هو ابدا زوج الزوج وكل جز يوجد له فان اسمه مشتق ابدا من اسم واحد من تلك الاعداد التى دون العدد الذى هو جز له من الاعداد المتوالية على نسبة الضعف وعدد ما فيه من الاحاد بعدد المرات

التى تعد واحدا من الاعداد التى دون ذلك العدد الذى ذكرنا ويكون الامر فى ذلك على سبيل الابدال والتكافى فمتى كان عدد من الاعداد الموضوعة المبتدية من الواحد الاخذة على نسبة الضعف عدداً زوجاً لم يوجد فيها عدد وسط فيه لكن يكون المتوسط منها ابدا عددان منهما يبتدى التكافى والتبادل الذى ذكرنا الكاين فيما بين حال الاعداد فى انفسها وبين كل جز كل واحد منها ومن جملة العدد ويكون الذهاب فى ذلك من العددين الاوسطين الى الجانبين اما اولاً فالى العددين اللذين فى جانبهما من الناحيتين ثم الى ما ورا ذلك من الناحيتين حتى ينتهى الى الاطراف والغايات فيكون التكافى حينيذ فيما بين نسبة الكل التى هى ماخوذة من الواحد وبين نسبة الواحد التى هى ماخوذة من جملة ذلك العدد كما انا مثلاً متى جعلنا اعظم الاعداد التى ناخذها عدد قكح كانت الحدود التى قد رتبت حينيذ حدوداً عددها زوج وذلك انها ثمانية وليس منها عدد واحد متوسط لان ذلك غير ممكن فى الازواج لكنه يجب ضرورة ان يكون عددان من هذه الاعداد متوسطين وهما عدد ح وعدد يو وهذان العددان يرى كل واحد منهما من العدد الاعظم الذى هو قكح مكافياً لصاحبه وذلك ان ثمن جملة عدد قكح هو عدد يو وعلى عكس ذلك يكون جز من يو منه عدد ح واذا نحن اخذنا الى الناحيتين كان ربع العدد الذى ذكرنا عدد لب وجز من لب منه عدد د وايضا فان نصفه سد وجز من سد منه ب واما الاطاف التى هى من اجزا الاسم هى هذه اما الجز من قكح منه فهو الواحد واما الكل منه الذى هو قياس الواحد فانه يكون فكح ن فاما ان كان عدد الحدود التى وضعت عدداً فرداً كما يكون متى جعلنا اعظمها عدد سد فكانت جملتها ز حدود فانا نجدها حينيذ عدداً متوسطاً اضطراراً الذى يوجبه من ذلك طبع العدد الفرد وهذا العدد انما هو فى باب الابدال قياس لنفسه ومكافى لها لانها لا قرين له واما التى عن جنبتيه فان بعضها ابدا قرين بعض حتى ينتهى الى الغايات

والاطراف منها كما ان الجز من سد منه هو الواحد وكليته سد وايضا فان نصفه لب وجز من لب منه ب وربعه يو وجز من يو منه د واما الثمن فليس بازايه شى غيره وذلك ان قياسه من هذه الاعداد هو الثمانية نفسها ومما يعرض لهذه الحدود التى ذكرنا ان تكون متى اجتمعت مساوية للعدد الذى يتلوها غير واحد ان كان عدد الحدود عدداً زوجاً وان كان عددها عدداً فرداً فيجب من ذلك اضطراراً ان يكون كل حدود منها تجتمع على الولآ فان جملتها عدد فرد وذلك ان ما نقص عن العدد الزوج فهو ابداً فرد والعلم بما قلنا يحتاج اليه حاجة شديدة ضرورية فى معرفة كون العدد التام فنجعل العدد مثلاً عدد المايتين والستة والخمسين فجملة ما دون هذا العدد الى الواحد مساوية لهذا العدد غير واحد وكذلك ايضاً العدد الذى يلى العدد الذى ذكرنا وكذلك يوجد الحال ايضا فيما يتلو العددين اللذين ذكرنا مما هو اقل منهما اذا قسنا بما دونهما من الاعداد ولذلك صار الواحد نفسه مساوياً لما يليه منها منقوصاً منه الواحد والذى يليه فهو الاثنين والواحد اذا جمع مع الاثنين كان ما يجتمع اقل من الذى يتلوه بواحد وهذه ثلثتها اقل من الذى يتلوها بواحد وعلى هذا يجرى الامر فيما بعد الى ما لا نهاية له من غير ان يقع فيه خطا ومما يضطر الحاجة اليه ايضا ان نعلم انه ان كان عدد ما وضع عند طلبنا لوجود ازواج الازواج عدداً زوجاً فان الذى يكون من ضرب الطرفين احدهما فى الاخر ابدا مساو للذى يكون من ضرب الاوسطين احدهما فى الاخر فان كان عدده عدداً فرداً الذى يكون من ضرب الطرفين احدهما فى الاخر مساو للذى يكون من ضرب العدد الاوسط فى نفسه وذلك انا جعلنا المثال على ان يكون عدد ما يوضع عدداً زوجاً مثله فى الماية والثمانية وعشرين كان المجتمع من ضرب الواحد فى هذا العدد قكح وكذلك ايضا ما يجتمع من ح فى يو ومن ب فى سد ومن د فى لب وكذلك ايضا يكون الحال فى ساير ما اشبه ذلك واما ان نحن جعلنا المثال على ان يكون عدد ما يوضع عدداً فرداً فهو على ما اصف ان نحن جعلنا العدد الاعظم سد كانت

سد مرة واحدة مساوية للب مرتين وذلك مساو ليو اربع مرات وذلك مساو لح ثمانى مرات والثمانية هى وحدها العدد المتوسط فى هذا الموضع ن

القول فى زوج الفرد

(٩) واما العدد الذى يقال له زوج الفرد فهو الذى جنسه الزوج الا انه يخالفه العدد الزوج الزوج الذى قدمنا وصفه ويضاده فانه ان كان محتملا لان ينقسم قسمين متساويين على ما يجب فيه من قبل ان ذلك امر يعم جميع جنسه فان كل واحد من اقسامه يوجد اول ما يقسم غير محتمل لان يقسم قسمين متساويين مثل الستة والعشرة والثمانية عشر والثلاثين وما اشبه ذلك فان كل واحد من هذه الاعداد من بعد ان ينقسم بقسمين متساويين مرة واحدة لا يمكن حينيذ ان يقسم شى من قسميه بقسمين متساويين وقد عرض لهذا النوع من العدد ان يكون كل احد من اجزايه مخالفاً فى التسمية لنفسه فيكون مقدار ما فى كل جز من اجزايه من عدد الاحاد مخالفاً لتسميته ولا يكون ابداً جز من اجزايه مجانساً فى تسميته لعدد ما فيه من الاحاد ولا يشتركان فى التسمية كما ان واحداً من هذه الاعداد وهو يح مثلا متى اخذ نصفه كانت تسميته منه تسمية زوجية ونصف ط وهو عدد فرد واما ثلثه فان الامر فيه على عكس ذلك اما تسميته منه فانها تسمية فردية واما العدد نفسه فهو عدد و الذى هو زوج واما سدسه فقد رجع الى ضاد ج والتسع ب وكذلك ايضا تجد الحال فى ساير هذه الاعداد ولعل اسم هذا النوع من الاعداد انما اخذ من هذا الموضع وذلك انه زوج وانه متى قسم بنصفين وجد نصفاه فردين واما الطريق فى قولك هذا العدد ووجوده فهو على ما اصف يبتدى من العدد الذى يخالف الواحد باثنين فترتب وتوضع الاعداد الافراد على الولى حتى يبلغ الانسان منها ما احب من شى ثم يضرب كل عدد منها فى اثنين فتكون الاعداد التى تجتمع منها ازواج افراد وهى على

هذا الترتيب و ى يد يح كب كو ل وما بعد ذلك حتى يبلغ الانسان حيث ما اراد وكل عددين من هذه الاعداد فان فضل ما بين الاعظم منها وبين الاصغر الذى يليه ابدا اربعة وسبب ذلك ان الاعداد التى عنها كان حدوث هذه الاعداد اولا وهى افراد تزيد بعضها على بعض اثنين اثنين وقد ضوعفت بعدد الاثنين حيث حدثت عنها الاعداد التى ذكرنا واذا ضرب الاثنان فى الاثنين كان المجتمع اربعة واما متى رتبت الاعداد على ما هى عليه بالطبع من التوالى وجد كل عدد منها مما هو زوج فرد خمسة نحو العدد الذى يليه من ازواج الافراد ووجد فضل ما بين كل عدد منها وبين الذى يليه اربعة ووجد ما بتجاوزه كل عدد منها من الاعداد فيما بينه وبين صاحبه الذى يليه ثلثة اعداد ن.

واما الشى الذى يضرب فيه الاعداد الافراد فيكون ما يجتمع اعداد ازواج افراد فهو الاثنان وهذا النوع من الاعداد انما يقال انه بازا نوع ازواج الازواج وانه مكاف له لان ازواج الافراد انما ينقسم منها حدها الاعظم وحده واما ازواج الازواج فانها لا ينقسم منها الحد الاصغر وحده ولان فى تلك الاعداد ايضا انما كان التبادل والتكافى فيها بان المجتمع من الطرفين احدهما فى الاخر كان يكون هناك مساوياً للمجتمع من ضرب الاوسطين احدهما فى الاخر والاوسط فى نفسه واما هاهنا فان الامر يجرى على ما قلنا من التكافى بان يكون ضعف العدد الاوسط مساوياً للطرفين مجموعين فان كان المتوسطان عددين كانا ايضا اذا اجتمعا مثل الطرفين اذا جمعا ن

القول فى زوج زوج الفرد

(١٠) واما العدد الذى يقال له زوج زوج الفرد فهو النوع الثالث من انواع الازواج وهو يشارك النوعين الاخرين منه جميعاً حتى انه لو جعل ذلك النوعان كالطرفين كان هذا النوع كالمتوسط فيما بينهما وذلك انه يشبه بعض الامور فى

بعض الامور ويشبه زوج الزوج فى بعض الامر والشى الذى به يخالف كل واحد منهما به يوافق الاخر والذى به يوافقه به يخالف الاخر وهذا النوع من العدد هو العدد الزوج الذى اذا انقسم بقسمين متساويين كان كل واحد من قسميه ممكناً ان ينقسم بقسمين متساويين وربما كان قسم كل واحد من قسميه على مثل ما وصفنا الا ان انقسام اجزايه لا ينتهى الى الواحد فى التنصف ولا يمكن ذلك فيها مثل عدد الاربعة والعشرين وعدد الاربعين فان لكل واحد من هذين العددين نصفاً ونصف نصف وقد يوجد من هذه الاعداد ما يحتمل النصف باكثر مما ذكرنا الا انه ليس منها عدد يمكن ان ينقسم نصفاه بنصفين والاقسام التى انقسم اليها نصفه ايضا منقسمة بنصفين حتى ينتهى ذلك الى الواحد الذى هو غير منقسم بالطبيعة فهذا النوع الذى ذكرنا من العدد هو بما فيه 〈من〉 مرات تنقسم قسمة التنصيف اكثر من مرة واحدة مشبه لزوج الزوج موافق له فى ذلك ومخالف بذلك النوع زوج الفرد واما من جهة انه لا يجرى على ما ذكرنا من التنصيف حتى ينتهى الى الواحد فانه يشبه فى ذلك زوج الفرد ويوافقه ويخالف فيه زوج الزوج ويبعد عنه والذى يعرض لهذا النوع من العدد من الاعراض هو مما يعرض لواحد من النوعين الاخرين وحدهما الا انه يعرض له من ذلك ما ليس هو على ما لواحد منهما على التمام وذلك ان النوعين اللذين ذكرنا قد كان الحد الاعظم وحده من احدهما منقسما وكان الحد الاصغر وحده من الاخر غير منقسم واما هذا النوع فليس الامر فيه كواحد من هذين على التمام وذلك ان الحد الاعظم منه يقع فيه القسمة الى حدين متساويين اكثر من مرة واحدة وان الحد الاصغر منه يليه مما لا ينقسم اكثر من شى واحد وايضا فان لهذا النوع من العدد ابدا اجزآ ما لا تخالف قسمتهما مقدار ما فيها من الاحاد ولا هى من غير جنسه وذلك موافق لما يعرض للعدد الذى يقال له زوج الزوج ولهذا النوع ايضا ابدا اجزا اخر تخالف قسمتها مقدار ما فيها من الاحاد وهى من غير جنسه مثل عدد كد فان بعض اجزايه لا يخالف تسميتها

مقدارها وهى الربع لانه لا يخالف الستة ولا النصف الاثنى عشر ولا السدس الاربعة ولا الجز من الاثنى عشر الاثنين وبعض اجزايه يخالف تسميته مقداره وهى الثلث فانه يخالف الثمانية والثمن ثلثة والجز من كد 〈منه〉 الواحد وساير هذه الاعداد على هذا المثال وهذا النوع من العدد يتولد ويوجد بطريق من الطرق مركب وقد يستدل من هذا الطريق على ان هذا النوع من العدد هو كالممتزج من النوعين الاخرين اللذين قبله وذلك ان زوج الزوج يكون بان يوجد الاعداد الازواج المتولدة ابدا من اضعاف الواحد واما زوج الفرد فيتولد عن الاعداد الافراد المتولدة المبتدية من الثلثة اذا اضعفت فيجب ان يكون من هذا النوع الثالث من الاعداد الازواج انما يستخرج من هذين النوعين معا اذا كان مشاركاً لهما فتضع الاعداد الافراد المتولدة المبتدية من الثلثة على حذة فى سطر واحد وعلى نظامها كذا ج ه ز ط يا يج يز يط وما بعد ذلك وتضع ايضا زواج الازواج المبتدية من الاربعة على الولآ فى سطر اخر على ترتيب هاكذى د ح يو لب سد قكح رنو ثيب وما بعد ذلك حتى يبلغ الانسان حيث احب ثم تاخذ العدد الاول من الاعداد التى فى احد السطرين ايهما كان فتضربه فى الاعداد التى فى جميع السطر الاخر على الولا وتثبت الاعداد المجتمعة من ذلك ثم تاخذ العدد الثانى من الاعداد التى فى السطر الذى اخذنا ما فى اوله فتضربه فى تلك الاعداد التى ضربنا فيها العدد الاول حتى تنتهى الى الموضع الذى كنا انتهينا فكل واحد من الاعداد التى تجتمع لنا من ذلك فهو زوج الزوج الفرد ونمثل لما قلنا مثالاً وهو انا نضرب اول الاعداد التى فى سطور الاعداد الافراد فى جميع الاعداد التى فى السطر الاخر فنضرب ج فى د و ج فى ح و ج فى يو و ج فى لب ونفعل مثل ذلك دايماً فيكون الاعداد المجتمعة يب كد مح صو وبنبغى ان تثبت هذه الاعداد فى سطور ما ثم نبتدى ابتدا اخر من العدد الثانى هو

الخمسة فنفعل به مثل الذى فعلنا بالعدد قبله فنضاعف الاربعة خمس مرات... والستة عشر خمس مرات والاثنين وثلاثين خمس مرات فيكون من هذه الاعداد ك م ف قس ثم يفعل بالعدد الثالث ايضاً وهو السبعة مثل الذى فعلنا بالعدد الذى قبله فنضاعف الاربعة سبع مرات والثمانية سبع مرات.. والاثنين وثلثين سبع مرات فيجتمع من هذه الاعداد كح نو قيب ركد وكلما سلكت مثل هذه السبيل وجدته موافقا لما تريد ان شا الله

فان نحن وضعنا الاعداد التى تجمع من كل واحد من التضاعيف فى سطر على حذة وجعلنا سطورها متوازية ظهر لنا من امرها شى عجيب وهو ان الاعداد الاخذة منها عرضاً يعرض لها الخاصة التى للاعداد التى يقال لها ازواج الافراد وذلك ان العدد الاوسط منها ابدا يكون نصف الطرفين ان كان الذى يتوسطهما عدداً واحداً فاما ان كان الذى يتوسطهما عددين فانهما اذا جمعا مساويان لهما اذا جمعا واما الاعداد الاخذة طولاً فيعوض لها الحال الخاصة التى للاعداد التى يقال لها ازواج الازواج وذلك ان الذى يكون من ضرب الطرفين احدهما فى الاخر مساو للذى يكون من ضرب الاوسط فى نفسه ان كان المتوسط واحداً او من ضرب المتوسطين احدهما فى الاخر ان كان المتوسط عددين فتكون الاعراض التى تعرض لهذا النوع هى التى تعرض للنوعين الاخرين فقط بمنزلة الشى المركب بالطبيعة من ذلك الشيين ن

القول فى الفرد

(١١) واما العدد الفرد فانه وان كان مخالفاً للعدد الزوج خلافاً بعيداً من المشاركة اذ كان العدد الزوح ممكناً ان ينقسم بقسمين متساويين وكان العدد الفرد لا يمكن فيه ذلك فانا اذا قسمناه وجدنا له ثلثة انواع مختلفة كما ان لعدد الزوج ثلثة انواع والواحد من انواع العدد الفرد يقال له الاول والذى ليس بمركب والنوع المقابل لهذا النوع يقال له الثانى والمركب وها هنا نوع ثالث من العدد الفرد يوجد متوسطاً فيما بين هذين كتوسط ما بين الطرفين فهو يوجد بذاته ثانياً مركباً ويكون بقياسه الى عدد اخر اولا عنده غير مركب فاما الانوع الاول من هذه الثلثة الانواع الذى يسمى الاول وغير المركب فانه يكون متى لم يكن للعدد الفرد جز سوى الجز الذى يشتق اسمه من اسم ذلك العدد وهو الجزالذى يجب اضطراراً ان يكون واحداً مثل عدد الثلاثة والخمسة والسبعة عشر والثلاثة وعشرين والواحد وثلثين فكل واحد من هذه الاعداد لا سبيل الى ان يوجد له جز يسمى منه باسم غير الاسم المشتق من نفس ذلك العدد وهذا الجز من كل واحدا من هذه الاعداد هو الواحد وذلك ان عدد الثلاثة انما له ثلث فقط وثلثه الواحد وعدد الخمسة انما له خمس فقط وعدد الاحدى عشر انما له جو واحد من احد عشر وعدد الواحد وثلثين انما له جز من لا وكل واحد من هذه الاجزا التى ذكرنا من كل واحد من هذه الاعداد هو الواحد وانما سمى هذا النوع من انواع العدد اولاً لانه انما يمكن ان يعده المقدار المشترك الاول المتقدم لجميع الاعداد فقط وليس له مقدار اخر يعده ومع ذلك ايضاً فانه لا يمكن ان يتولد هذا العدد من عدد يتركب مع نفسه لكن الواحد وحده متى ركب خمس مرات كان منه الخمسة ومتى ركب سبع مرات كان منه السبعة وساير الاعداد التى ذكرنا على حسب مقاديرها واما اذا ركب هذا النوع الذى ذكرنا مع نفسه فانه يتولد منه غيره وكان ساير الاعداد انما تبتدى من هذه فتكون هذه الاعداد لها بمنزلة الينبوع والاساس الذى منه ابتداوها ولهذا السبب سميت اعداد اول لانها كمبادى المتقدمة لتلك واما الابتدا الذى ليس بمركب

والذى هو بمنزلة العنصر لجميعها فهو الواحد وهو الذى اليه ينحل جميعها على طريق العنكر ومنه يتركب واما الواحد فليس ينحل الى شى ولا هو مركب من شى

(١٢) واما العدد الثانى المركب فهو ايضاً عدد فرد لانا قد نجده مع النوع الاخر من جنس واحد وليس هذا النوع فيه شى هو بمنزلة الاصل وذلك انه انما يتولد هذا النوع عن تركيب نوع اخر ولذلك عرض ان ينقسم الى اجزا اكثر من واحد وعرض له ايضاً ان يكون بناوه من جز مخالف له فى التسمية او من اجزا مخالفة له فى التسمية والجز منه الذى يشتق له الاسم منه هو ابدا الواحد كما هو فى جميع الاعداد الباقية واما جزوه المخالف له فى التسمية او اجزاوه المخالفة فى التسمية فليس يمكن ان يكون شى منها واحدا فى شى من الاوقات لكنها يكون العدد والاعداد التى منها ركب ذلك العدد مثل التسعة والخمسة عشرة والواحد وعشرين والخمسة وعشرين والسبعة وعشرين والثلثة وثلثين والتسعة وثلاثين وذلك ان كل واحد من هذه الاعداد يعده الواحد كما انه يعد ساير الاعداد وله جز قد اشتق اسمه من اسمه كما لساير الاعداد بسبب الطبيعة التى تعم هذا الجنس وله مع ذلك جز او اجزا مخالفة لهذا الجز مخالفة تسميته اما عدد التسعة منها فان له ثلثاً وذلك يخالف التسعة وللخمسة عشر ثلث وخمس وهما جميعاً غير الجز من خمسة عشر واما عدد كا فان له سبعاً وثلثاً وهما غير الجز من كا وكذلك ايضاً لعدد كه خمس وهو غير الجز المشتق الاسم منه وهو الجز من كه وانما سمى هذا الضرب من الاعداد ثانياً لان مع الواحد مقدار اخر يقدره وانه ليس بمبدا لنوع لكن ابتداوه من تركيب نوع اخر غيره اما التسعة فمن الثلاثة واما يه فمن الخمسة مع الثلثة

وما بعد ذلك على هذا القياس وانما سمى هذا الضرب من العدد مركباً للسبب الذى ذكرنا بعينه وذلك انه ينحل الى الاشيا التى من اجتماعها كان قوامه اذ كانت تلك الاشيا تقدره ولم يكن فى الاشيا التى تنحل الى شى شى غير مركب لكنها ابدا مركبة

(١٣) فهذان النوعان اللذان ذكرنا من انواع العدد الفرد نوعان متقابلان وقد يوجد للعدد الفرد نوع اخر ثالث فيما بينهما بمنزلة الشى المعمول منهما جميعاً وهو نوع متى تأمله المتأمل مفرداً وجده ثانياً مركباً ومتى قرن بعدد اخر قد يوجد معه اولا غير مركب ذلك يعرض متى كان العدد مما يعده مع المقدار فيكون لذلك العدد بهذا السبب جز او اجزا مخالفة اسماوها للجز الذى يشتق له الاسم من ذلك العدد وكان مع ذلك العدد عدداً اخر قصته مثل قصته الا انه مخالف بانه لا يمكن ان يعده وصاحبه عدد مشترك لهما ولا ان يكون فى صاحبه جز او اجزا موافقة للاجزا التى فيه فى الاسم بتة مثل التسعة بقياس الخمسة وعشرين فان كل واحد من هذين بنفسه ثان مركب واما صاحبه فانما يوجد له وله مقدار واحد يعدهما جميعا وهو الواحد وليس لهما جز متشابه التسمية منهما جميعاً لكن لاحدهما ثلث وليس للاخر ثلث وللثانى خمس وليس للاول خمس ن

فاما الطريق الذى به يكون وجود هذا النوع من العدد فانه طريق سماه اراسطنانس الغربلة وانما سمى بهذا الاسم لانا باستعمالنا اياه انما ناخذ الاعداد الافراد مختلطة غير مميزة فنميزها بهذا الطريق ونصفها كما نميز الشى بالغربال او بالة اخرى مما يشبه الغربال ونجد الاعداد الاول التى ليست مركبة ونفردها على حذة والاعداد الثانية المركبة على حذة والاعداد التى هى كالخلط من هذين على حذة وهذا الوجه الذى ذكرنا وسميناه الغربلة هو على ما اصف نضع جميع الاعداد الافراد الحادية من الثلاثة على الولا الى اى مقدار اردنا من طول سطر من السطور فنبتدى من اول عدد فى ذلك السطر فننظر الى اى الاعداد يعدها ذلك العدد مما

فى ذلك السطر فنجده يترك عددين وبعد عدداً ثم يترك عددين ويعد عدداً ولا يزال الامر جارياً على هذا الى اى موضع اردنا ان ينتهى اليه من هذه الاعداد ن

وليس عدد المرات التى يعد العدد الاول من هذه الاعداد ما يعده منها كيف [ما] ما اتفق وعلى غير امر مفهوم السبيل لكنه يعد اول عدد يعدده منها وهو الذى يتجاوزه بعددين بمقدار عدد الاحاد التى فى العدد الاول من اعداد ذلك السطر اعنى انه يعده بعدد الاحاد التى فيه وذلك انه يعده ثلثة مرات فاما

العدد الثانى منها وهو الذى بعد العدد الذى ذكرنا بعددين فان العدد الاول يعده بعدد الاحاد التى فى العدد الثانى من الاعداد التى فى ذلك السطر وذلك انه يعد خمس مرات فاما العدد الذى بعد الذى ذكرنا بعددين فان العدد الاول يعده بعدد الاحاد التى فى العدد الثالث من الاعداد التى فى ذلك السطر وذلك انه يعده سبع مرات واما العدد الذى يتجاوز ذلك بعددين اخرين فان العدد الاول ايضا يعده بعدد الاحاد التى فى العدد الرابع من الاعداد التى فى ذلك السطر وذلك انه يعده تسع مرات وعلى هذا المثال يجرى الامر فيما بعد ذلك دايماً فاما اذا جعلنا ذلك وجلعنا الى العدد الثانى من الاعداد التى فى ذلك السطر فنظرنا اى الاعداد يعدها ذلك العدد فنجده يترك ابدا اربعة اعداد ويعد عدداً وكذلك نفعل بكل اربعة اعداد منها وعدد على الولآ الا انه انما يعد العدد الاول منها بعدد الاحاد التى فى العدد الاول من اعداد ذلك السطر وذلك انه يعده ثلثة مرات ويعد العدد الثانى منها بعدد الاحاد التى فى العدد الثانى من اعداد ذلك السطر وذلك انه يعده خمس مرات ويعد العدد الثالث منها بعدة الاحاد التى فى السطر الثالث ولا يزال الامر يجرى على هذا فيما بعد ذلك دايماً وايضا فانا اذا رجعنا فجعلنا العدد الذى يعد غيره العدد الثالث من الاعداد التى فى ذلك السطر وهو عدد السبعة وجدناه يعد الاعداد التى تجرى على ترك ستة اعداد ستة اعداد فيما بين كل عددين منها الا انه يعد العدد الاول منها بعدد احاد الثلثة الذى هو اول الاعداد التى فى ذلك السطر ويعد العدد الثانى منها بعدد احاد الخمسة التى هى العدد الثانى من الاعداد التى فى ذلك السطر ويعد العدد الثالث منها بعدد احاد السبعة التى هى العدد الثالث من اعداد ذلك السطر وما بعد ذلك يجرى على هذا القياس دايماً بلا مخالفة ولا تغير فيكون الامر فى الاعداد التى تعد غيرها وترتيبها جارياً على حسب ترتيب الاعداد التى فى ذلك

السطر على الولآ ويكون الامر فى عدد ما يترك من الاعداد فيما بين العدد الذى يعده كل واحد منهما وبين العدد الذى يعده مما بعده جارياً على حسب ترتيب الاعداد الازواج المبتدية من الاثنين الاخذة على الولا دايماً على حسب ضعف عدد المواضع التى رتبت فيها الاعداد من اول السطر الى الموضع الذى فيه ذلك العدد ويكون الامر فى عدد المرات التى يعد كل واحد منها ما بعده من الاعداد جارياً على حسب ما فى الاعداد الافراد المبتدية من الثلثة الاخذة الى ما لا نهاية على الولا من عدد الاحاد فان انت وضعت علامات على الاعداد التى يعدها الاعداد فانك ستجد الامر فى الاعداد التى تعد اعداداً اخر على ما اصف اما بعضها فربما وجدتها جميعاً تعد عدداً واحداً بعينه وربما لم تجد للعدد عددين يعد انه وربما لم تجد لبعض تلك الاعداد الموضوعة عدداً يعده فى جميع تلك الاعداد ولكنك تجد بعض الاعداد الافراد لا يعده عدد بتة وتجد بعضها يعده عدد واحد فقط وتجد بعضها يعده عددان او اكثر من ذلك فيكون قد غربلنا هذه الاعداد وميزناها فوجدنا بعهضا وهى التى لا يعدها عدد بتة اعداد اول غير مركبة ووجدنا بعضها وهى التى يعدها عدد واحد فقط بعدد ما فيه من الاحاد اعداد انما لها جز واحد فقط مخالف للجز الذى يشتق اسمه من اسم ذلك العدد ووجدنا بعضها وهى التى يعدها عدد غير عدد الاحاد التى فيه او يعده اكثر من عدد واحد لها اجزا اكثر من واحد مخالفة فى التسمية للجز الذى يشتق له الاسم من ذلك العدد واما النوع الثالث المشارك لهذين النوعين جميعاً فهو نوع الاعداد منها التى متى كانت على الانفراد كانت اعدادا ثانية مركبة واما بعضها عند بعض فانها اول غير مركبة فاذا عد عدد [عدداً] ما العدد الذى عنه تولد فقط بقدر ما فيه من الاحاد وقيس ذلك العدد بعدد اخر من الاعداد متى تولدت كتولده مثل

عدد التسعة التى تولد عن عدد الثلثة بان عده بمثل عدد ما فيه من الاحاد اذ كان قد عده ثلاث مرات اذا قيس بعدد الخمسة وعشرين الذى يعده عدد الخمسه بمثل عدد الاحاد التى فيه اذ كان قد عده خمس مرات لم يكن لهذين العددين مقدار مشترك يعدهما جميعاً غير الواحد ولكى يكون لنا طريق من الطرق نعرف به الاعداد التى بعضها اول عند بعض لان تلك ليس لها مقدار مشترك يعدها غير الواحد وان لهذه مقدار غير الواحد يعدها وهو عدد من الاعداد ونعلم به متى كان العددان مما له عدد يعده اى عدد ذلك العدد فانا نقول انه متى كان لنا عددان فردان واردنا ان نعلم هل العددان اللذان وضعنا اولين احدهما عند الاخر غير مركبين امرهما ثانيان مركبان وان كانا ثانيين مركبين اى عدد مشترك يعدهما جميعاً فينبغى ان نقيس كل واحد من ذينك العددين بصاحبه وينقص الاقل من الاكثر ابداً ما امكن ان ينقص منه من عدد المرات ثم ينقص من ذلك العدد الاقل ما كان بقى ما امكن ان ينقص من عدد المرات ثم ينقص ما يبقى ايهما مما بقى قلبه ما امكن ايضاً من عدد المرات فنجد اضطراراً ان يقضى بنا الامر فى هذا التنقيص اما الى ان تنتهى البقية التى تفضل الى الواحد واما الى ان تنتهى الى عدد ويجب ايضا ان يكون ذلك العدد الذى ينتهى اليه عدداً فرداً فان كان الشى الذى افضى اليه الامر من بعد التنفيص واحداً كان ذلك دليلاً على ان العددين اللذين تناقصا كل واحد منهما اول عند الاخر غير مركب وان كان الشى الذى افضى اليه الامر عدداً ما فرداً فان ذلك دليل على ان العددين ثانيان مركبان احدهما عند الاخر وان المقدار المشترك الذى يعدهما هو ذلك العدد الذى افضى اليه الامر فى التنقيص مثل عدد الثلثة وعشرين من الخمسة والاربعين فيبقى كب واذا نقص ذلك من كج بقى واحداً واذا نقص ذلك من كب ما امكن من عدد المرات افضى الامر الى الواحد فنعلم من ذلك ان هذين العددين اولان

كل واحد منهما عند الاخر والمقدار المشترك الذى يعدهما هو الواحد الذى اليه انتهيا لما تناقصا فان جعل الانسان العددين اللذين نريد ان نمتحنهما عدد الواحد والعشرين وعدد التسعة والاربعين فانا ننقص الاصغر من الاكبر فيبقى ثمانية وعشرون ثم ننقصه منه ايضا مرة اخرى وذلك انه يمكن ان ننقصه منه مرة ثانية فيبقى السبعة ثم ننقص السبعة من الواحد والعشرين فيبقى اربعة عشرة ثم ننقص السبعة من ذلك مرة ثانية اذ كان ذلك ممكناً فيكون ما يبقى سبعة فاما السبعة التى بقيت فليس يمكن ان ننقص منها [ان ينقص منها] السبعة واذ كان الشى الذى اليه ينتهى التنقص هو عدد السبعة فان ذلك دليل على ان عددى الواحد وعشرين والتسعة واربعين اللذين كنا اردنا ان نمتحنهما اولاً كل واحد منهما ثان مركب عند الاخر وان المقدار المشترك الذى يعدهما سوى المقدار المشترك لجميع الاعداد الذى هو الواحد هو السبعة

(١٤) وايضا فانا نرجع الى اول الامر فنقول ان الاعداد الازواج بالجملة منها زايدة على التمام ومنها ناقصة وهذان الصنفان هما كالمتقابلين الموضوعين فى الطرفين ومنها صنف متوسط فيما بين هذين وهى صنف الاعداد التامة واما الصنفان اللذان قلنا انهما متقابلان وهما الزايد على التمام والناقص عن التمام فانهما من جنس الاضافة التى للاشيا الخارجة عن المساواة والخروج عن المساواة ينقسم الى الكثرة والقلة وليس يمكن ان يفهم الخروج عن المساواة على جهة اخرى غير هاتين الجهتين كما انه لا يفهم الشر ولا المرض ولا الخروج عن الاعتدال ولا قلة الموافقة ولا شى مما يشبه ذلك الا على احدى هاتين الجهتين وذلك انه يفهم من هذه الاشيا فى باب الكثرة افراط المال والامتلا والزيادة على الامر المعتدل والمجاوزة لمقدار الحاجة ويفهم منه فى باب القلة الفقر والخلآ والعدم والتقصير عن مبلغ الحاجة وفيما بين الامر الاكثر والاقل الامر المساوى مثل الفضايل والصحة والاعتدال

ومقدار الحاجة والخيرات وما اشبه ذلك ومن خالص ما فى هذا الصنف واوكده العدد التام وذلك ان العدد الزايد على التمام وهو الذى فيه من الاجزا ما يجاوز ما يحتاج اليه لتمامه بمنزلة حيوان ما متى كان مركباً من اعضآ او اجزآ مجاوزة للمقدار زايدة على التمام مثل ما قال الشاعر... ان يكون للحيوان عشرة السن وعشرة افواه او تسع شفاه او ثلثة صفوف من الاسنان المحددة او مايه يداً واصابع فى احدى اليدين زايدة على ما يحتاج اليه وكذلك ايضا العدد الذى اذا طلب جميع اجزايه ثم جمعت تلك الاجزا فى جملة واحدة وجدت تلك الاجزآ المجملة اكثر منه فان العدد الذى اذا طلب جميع اجزايه ثم جمعت تلك الاجزآ فى جملة واحدة وجدت تلك الاجزآ المجملة اكثر منه فان العدد الذى يقال له الزايد على التمام وذلك انه زايد فى اجزايه على اعتدال العدد التام مثل عددى الاثنى عشر والاربعة وعشرين وغيرهما من الاعداد وذلك ان للعدد الاثنى عشر نصفاً وثلثاً وربعاً وسدساً وجزاً من اثنى عشر وهى الستة والاربعة والثلثة والاثنان والواحد وهذه الاعداد اذا جمعت كان جملتها ستة عشر وذلك اكثر من عدد الاثنا عشر الذى كان لنا اولاً واجزآ هذا العدد زايدة على جميعه واما عدد الاربعة والعشرين فان له ايضا نصفاً وثلثاً وربعاً وسدساً وثمنا وجز من اثنى عشر وجزواً من اربعة وعشرين وهى يب ود و و و د و ج و ب و ا واذا جمعت هذه الاعداد كانت جملتها ستة وثلثين وذلك اكثر من عدد الاربعة وعشرين الذى كان لنا اولاً وانما جمعنا اجزآ ذلك العدد فقط والاجزا ها هنا ايضا اكثر من الكل

(١٥) واما العدد الناقص فهو الذى يعرض فيه ضد ما قلنا فمتى جمعت اجزاوه كان اقل منها اذا قسناه اليها بمنزلة حيوان ما قد عازه فى تركيبه جز من اجزآيه

او عضو من اعضايه الطبيعية فيكون له مثلا عين واحدة مركبة فى جبهته او يكون له يد واحدة او يكون فى احدى يديه اقل من خمس اصابع او يكون بلا لسان او يكون فيه نقصان شى اخر من الاشيا الشبيهة بهذه فهذا الصنف من العدد يقال له العدد الناقص وكان فى اجزايه نقص وتقصير عما شاكله مثل عددى الثمانية والاربعة عشر فان لعدد الثمانية من الاجزا نصفاً وربعاً وثمناً وهى الاربعة والاثنان والواحد فاذا جمع ذلك كانت جملته سبعة وذلك اقل من عدد الثمانية بواحد الذى كان لنا اولاً فاجزا هذا العدد اقل منه واما عدد الاربعة عشر فان له نصفاً وسبعاً وجزاً من اربعة عشر وهى السبعة والاثنان والواحد فاذا جمعت كانت جملتها عشرة وذلك اقل من عدد الاربعة عشرة الذى كان لنا اولاً واجزا هذا العدد اقل من مقدار ما تم به جميعه

(١٦) فهذان الصنفان اللذان ذكرنا من اصناف العدد متقابلان بمنزلة شيين موضوعين فى الطرفين وفى وسط ما بينهما العدد الذى يقال له التام الذى ليست اجزاوه اذا جمعت بزايدة على كله ولا كله يزيد على جملة اجزايه لكنه ابدا مساو لاجزايه والمساوى هو فيما بين الزايد والناقص كما المعتدل بين المفرط والمقصر والمتساوى فى الصوت بين الاحد والاثقل فاذا كان العدد بالجملة عدداً متى جمعت الاجزا التى يمكن ان تكون له واجملت فقيست اليه كانت غير رايدة عليه وكان هو غير زايد عليها قيل لذلك العدد العدد التام قولاً على الحقيقة وهو مساو لجملة اجزايه مثل عدد الستة وعدد الثمانية والعشرين فان للستة نصفاً وثلثاً وسدساً وهى ثلثة واثنان وواحد واذا جمع ذلك كانت جملته ستة وذلك مساو للعدد الذى كان لنا اولاً لا يزيد عليه ولا ينقص عنه واما عدد الثمانية وعشرين فان له من الاجزا النصف والربع والسبع وجزاً من اربعة عشر وجزاً من كح وهو يد ز د ب ا واذا اجملت فى جماعة واحدة كان منها عدد الثمانية والعشرين فلا تكون هذه الاجزا زايدة على جملة هذا العدد ولا جملته زايدة على اجزايه لكنهما متعادلان وهذه هى خاصة العدد التام وقد عرض ها هنا ايضا كما يعرض فى الاشيا المحمودة الفاضلة من انها عزيزة قليلة العدد وان الاشيا المرذولة الخسيسة الرذيلة كثيرة موجودة كذلك

ايضاً الاعداد الزايدة على التمام والناقصة توجد كثيرة غير لازمة للنظام وحسن التأليف فى ادراكنا لها واما الاعداد التامة فانها توجد قليلة العدد لازمة للنظام والترتيب وحسن التاليف الذى يجب فيها وذلك انه انما يوجد فى الاحاد عدد واحد تام فقط وهو الستة وانما يوجد بين العشرات عدد واحد اخر فقط وهو الثمانية والعشرون ويوجد العدد الثالث من الاعداد التامة واحداً فى الميين وهو عدد الاربعماية وستة وتسعين والعدد الرابع من هذه الاعداد فى حدود الالاف وهو الثمانية الاف وماية وثمانية وعشرين وهذه الاعداد التامة يتلو بعضها بعضا على لزوم منها لا نقصان فى عدد الستة وفى عدد الثمانية عدد هكذا وعدد هكذا وهذه الاعداد بالجملة ازواج

واما كون هذه الاعداد وتولدها فهو غامض عسر اذ كانت ليس انما يترك فيما بينها اعداد ما معلومة من الاعداد الازواج ولا زيادتها بعضها على بعض زيادة واحدة معلومة والوجه فيه على ما اصف ينبغى اذا اردنا ذلك ان نضع ازواج الازواج المتوالية المبتدية من الواحد فى سطر واحد حتى ينتهى منها حيث ما اردنا ثم نجمع تلك الاعداد ونزيدها بعضها على بعض واحداً واحداً على تواليها وكلما زدنا واحداً منها نظرنا الى العدد المجتمع من الاعداد اى عدد هو فان نحن وجدناه من الاعداد الاول التى ليست مركبة ضربناه فى اخر الاعداد التى جمعت فما اجتمع فهو ابدا عدد تام وان نحن لم نجد العدد الذى كان اجتمع من جمع ازواج الازواج عدداً 〈اولاً〉 لكن ثانياً مركباً لم نضربه فى شى لكنا نزيد عليه العدد الذى يتلوا الاعداد التى قد جمعنا من ازواج الازواج ثم ننظر الى حال العدد الذى اجتمع لنا فان وجدناه ثانيا مركبا لم نضربه فى شى وتجاوزنا ذلك الى ما بعده فان وجدناه اولاً غير مركب ضربناه فى اخر الاعداد التى كنا جمعنا فما اجتمع فهو ابداً عدد تام واذا انت فعلت مثل ذلك دايماً تولدت الاعداد التامة كلها على الولآ من 〈غير〉 ان يشذ عنك شى منها مثال ذلك انا اذا جمعنا الواحد مع الاثنين ونظرنا اى عدد هو المجتمع منهما وهو الثلثة وجدناه بالمذهب الذى تقدم وصفه

عدداً اول ليس مركباً وذلك انه ليس له 〈جز〉 مخالف له فى التسمية لكن انما له الجز الذى يشتق اسمه من اسم ذلك العدد فقط فلما كان ذلك كذلك ضاعفناه بعدد الاحاد التى فى اخر العدد من الاعداد التى جمعت وهو عدد الاثنين فكان من ذلك عدد الستة وذلك ان الثلثة مرتين تكون ستة فيكون هذا العدد اول الاعداد التامة بالفعل وله من الاجزا ما اذا جمع 〈كان〉 جميعه مساوياً لعدد الستة اما الواحد فهو جزوه الذى اسمه مشتق من اسم ذلك العدد وهو السدس واما الثلثة فهى نصفه وهو بقياس اسم الاثنين واما الاثنان فان اسمها منه ماخوذ من اسم الثلثة التى هى قرينتهما واما عدد الثمانية والعشرين فانه يتولد بهذا الطريق بعينه اذا نحن زدنا عدد الاربعة على جملة ما كان جمعناه وذلك ان جملة الواحد والاثنين والاربعة تكون سبعة وعدد السبعة عدد اول غير مركب لانه انما له من الاجزا الجز الذى يشتق اسمه من اسمه وهو السبع ولذلك ضاعفناه بعدد احاد اجزا الاعداد التى جمعت فصار المجتمع عدد الثمانية والعشرين الذى هو مساو لاجزايه واجزا هذا العدد ماخوذة من الاعداد التى قدمنا ذكرها اما النصف فمن الاثنين واما الربع فمن الاربعة واما السبع فمن جملة الاعداد الثلثة التى جمعت واما الجز من اربعة عشر فمن الجز المقابل للاثنين واما الجز من ثمانية وعشرين فمن الجز الذى يشتق اسمه من اسم ذلك العدد نفسه وهذا الجز من كل عدد هو الواحد واذ قد وجدنا العدد التام الذى فى مرتبة الاحاد وهو الستة والعدد التام الذى فى مرتبة العشرات وهو الثمانية والعشرون فينبغى ان نسلك فى استخراج الاعداد التامة التى بعد هاذين مثل هذا المسلك وذلك انا اذا رجعنا فزذنا على ما كنا جمعنا وجمعنا اليه العدد الذى يتلو تلك الاعداد وهو عدد الثمانية كان الجميع يه واذا فحصنا عن هذا العدد لم نجده عدداً اولاً غير مركب وذلك ان له سوى الجز الذى يشتق له الاسم من اسمه من اجزا ثلث وخمس وهما مخالفان له فى التسمية ولهذا السبب صرنا لا نضر به فى عدد الثمانية لكنا نضم اليه من بعد ذلك عدد

الستة عشر فيكون ذلك عدد الواحد والثلاثين ولما كان هذا العدد اولا غير مركب وجب اضطراراً على حسب الطريق العام الذى كان وصفناه لاستخراج هذه الاعداد ان نضربه فى العدد الذى اخذ اخيرا عند جمعنا لما جمعناه وهو عدد الستة عشر فيكون ما يجتمع اربعماية وستة وتسعين وهو فى مرتبة المايين وكذلك ايضا نستخرج عدد الثمانية الاف والماية والثمانية وعشرين الذى فى الالف وكذلك نفعل دايماً حتى نبلغ حيث ما اراد المريد واما الواحد فهو تام بالقوة فاما بالفعل فليس هو كذلك بتة وذلك انه لما كان الواحد هو اول شى يوخذ من السطر [من السطر] الذى فيه ازواج الازواج اذا اردنا ان نجمع ما فيه نظرنا الى حال هذا الواحد على السبيل التى تقدمنا بامرنا بها ومن اى صنف هو فوجدناه اولاً غير مركب وذلك انه على الحقيقة اول لا على جهة المشاركة فى ذلك كما نجد الاعداد الاخر وهو وحده اول الاعداد كلها وهو غير مركب واذا ضربناه الان فى نفسه اذ كان هو الذى يوخذ بدل الشى المجموع كان المجتمع واحداً لان الواحد مرة واحدة يكون واحداً فالواحد اذا تام بالقوة وذلك انه مساو لاجزايه بالقوة واما التامة الباقية فانها تامة بالفعل

(١٧) واذا قدمنا القول فى الكمية المفردة المفهومة بذاتها فانا ننتقل الان الى القول فى الكمية المضافة الى شى فنقول ان الكمية المضافة لها قسمان هما اعلا ما فيها واعلا اجناسها وهما المساواة والمخالفة وذلك ان كل شى يفهم منه قياس من شى ما الى غيره فليس يخلو من ان يكون الشى الذى يقاس مساوياً لصاحبه وان يكون مخالفاً له وليس هاهنا قسم ثالت غير هذين اما المساويان فهما اللذان لا يزيد احدهما على الاخر ولا ينقص عنه مثل الماية اذا قيست الى الماية او العشرة الى العشرة او الاثنين الى الاثنين او المن الى المن او الرطل الى الرطل او الذراع الى الذراع وما اشبه ذلك ان كان ذلك فى الغلظ وان كان فى الطول وان كان فى الثقل وان كان فى كمية ما اى كمية كانت وهذا الجنس من الاضافة خاصة اعنى جنس المساواة هو غير متجزئ ولا منقسم بذاته وهو كالرييس فى باب الاضافة وذلك انه لا يلزمه ولا يعرض فيه شى من الاختلافات لانه لا يكون حال بعض

المساوى هذه الحال مثلا وحال بعضه حال اخرى لكن المساوى انما يكون مساوياً على جهة واحدة بعينها بلا اختلاف وقرين المساوى لشى وهو الشى الذى يقاس اليه لا ينسب اليه نسبة اخرى ولا يسمى منه باسم اخر غير اسم المساواة لكنه يشاركه فى الاسم مثل مشاركة الصديق الصديق والجار الجار والرفيق الرفيق وكذلك ايضا المساوى لانه مساو لمساو واما الجنس المخالف فينقسم قسمين فبعضه الاعظم وبعضه الاصغر وهما مختلفاً التسمية متضادان واختلافهما فى التسمية يكون فى باب الكمية وفى باب الاضافة وذلك ان الاعظم هو اعظم من شى غيره والاصغر الذى هو عكس ذلك هو اصغر من شى غيره اذا قيس اليه والاسم الذى يسمى به كل واحد منهما غير اسم صاحبه مثل الاب والابن والضارب والمضروب والمعلم والمتعلم وما اشبه ذلك وايضا فان الاعظم اذا قسناه فكانت هذه قسمة ثانية القسم الى خمسة انواع واحد انواعه ذو الاضعاف والنوع الثانى الزايد جزاً والنوع الثالث الزايد اجزا والنوع الرابع ذو الاضعاف الزايد جزاً والنوع الخامس ذو الاضعاف الزايد اجزا وايضا فان الجنس المقابل لهذا وهو الاصغر له خمسة انواع مقابلة للخمسة الانواع التى فى جنس الاعظم التى قد ذكرناها انفاً كما ان الاصغر باسره مقابل للاعظم باسره كذلك يقابل كل نوع من صاحبه وهى تسمى بمثل اسما تلك اذا اخذت على الولآ الا انه يزاد فى كل اسم منها ذكر المقابلة الزايدة جزاً المقابلة للزايدة اجزا المقابلة لذوات الاضعاف الزايدة اجزآ

(١٨) وايضا فانا نبتدى من اول هذه الانواع فنقول ان ذا الاضعاف هو اول انواع الاعظم واسبقها بالطبيعة وسنبين ذلك بعد قليل وهو النوع الذى يكون متى قيس الشى الى غيره فوجدت فيه امثال له اكثر من واحد مثل كل واحد من الاعداد اذا قيس بالواحد من الاثنين فيما بعد ذلك فانه يكون عن ذلك انواع ذى الاضعاف على مراتبها وتواليها وذلك ان الاثنين اولاً ضعف الواحد والثلثة ثلثة امثاله والاربعة اربعة امثاله والخمسة خمسة امثاله وما بعد ذلك على هذا المثال يجرى دايماً وذلك

ان قولنا انه يوجد فى ذى الاضعاف امثال القرينة اكثر من مرة واحدة انما يدل على ان فيه من امثاله مرتين او ثلاثاً او اكثر من ذلك بالغاً ما بلغ والنوع النظير لهذا النوع هو المقابل لذى الاضعاف وهو ايضا النوع المقدم بالطبع من انواع الاصغر من الشيين المختلفين وهو ايضا العدد الذى يقاس بعدد اعظم منه فيعده باسره اكثر من مرة واحدة والمرات التى هى اكثر من مرة واحدة تبتدى من مرتين وتتراقى الى ما لا نهاية له فان هو عد الاعظم مرتين اذا قيس به كان الاسم الذى يخص به ان يقال له المقابل للضعف مثل الواحد عند الاثنين وان هو عده ثلاث مرات سمى المقابل للثلثة امثال وما بعد ذلك على هذا المثال واما الجنسان نفسهما فانه لما كان كل واحد منهما وهما ذو الاضعاف والمقابل لذى الاضعاف ذاهبين الى ما لا نهاية له كانت فصولهما وانواعها التى يتقسمان اليهما ذاهبة ايضا الى ما لا نهاية بالطبيعة وذلك ان الضعف يبتدى من الاثنين ويذهب اخذاً فى جميع الاعداد الازواج التى تاخذ واحداً من الاعداد المتوالية الموضوعة على وجهها وطبيعتها وتترك واحداً والاعداد التى تقاس هذه اليها فيكون كل عدد منها ضعفاً لعدد من تلك هى الاعداد المتوالية المبتدية من الواحد الازواج منها والافراد واما الثلثة الامثال فهى الاعداد التى تبتدى من اول الاعداد فتترك عددين منها وتاخذ عدداً ويقال لها الثالثة فى المرتبة مثل الثلثة والستة والتسعة والاثنتى عشر والخمسة عشر والثمانية عشر والواحد والعشرين وما بعد ذلك على هذا المثال وقد عرض لهذه الاعداد ان يكون عدد منها فرداً وعدد زوجاً والاعداد التى هى الاعداد ثلثة امثال لها هى جميع الاعداد التى تتوالى من الواحد بالغا ما بلغه الانسان منها واما الاربعة الامثال فهى التى تترك ثلثة اعداد وتاخذ عدداً واحداً وهى كلها رابعة مثل الاربعة والثمانية والاثنا عشر والستة عشر والعشرين والاربعة وعشرين والثمانية والعشرين والاثنين وثلثين وما بعد ذلك وهذه الاعداد ايضا انما هى اربعة اضعاف الاعداد المبتدية من الواحد وهى تاخذ فيما بعد ذلك الى موضع اراد المريد وقد

عرض لهذه الاعداد ان تكون كلها ازواجاً وذلك انها تترك واحداً وتاخذ واحداً من الاعداد الازواج التى قدمنا ذكرها فيجب اضطراراً ان يكون كل واحد من الاعداد الازواج اذا اخذت على الولآ ضعفا وان تكون الاربعة الاضعاف منها ما جرى على ترك واحد واحد وكذلك ايضا الستة الامثال منها ما جرى على ترك اثنين واحد واحد والثمانية الامثال ما جرى على ترك ثلثة واحد واحد وعلى هذه السبيل يجرى الامر فيما بعد ذلك اما الخمسة الامثال فانها تجرى على ترك اربعة واحد 〈واحد〉 والواحد الذى يوخذ هو الخامس بعد الذى قد اخذ وهذه الاعداد هى خمسة امثال الاعداد المتوالية التى تبتدى من الواحد وواحد منها فرد وواحد زوج مثل الحال فى ترتيب ذوات الثلثة الامثال

(١٩) واما العدد الزايد جزاً فهو النوع الثانى من انواع الاعظم وهو ثانيها فى المرتبة والطبيعة وفيه ابدا ذلك العدد الذى يقاس اليه باسره وزيادة جز واحد من اجزايه فان كان ذلك الجز النصف سمى الاعظم من الاصغر الذى يقاس به باسم بخصه وهو المثل والنصف وسمى الاصغر منه المقابل للمثل والنصف وان كان ذلك الجز ثلثاً سمى الاكبر من الاصغر المثل وثلث وسمى الاصغر منه المقابل للمثل وثلث وان كان الجز ربعاً سمى المثل وربع والمقابل للمثل وربع وعلى هذا المثال يجرى الامر فيما بعد ذلك بالغا ما بلغ ويوجد موافقاً فيكون الذهاب هاهنا ايضا الى ما لا نهاية ويظهر منه اجناس لا نهاية لها واولها المثل والنصف ويعرض فيه ان تكون الاعداد المقابلة لاعداده التى تنسب اليها الاعداد الازواج على الولآلا تخرج عنها الى غيرها والاعداد التى تقرن بهذه هى الاعداد المبتدية من الثلثة التى هى ثلثة اضعاف على مراتبها الاول مع الاول والثانى مع الثانى والثالث مع الثالث مثل الثلثة عند الاثنين والستة عند الاربعة والتسعة عند الستة واثنى عشر عند الثمانية وما اشبه ذلك وان نحن اردنا ان نبحث عن النوع الذى من انواع الزايد جزاً وهو المثل والثلث ذلك الذى يتلو النصف بالطبيعة هو الثلث فينبغى ان تعلم ان الجز

الذى نحده به هو ان يكون فيه جميع العدد الذى يقاس به وجزو منه يكون ثلثه ومثال ذلك ان توجد الاعداد التى هى ...

ولذلك صار ذوات ثلثة امثال المبتدية من الثلثة على مراتبها مثل الاربعة عند الثلاثة والثمانية عند الستة والاثنا عشر عند التسعة وما بعد ذلك على هذا المثال حتى يبلغ الانسان حيث ما شا ومن البين ان قرين المثل والثلث هو المقابل للمثل والثلث هو الذى يوجد باسره فى قرينه مع زيادة ثلثة مثل الثلاثة من الاربعة والستة من الثمانية والتسعة من الاثنا عشر وما بعد ذلك على هذا الترتيب ويبنبغى ان نتفقد الشى الغامض الذى يعرض لهذه الاصناف كلها وهو ان الاعداد الاول الاصلية من كل واحدة من هذه الاصناف لا يبقى بينها وبين التى تقاس بها عدد اخر وان الثوانى منها يترك فيما بينها وبينه عدد واحد وان الثوالث منها يترك عددان وان الروابع تترك ثلثة اعداد والخوامس اربعة وما بعد ذلك على هذا المثال حتى يبلغ الانسان حيثما احب وذلك امر طبيعى ليس مما وضعناه نحن وضعاً واما ان ذا الاضعاف الاول والمتقدم للزايد جزاً فانه امر يتبين فيما بعد بياناً شافياً واما هاهنا فانا نبين ذلك بياناً بسيطاً بان نرسم صوره فى سطور متوازية نضع فى سطورها ذوات الاضعاف كل صنف منها فى سطر على حدة ونجعل فى سطر منها الاعداد التى يوجد فيها نسبة الضعف ثم فى سطر ثالث نسبة الثلثة الامثال وما بعد ذلك فى سطر سطر حتى يبلغ ذوات العشرة الامثال حتى يظهر لنا فى ذلك ويتبين به تغير اجناس ذوات الاضعاف وترتيبها وذهابها الى ما يتلو على طريق مفهوم قايم وانها اقدم بالطبيعة من غيرها ونعلم من ذلك ايضا خواص اخر من خواص الاعداد كثيرة وغامضة. فلتكن الصور التى ذكرنا على ما اصف نصنع فى اول سطر منها الاعداد المبتدية من الواحد على وجوهها وطبيعتها ثم نضع فيها من بعد ذلك ساير ما قد امر بوضعه من انواع ذوات الاضعاف والسطران

الاولان اللذان يبتديان من الواحد وياخذان طولاً وعرضاً بمنزلة حرف الجيم من حروف اليونانين وهو هذا ד يكون ما فى السطرين الثانيين عن كل واحد منهما اللذين هما يبتديان على شبيه شكل حرف الجيم من حروف اليونانيين وهما يبتديان من الاربعة اذا قيس الى ما فى ذينك السطرين الاولين من ذوات الاضعاف ويكون ذلك من النوع الاول من انواع ذوات الاضعاف وذلك ان هذه النسبة هى نسبة الضعف والعدد من الاعداد التى 〈فى〉 احدها يخالف العدد [من] الاول من الاعداد التى فى الاخر بواحد والعدد الثانى يخالف العدد الثانى باثنين ويخالف الثالث بثلثة وعلى حسب ذلك يخالف الرابع الرابع ويخالف

الخامس الخامس وانت تجد ذلك جارياً على هذا فيما بعد ذلك الى حيث ما انتهيت ن

واما السطران الثالثان من كل واحدة من الناحيتين فان ابتداهما المشترك هو التسعة فاذا قيس ما فى كل واحد منهما الى نظيره مما فى ذلك السطر الاول بعينه كان من ذلك النوع الثانى من ذوات الاضعاف وذلك ان هذه النسبة هى نسبة الثلالثة الامثال وايضا فان الاختلاف فيما بين هذه الاعداد وبين التى يقاس بها يجرى على ترتيب الاعداد الازواج وذلك ان الاختلاف الذى بين الاول والاول اثنان وبين الثانى والثانى اربعة وبين الثالث والثالث ستة وذلك شى قد وقع بالطبيعة من امر الاختلاف الذى فيما بين هذه الاعداد التى يقاس بعضها ببعض ويتبين ما قلناه فى نفس الصورة التى قدمنا وضعها والسطر الرابع من كل واحدة من الناحيتين هو الذى ابتداوه المشترك الستة عشر واما القياس هاهنا ينتقل الى النوع الذى قد بينا انه النوع الرابع من انواع ذوات الاضعاف واذا قيست الاعداد التى فى ذلك السطر الاول على مراتبها الاول الى الاول والثانى الى الثانى والثالث الى الثالث وما بعد ذلك على الولآ فان الاختلاف بينها ثلثة ثم ستة ثم تسعة ثم اثنا عشر وما بعد ذلك على تزيد ثلثة ثلثة وذلك شى يوجد فى نفس الصورة على ترتيب فى ذوات الاربعة الامثال ن

وينبغى ان يفهم الامر فى ساير انواع ذوات الاضعاف التى بعد هذه على هذا المثال الى اى موضع اراد المريد ان يبلغه فى الذهاب فيها واما السطر الثانى من كل واحدة من الناحيتين فانه اذا ابتدا من الابتدا المشترك الذى هو الاربعة وتجاوز باقى قياسه ما كنا نفعل الى قياسه الى السطر الثانى عنه وهو خاصه فان الذى يكون عن ذلك هو النوع الاول من انواع الزيادة جزا وهو المثل والنصف وذلك اذا قيس كل عدد من اعداده بنظيره فى المرتبة فتكون الزايدة جزا قد تبعت ذوات الاضعاف وتليها

بطبيعة فيها عجيبة لا بوضع منا وضعناه ولا سنة سنناها مثل الثلثة من الاثنين والستة من الاربعة والتسعة من الستة والاثنى عشر من الثمانية والخمسة عشر من العشرة وما بعد ذلك على هذا المثال حيث ما بلغ الانسان واما الاختلاف فيما بين هذه الاعداد فهو الاعداد المتوالية المبتدية من الواحد مثل ما كان عليه من الاعداد التى ذكرناها انفاً واما الزايده ثلثاً وهى النوع الثانى من انواع الزايدة جزاً فانها تتقدم الى قدام فتوجد فى نسبة الاربعة الى الثلثة والثمانية الى الستة والاثنا عشر الى التسعة والستة عشر الى الاثنا عشر وما بعد ذلك على الولآ واختلاف ما بين هذه الاعداد يتزيد على مثل ما تزيدت عليه الاعداد التى قبلها والامر يجرى فى تولد ساير اضافات ذوات الاضعاف الزايدة جزاً على ما وصفنا لا يخالف ذلك ولا يخرج عنه الى غيره ابدا وايضا فانه يظهر ويتبين من هذه الصورة ان فى الزوايا احاد الاعداد المضروبة اما الزاوية التى فى نفس المبتدا فان فيها الواحد واذا جعلت هذه فى الاولى وجعلت الثالثة الزاوية الاخيرة المقابلة لها وجعلتا الزاويتان الباقيتان اللتان عن الجنبتين كان المجتمع من ضرب الاولى فى الثالثة مساوياً للمجتمع من ضرب ما فى كل واحدة من الزاويتين الباقيتين فى نفسه والذهاب ايضا الى قدام فى كل واحدة من الناحيتين ذهاب مستو من الواحد الى العشرة وكذلك ايضا يكون الرجوع متساوياً فى الناحيتين من العشرة الى الماية وجميع الاعداد التى من زاوية الواحد الى زاوية الماية فى اعداد مربعة متولدة من ضرب الشى فيما يساويه واما الاعداد التى تعدل عن هذه الى ما يجاوزها من الناحيتين فهى اعداد مختلفة الطولين متولدة عن ضلعين غير متساويين وفضل ما بينهما واحد ومتى جمع عددان متواليان من الاعداد المربعة والعددان المسطحان المجاوزان لهما كانت جملة ذلك عدداً مربعاً ابدا وعكس ذلك ايضا اعنى انه ان جمع عددان مسطحان متجاوزان من الاعداد التى ذكرنا والعددان المربعان اللذان يليانهما

فيما بينهما فان المجتمع من ذلك ابدا عدد مربع ن وهاهنا خواص اخر كثيرة مشبهة لهذه متى عنى الانسان بوجودها ظهر له منها امرها وليس هذا الموضع بموضع يصلح لا طالة القول فى امر الصورة التى ذكرنا لان علم ذلك ليس مما يليق بكتاب مدخل فقد يجب ان نرجع الى ما يتلو ما قلناه فنقول ان من بعد الجنسين اللذين ذكرنا من اجناس الاضافة وهما ذو الاضعاف والزايد جزواً ومن بعد الجنسين المقابلين لهما وهما اللذان يسميان بمثل اسمهما مع زيادة ذكر المقابلة وهما المقابل لذى الاضعاف والمقابل للزايد جزواً يوجد هاهنا ايضا فى احد جزى ما ليس بمساو وهو الاعظم نوع الزايدة اجزا وفى الجز الاخر منها وهو الاصغر المقابل للزايدة اجزآ

(٢٠) ويقال للاضافة انها اضافة الزايد اجزآ اذا كان فى العدد الذى يقاس اليه وزيادة اجزا اخر من اجزايه اكثر من جز واحد وقولنا اكثر من جز واحد شى يبتدى من الاثنين ويمضى الى ما بعد ذلك على سبيل الاعداد المتوالية فيصير الاصل والاساس فى الزايدة اجزا الشى الذى فيه جملة قرينه الذى يقاس اليه وزيادة جزين من اجزا ذلك القرين ويخص بان يسمى الزايد جزين ومن بعد هذا النوع ما يكون فيه جملة قرينه وزيادة ثلثة اجزآ منه ويسمى الزايد ثلثة اجزا ثم بعده الزايد اربعة اجزآ ثم الزايد خمسة اجزا وما بعد ذلك يجرى الامر دايماً على هذا المثال واما اصل هذه الاجزا ومبتداها فهو الثلث وذلك انه لا يمكن ان يكون الابتدا هاهنا الا من الثلثة لان ان جعلنا فى شى ما زيادة نصفين من قرينه كنا قد بلغنا بذلك الكل فيكون قد وضعنا بدل الزايد اجزآ ذات اضعاف وذلك ان كل شى يجمع كله ونصفاه معا فان المجتمع يكون مثلى ما كان لنا اولاً فيجب اضطراراً ان يكون الابتدا من الثلثين ثم يتلوهما الخمسان ثم السبعان وبعد ذلك التسعان ويجرى ذلك على توالى الاعداد وذلك ان الربعين مثلاً يرجعان فيكونان نصفاً والسدسين ثلثاً والثمنان ربعاً فيكون هذه الاعداد قد + اسلفت + فصارت بدل الزايدة اجزا

زايدة جزاً ولم يكن ذلك الشى الذى يحتاج الى وضعه لا على حسب ما قلناه نحن ولا على حسب ما يوجبه نسق الكلام واتساق المعانى التى يحتاج الى ذكرها فى هذه الصناعة ومن بعد الزايد اجزا بحاله المقابل للزايد اجزا وهو الذى يكون متى كان العدد موجوداً بجملته فى العدد الذى يقاس به ومع ذلك زيادة اجزا من اجزايه اكثر من جز واحد اعنى جزين او ثلثة او اربعة او خمسة اجزا او شيا مما بعد ذلك

(٢١) واما ترتيب ما فى كل واحد من هذين النوعين وتواليهما فى تولدهما فيوجد متى وضعت الاعداد المتوالية المبتدية من الثلثة ازواجها وافرادها [فقيست بها الاعداد الافراد المحضة وحدها المبتدية من الثلثة ازواجها وافرادها] فقيست بها الاعداد الافراد المحضة وحدها المبتدية من الخمسة على الولآ وقيس الاول منها بالاول كالخمسة بالثلثة والثانى بالثانى كالسبعة بالاربعة والثالث بالثالث كالتسعة بالخمسة والرابع بالرابع كالاحدى عشر بالستة وما بعد ذلك على هذا الترتيب بالغاً ما بلغ فانا متى فعلنا ذلك وقفنا على انواع الزايد اجزا والمقابل للزايد اجزا على مراتبها ووجدناها فى الاعداد الاصلية من التى فيها يوجد كل واحد منها اما اولها فالزايدة جزين ثم الزايدة ثلثة اجزا ثم الزايدة اربعة اجزا وبعدها الزايدة خمسة اجزا وما فوق ذلك على هذا المثال ويتولد من هذه الاعداد الاصلية التى يوجد فيها هذه الاضافات الاعداد التى يوجد فيها ذلك فما يضعف فيه العددان جميعاً اللذان لهما تلك الاضافات او يثنيان فيه أو يضاعفان بالجملة على ما يجرى عليه ترتيب ذوات الاضعاف وينبغى ان تعلم ان اسم الاجزا التى مع ... ماخوذ من عدد يزيد على عدد تلك الاجزا واحداً والجزان اللذان مع لكل هما من ثلثة اجزا والثلاثة اجزا التى مع الكل هى من اربعة اجزا والاربعة اجزا من خمسة اجزا والخمسة اجزا

من ستة على ذلك المجرى اعنى انا نقول الزايد ثلثين ثم الزايد ثلثة ارباع ثم الزايد خمسة اسداس وما بعد ذلك على هذا المثال فالنسب التى قدمنا ذكرها هى النسب البسيطة التى ليست بمركبة من نسب الكمية المضافة واما النسب المركبة من هذه التى هى كالمجموعة من اثنين منها فان منها نسب الاعظم الى الاصغر وهى ذوات الاضعاف الزايدة جزاً وذوات الاضعاف الزايدة اجزآ ومنها من نسب الموخر الى المقدم وهى التى تكون عن هذه وتسمى بمثل اسمايها الا انه يزاد فيها ذكر المقابلة فيقال لها المقابل لذى الاضعاف الزايد جزا والمقابلة لذى الاضعاف الزايد اجزا وعلى هذا المثال يجرى الامر فى تسمية انواع كل واحد منهما واقسامه وفى ان اذكر المقابلة تزاد فى اسم كل واحد من انواع الاعظم وتكون اسماً لنوع الاصغر

(٢٢) ويقال ان النسبة هى نسبة ذى الاضعاف الزايد جزا متى كان فى الاعظم من الشيين اللذين يقاس احدهما الى الاخر امثال الاصغر مراراً اكثر من مرة وزيادة جز واحد من اجزا الاصغر وهذا النوع هو بمنزلة الشى المركب المولف من شيين فهو يختلف فى تسمية كل واحد من انواعه على حسب اصناف تركيبه من الشيين اللذين منهما ركب وذلك انما كان اسم ذى الاضعاف ومن الزايد جزاً وكان قوام هذا الجنس من هذين الشيين صارت اقسامه التى الى الانواع التى تحته اقساماً تختلف تسميتها اما فى الجز الاول من اجزا اسمايها فعلى حسب اختلاف اصناف الجز الاول من اجزا اسم الجنس واما فى الجز الثانى من اجزا اسمايها فعلى حسب اختلاف اصناف الجز الثانى من اجزا اسمه وهو ذو الاضعاف انه يقال انه ضعف وثلاثة امثال او اربعة امثال او خمسة امثال او شى مما يتلو ذلك من الاضعاف وياخذ عن الجنس من الجز الاول من اجزا اسمه وهو الزايد جزاً انه

يقال بدل ما فى الجنس من ذكر الاسما الجزوية الواقعة تحت هذا الاسم على الولا وهى الزايد نصفاً والزايد ثلثاً والزايد ربعاً والزايد خمساً وما بعد ذلك على هذا المثال فيكون ذهابنا فى ذلك اذا نحن ركبنا هذين الاسمين على ما اصف نقول ان منها الضعف الزايد نصفاً والضعف الزايد ثلثاً والضعف الزايد ربعاً والضعف الزايد خمساً والضعف الزايد سدساً وما بعد ذلك على هذا المثال ثم نبتدى ابتدا اخر فنقول ومنها ذو الثلثة الامثال الزايد نصفاً وذو الثلثة الامثال الزايد ثلثاً وذو الثلثة الامثال الزايد ربعاً وذو الثلثة الامثال الزايد خمساً ثم ترجع فنقول ان منها ذو الاربعة الامثال الزايد نصفاً وما بعده وذو الخمسة الامثال الزايد ربعاً وما بعد ذلك على هذا القياس الى ما لا نهاية وذلك ان اسم الجز الاول من جزى الاسم المركب فى ذى الاضعاف الزايد جزاً ابداً يكون ماخوذاً من عدد المرات التى توجد فى الشى الاعظم من جملة الاصغر واما الاسم الجز الثانى من جزى الاسم المركب فى ذى الأضعاف الزايد جزاً [ابدا يكون ماخوذ من عدد المرات التى توجد فى الشى الاعظم من جملة الاصغر واما اسم الجز الثانى من جزى الاسم المركب فى ذى الأضعاف الزايد جزاً] فانه يجرى على حسب الجز الذى مع الاضعاف فى الشى الاعظم من اجزا الاصغر ومثال ذلك ان الخمسة من الاثنين مثلان ونصف والسبعة من الثلثة مثلان وثلث والتسعة من الاربعة مثلان وربع والاحدى عشر من خمسة مثلان وخمس ولا يزال الامر يجرى على النظام ابدا كلما قسنا الاعداد الافراد التى تتوالى مبتدية من الاثنين كل عدد منها بنظيره الاول بالاول والثانى بالثانى والثالث بالثالث وما بعد ذلك على هذا النظام والاعداد المبتدية من الخمسة فيما بينها من الاختلاف خمسة خمسة على الولا نسبتها الى جميع الاعداد الازواج المتوالية المبتدية من الاثنين نسبة المثلين والنصف محضة لا يخالطها غيرها من النسب وذلك اذا قيس كل عدد منها نظيره واذا وضعت الاعداد المبتدية من الثلثة التى فيما بينها من الاختلاف ثلثة ثلثة على الولآ مثل ج و ط

يب يه يح كا فى سطر واحد ووضعت ايضا الاعداد المبتدية من السبعة التى فيما بينها اختلاف سبعة سبعة على الولآ ولم نجعل لذلك نهاية مثل ز يد كا كح له مب مط فى سطر واحد وقيست الاعداد التى فى السطر الذى اعداده اعظم الى الاعداد التى فى السطر الذى اعداده اصغر الاول بالاول والثانى بالثانى والثالث بالثالث والرابع بالرابع وما بعد ذلك على الولآ فانه يظهر من ذلك النوع الثانى من انواع الزايدة جزاً على مراتبه وايضا فانه ان ابتدا اخر فوضعت الاعداد التى هى ذوات الابعة الامثال محضة فى سطر واحد مثل د ح يب يو ك كد لب ووضعت الى جانبه فى سطر اخر الاعداد المبتدية من التسعة التى تزيد فيها بعد ذلك بتسعة بتسعة مثل ط يح كز لو مه ند وقسنا ما فى هذا السطر لما فى السطر الاول كانت لنا من ذلك نسبة نوع من ذى الاضعاف الزايد جزاً وهو نوع الضعف الزايد ربعاً على النظام والترتيب واذا سلكنا من هذه السبيل وجدنا ساير انواع الضعف الزايد جزاً ما نهاية ن

واما نوع اخر فانه يبتدى من الثلثة الامثال الزايد نصفاً مثل السبعة من الاثنين والاربعة عشر من الاربعة وبالجملة جميع الاعداد المبتدية من السبعة المتزيدة سبعة سبعة واذا قيست بالاعداد الازواج المبتدية من الاثنين على مراتبها واذا ابتدانا من العشرة فان العشرة من الثلاثة اول الثلثة الامثال الزايدة ثلثاً والعشرون من الستة هى الثانى من الثلثة الامثال الزايدة ثلثاً والاعداد بالجملة التى هى ذوات عشرة امثال المتوالية اذا قيست بذوات الثلثة الامثال المتوالية كانت من ذلك النسبة التى ذكرنا وقد يمكننا ان نرى ذلك روية اوضح وابين فى الصورة التى قدمنا وضعها وذلك انا اذا قسنا بما فى السطر الاول منها ساير السطور على مراتبها كل سطر

منها بجميع ما فى السطر الاول ظهرت من ذلك انواع ذى الاضعاف على مراتبها الى ما لا نهاية وانما يقاس الى السطر الاول جميعاً واما اذا قسنا ما فى سطر من السطور بالسطر لمجاور له مما قبله وجعلنا الابتدا من السطر الثانى فانه يحدث لنا من ذلك انواع الزايد جزاً على مراتبها واما الذى ابتدا من السطر الثالث وقيست به وما يتلوه على الولآ الاعداد الافراد المبتدية من الخمسة فانه يكون عن ذلك جميع انواع الزايدة اجزا على مراتبها واما ذوات الاضعاف الزايدة جزاً فان القياس فيها يكون قياساً طبيعياً خاصاً لها ان نحن ابتدانا من السطر الثانى فقسنا بما فيه من الاعداد المبتدية من الخمسة المتزيدة خمسة خمسة على مراتبها الاول منها بالاول والثانى بالثانى والثالث بالثالث وما بعد ذلك على هذا المثال ثم قسنا بها فى السطر الثالث للاعداد المبتدية من السبعة المتزيدة بسبعة سبعة وقسنا بها فى السطر الرابع الاعداد المبتدية من التسعة المتزيدة بتسعة بتسعة ولا نزال نلزم السبيل الموافقة لذلك حتى ينتهى حيث ما اراد المريد ومن البين ان المقادير الصغار التى هى قرينة لهذه تسمى من الكبار بمثل اسما الكبار منها مع زيادة ذكر المقابلة فى اسمايها

(٢٣) واما النسبة الباقية فهى نسبة ذى الاضعاف الزايد اجزا والنسبة المقابلة لها وذو الاضعاف الزايد اجزا هو الذى يكون فيه من امثال قرينه من الاعداد بكليته اكثر من مثل واحد اعنى مثلين او ثلثة امثال او كم مرة كانت الامثال وزيادة اجزا من اجزايه اكثر من جز واحد اعنى جزين او ثلثة او اربعة او خمسة اجزا او ستة او غير ذلك مما يتلوه وليس فى هذه الاجزا نصف للاسباب التى قدمنا ذكرها فاما اثلاث وارباع واخماس وما اشبه ذلك [فان فيها] وليس يعسر ولا يعد ان يفهم اصناف هذا النوع من النسبة اذا شابهنا بها اصناف الانواع التى قبلها وحذونا حذوها فيكون الضعف الزايد جزين ثم الضعف الزايد ثلثة اجزا ثم

الضعف الزايد اربعة اجزا ويكون لنا ايضا الثلثة الامثال الزايدة جزين والثلثة الامثال الزايدة ثلثة اجزا والثلثة امثال الزايدة اربعة اجزآ وما بعد ذلك على هذا القياس مثل... الثلثة فانها ضعف زايد ثلثين والستة عشر من الستة وبالجملة جميع الاعداد المبتدية من الثمانية المتزيدة بثمانية ثمانية اذا قيست بالاعداد المبتدية بثلثة ثلثة كل عدد منها بنظيره وقد يمكن الانسان اذا تبع المسالك التى قد وصفناها ان يجد فى ساير الانواع الترتيب والنظام الذى يجرى عليه امرها واذا قلبت النسبة هاهنا فجعلت نسبة الاصغر الى الاكبر سميت انواعها مثل تلك الاشيا المقدمة مع زيادة ذكر المقابلة فيها وكان ذهابها الى قدام كذهاب تلك

وهذا اخر ما نحتاج الى وصفه من امر العشر النسب العددية على سبيل المدخل الذى يجب ان نقدم وهاهنا طريق من الطرق سهل يضطر بنا الامر اليه فى القول الطبيعى العام وهو طريق اصله ماخوذ من امر بين واضح عندنا ليس مما يشك فيه او ان يكون فيه تشويش وهو ان الشى الاجود والشى المحدود الذى يحاط به علماً اقدم من الطبيعة من الشى الذى ليس بمحدود ولا مدرك... وذلك ان اخر الشى الذى ليس بمتناه ولا محدود وانواعه انما تقبل للصورة وتتناهى وتحد ويوجد لها النظام والترتيب الذى بتلك وعنها كما ان الاشيا الخارجة عن المساواة وعن اشتراك الاسم انما تصير على ما قلنا بشى يدل عليها او مقدار يقدرها وكذلك ايضا القوة النطقية من قوى النفس هى التى تزين القوى التى ليست بنطقية وتلزمها فالحمية والشهوة اللتان هما من جنس الشى الخارج عن الاستوا والترتيب انما يلزمها نظام وترتيب القوة الفكرية التى مقامها مقام المساواة ومقام الشى الذى لا اختلاف فيه وعن افعال هذه القوة يكون فينا الفضايل التى تسمى الخلقية وهى العفة والشجاعة وليس العريكة والتقشف وما اشبه ذلك

وينبغى ان نفحص الان عن هذا الباب الذى ذكرنا وقلنا انه يحتاج اليه فى الاشيآ الطبيعية التى ذكرنا وهو باب نعلم منه المساواة وحدها قبل غيرها يتولد عنها جميع انواع الذى ليس بمساو 〈و〉فصول انواعه وانها له بمنزلة الوالدة والاصل الذى عنه يكون وذلك انا نضع ثلثة حدود فيها اعداد ما متساوية اما اولاً فلنجعلها احاداً ثم نجعل ما نضعه فى ثلثة حدود اخر ثلثة ثلثة وبعدها اربعة اربعة وبعد هذه خمسة خمسة ولا نزال نفعل مثل ذلك حتى نبلغ حيث ما اردنا واذا فعلنا ذلك راينا انه يعرض من ذلك فى كل واحد من الاشيا التى وضعنا على جهة عجيبة ليست من وضع الناس لكن من نفس الطبيعة التى تتولد اولاً ذوات الاضعاف والذى يتولد منها اولا هذا الضعف وبعد ذلك الثلثة الامثال وبعد ذلك الاربعة الامثال ويجرى الامر فيها على هذا النظام الى ما لا نهاية ثم يتولد منها بعد هذا الجنس جنس الزايد جزاً والذى يتقدم تولده من هذا الجنس هو النوع الاول منه وهو المثل والنصف وبعده الذى يتلوه وهو المثل والثلث ومن بعد هاذين النوع الذى يتلوهما فى المرتبة وهو المثل والربع ثم المثل والخمس ثم المثل والسدس ولا يزال الامر يجرى على القياس الى ما لا نهاية له ثم الجنس الثالث الذى يتولد من بعد هذا هو الزايد اجزآ والمتقدم منه هو الزايد جزان ويتلوه من بعده الزايد ثلثة اجزا ثم الزايد اربعة اجزآ ثم يتبعه الزايد خمسة اجزا ولا يزال الامر يجرى على هذا الى اى موضع تادى اليه من يتبع ذلك الا ان هاهنا وصايا يجب ان نحفظ بمنزلة السنة الطبيعية فلا تخالف ولا تجاوز ولا يعدل عنها فى شى من الطريق والمسلك الذى قلنا انه اذا سلك وابتدى بذلك من المساواة لم يشذ شى من النسب والثلث الوصايا التى ذكرنا هى هذه ينبغى ان نجعل الاول من الاعداد التى نستخرجها مساوياً للاول من المتساوية ونجعل الثانى مساوياً للاول وضعف الثانى ومثل الثالث وذلك انه متى عمل بهذين القولين تولد عن الثلثة الحدود المتساوية التى قد وضعناها جميع انواع ذى الاضعاف على مراتبها بمنزلة الاشيا التى تنشو وتنبت من الشى والذى يتولد من المساواة اولاً

هو الضعف ومن الضعف الثلثة الامثال ومن الثلثة الامثال ما يتلوه وهو الاربعة الامثال ومن الاربعة الامثال الخمسة الامثال على ترتيب يكون ذلك على نظام دايماً واما ذوات الاضعاف المتوالية فان حدودها اذا قلبت تولد عنها بطبيعة فيها عجيبة متى استعملت فيها الثلاث الوصايا التى ذكرناها الزايدة جزاً والذى يتولد من ذلك فليس هو كيف ما اتفق ولا هو على غير نظام لكن مع لزوم الامر الواجب الذى ينبغى اما الضعف الذى هو اولها فانه اذا قلب تولد عنه المثل والنصف الذى هو الاول من ذوات... المثل والثلث الذى هو الثانى من تلك ثم يتولد الزايد ربعاً من الاربعة الامثال وبالجملة فان كل واحد من هذه الانواع يتولد من تلك الانواع وهو النوع الذى فى اسمه اشتقاق من اسمه وايضا فانا اذا ابتدانا ابتدا اخر قلنا ان الزايدة جزاً اذا وضعت بمنزلة الشى المولد وقلبت تولد عنها ما هو تابع لها بالطبع وهو الزايد اجزا اما من المثل والنصف فالزايد جزان واما الزايد ثلثاً فالزايد ثلثة اجزا ومن الزايد ربعاً الزايد اربعة اجزا وعلى هذا القياس يجرى الامر فيما بعد ذلك الى ما لانهاية له واما اذا لم تقلب الحدود لكن توضع على الاستوا فانه يتولد على الزايدة جزاً الماخوذ على الولآ اذا استعملت فيها الوصايا التى ذكرنا انواع ذى الاضعاف الزايد جزاً واما الضعف الزايد نصفاً فانه يتولد عن المثل والنصف الذى هو اول انواع الزايد جزاً واما الضعف الزايد ثلثاً فعن الثانى من تلك الانواع وهو الزايد ثلثاً واما الضعف الزايد ربعاً فعن الثالث منها وهو الزايد ربعاً ولا يزال الامر يجرى على هذا دايماً وايضا فان الانواع التى تولدت عن الزايدة جزاً حيث قلبت اعنى الزايدة اجزا اذا فعل بها مثل هذا الفعل الذى ذكرنا واستعملت الوصايا التى قدمنا تولد عنها ان وضعت حدودها على استوا وان قلبت الاعداد التى يظهر فيها الاضافة الباقية وقد يكتفى من المقالات فى تولد جميع الانواع التى ذكرنا ومراتبها الكاين عند وضع الحدود على استوا والكاين بذكر ما اصف وهو ان المناسبة والاضافة التى للمثل والنصف اذا قلبت الحدود من ناحية الحد الاعظم كانت عن ذلك اضافة من الاضافات التى فى نسبة المثل والاجزا وهى نسبة المثل والثلثين واما اذا لم

تقلب الحدود لم توجد على استوا من ناحية الحد الاصغر فانه يتولد عن ذلك نسبة من نسب الامثال والجز وهى الضعف الزايد نصفاً مثل التسعة والستة والاربعة فانه يتولد عنها التسعة والخمسة وعشرون ويتولد عنها الاربعة والعشرة والخمسة وعشرون واما من نسبة المثل والثلث اما متى ابتدى من ناحية الحد الاعظم فانه يتولد عن ذلك من ذوات المثل والاجزا الزايد على المثل ثلثة ارباع واما متى ابتدى من ناحية الحد الاصغر فانه يتولد عن ذلك الضعف الزايد ثلثاً كما يتولد عن الستة عشر والاثنا عشر والتسعة اعداد يو كح مط او اعداد ط كا مط واما من الزايدة ربعاً اذا ابتدى من الحد الاعظم فانه يتولد نوع من الزايدة اجزا وهو الزايد اربعة اخماس واما اذا ابتدى من الحد الاصغر فانه يتولد نوع من ذى الاضعاف الزايد جزاً وهو الضعف الزايد ربعاً كما يتولد عن الخمسة وعشرين 〈وعشرين〉 والستة عشر اعداد كه مه فا ويوجد فى جميع هذه الاعداد التى تزدوج العدد الاخير المربع من الاعداد المتولد عنها على كل واحدة من الجهتين اللتين قدمنا ذكرهما باقياً ابداً على حاله واما الاول فانه يتغير الى الصغر الا ان الحدين اللذين فى الطرفين على كل حال مربعان وايضا فانه يتولد على جهة اخرى من ذوات الاضعاف الزايدة اجزآ عن الزايدة اجزآ ويتولد عن الزايدة اجزا على جهة اخرى الزايدة اجزا كما ان الزايد ثلثين اذا نحن ابتدانا من الحد الاصغر من حدوده... كان ذلك الزايد ثلثة اخماس كما يكون عن التسعة والخمسة عشر والخمسة والعشرين اعداد التسعة والاربعة وعشرين والاربعة وستين واعداد الخمسة وعشرين والاربعين والاربعة وستين ويكون عن الزايد ثلثة ارباع اما اذا ابتدى من الحد الاصغر فالضعف الزايد ثلثة ارباع واما اذا ابتدى من الحد الاعظم فالزايد اربعة اسباع كما يتولد عن الستة عشر والثمانية وعشرين والتسعة واربعين اعداد يو مد قكا واعداد مط عز

قكا وايضا فان الزايد اربعة اخماس مثل فا و مه و كه يتولد عنه اما اذا ابتدانا من الحد الاصغر فالضعف الزايد اربعة اخماس مثل اعداد كه و ع و قصو واما اذا ابتدانا من الحد الاعظم فيتولد عنه من ذوات المثل والاجزا الزايدة خمسة اتساع مثل اعداد فا و قكو و قصو والامر يوجد فيما بعد ذلك جارياً على هذا النظام والتاليف الى ما لا نهاية ن

تمت المقالة الاولى من كتاب المدخل الى علم العدد المسمى بالارثماطيقى

بسم الله الرحمن الرحيم توكلت على الله سبحانه

المقالة الثانية من كتاب الارثماطيقى لينقوماخس

(١) انما لما كان الشى الذى يقال له العنصر والذى هو ايضا عنصر بالحقيقة هو الشى الاصغر الذى من اجتماعه يكون قوام شى ما والاصغر الذى اليه ينحل ذلك الشى راجعاً كما ان الحروف التى يقال لها عناصر الكتاب وذلك ان من اجتماعها يكون قوام جميع الاصوات المفصلة واليها ينحل راجعاً اجتماعه وكما ان النغم هى الاصل الذى منه يفهم تاليف اللحون كلها واليها تنحل راجعة وكما ان عناصر جملة العالم هى اربعة الاجسام التى يقال لها العناصر البسيطة وهى النار والهوى والمآ والارض وذلك ان هذه الاجسام التى من اجتماعها اولاً يكون قوام الكل والتى اليها يفهم انحلاله راجعاً اخيرا اردنا ان نبين ان المساواة فى عنصر الكمية المضافة فاما الكمية المفردة المجردة فقد حصلت على ان يكون اقدم عناصرها واعلاها الواحد والاثنان وهما السببان الاصغران اللذان اليهما تنحل راجعة ولكنا قد بينا ان الانتقال عن المساواة وتزيد البعد منها نعلم انه يكون عنها الى جميع الاضافات والنسب مطلقاً على ترتيب ونظام محمود وابرمنا فى ذلك ثلث وصايا قد ذكرناها فقد بقى علينا لتمام الامر فى ذلك الدليل على ان المساواة بحق ما صارت عنصراً ان نبين ان الانحلان اليها يردنا اخيراً وينبغى ان نجعل الطريق العام ذلك على ما نصف ن

(٢) اذا كانت ثلثة حدود معلومة وكانت على نسبة واحدة ان كانت من نسب

ذوات المثل والاجزا وان كانت من النسبتين المركبتين من هذه وهما ذوات الامثال والجز وذوات الامثال والاجزا بعد ان تكون نسبة الاوسط الى الاصغر كنسبة الاعظم الى الاوسط فقط او على عكس ذلك فانقص الاقل ابداً من الاوسط متأخراً كان او متقدماً واجعل الاقل نفسه حدا اولاً واجعل ما بقى من الاوسط من بعد نقصانك الاصغر منه حداً ثانياً ثم انقص من الحد الباقى وهو الاعظم من الحدود المعلومة مثل الاول مرة ومثل الثانى الذى ذكرناه اخيراً مرتين فما بقى فاجعله حداً ثالثاً فيكون نسبة الحدود التى تحدث من ذلك نسبة غير التى كانت لنا اولاً اقدم منها بالطبيعة وايضا فانك اذا فعلت بهذه الثلثة الحدود التى حدثت مثل فعلك بالثلثة المتقدمة تولد لك من ذلك ثلثة حدود اخر هى اقرب الى الاصل من النسبة التى كانت لك ولا يزال الامر يجرى على هذا كلما فعلت مثل ذلك الفعل دايماً حتى ينتهى بك الامر فيما يادى هذا المذهب الى الرجوع فى الانحلال الى المساواة وذلك كذلك فى جميع النسب فمن البين ان الامر يضطر الى ان نعلم من ذلك ان المساواة هى عنصر لجميع الكمية المضافة وهذا الطريق الذى وصفنا نحتاج اليه فى معنى من المعانى التى تستعمل فى علم عجيب جليل عظيم النفع وهو ما قاله افلاطون فى كون النفس فى جميع الابعاد التليفية وذلك انا نحتاج هناك ان ناتى بنسبتين متواليتين من نسب المثل والنصف مثلا او ثلاث نسب من هذه النسب او اربع او غير ذلك الى ما لا نهاية او نسبتين متواليتين من نسب المثل والثلث او من نسب المثل والربع او من نسب المثل والثمن او غير ذلك من الزايدة جزاً وان يكون ما نصفه من كل واحد من هذه الاصناف ثلاث نسب متوالية او اربعاً او خمساً او ما اراد المريد من شى ويجب ان لا يفعل ذلك كما يفعل الجهال او بطريق شاق بعيد فان ذلك قد يمكن ويمكن ايضا ان نعمل بطريق فيه خطا لكن نستعمل فى ذلك طريقاً صناعياً نعمل بسرعة وسهولة من غير خطا وهو هذا

(٣) كل ذى اضعاف فانه متقدم لنسب من لنسب المثل والجز عددها كعدد نسب الاضعاف التى بينه ومن الواحد لا اقل من ذلك ولا اكثر اما الاعداد التى نسبتها نسبة الضعف فيكون عنها نسبة المثل والنصف اما الاول من تلك الاعداد فيكون عنه نسبة واحدة من نسب المثل والنصف واما الثانى منها فيكون عنه نسبتان وعن الثالث ثلاث نسب وعن الرابع اربع نسب وعن الخامس خمس لا اقل من ذلك ولا اكثر لكن من الاضطرار ان يكون متى اخذنا لكل واحد منها العدد الذى يجب ان يكون له بعده من عدد النسب فكانت عدة نسب المثل والجز الماخوذة مساوية لعدة ذوات الاضعاف التى عنها تولدت ان يوجد العدد الاقصى من اعداد تلك النسبة عدداً غير محمل لان يكون له ذلك الجز الذى بزيادته توالت تلك النسبة من نسب المثل والجز وذلك لخاصة فيه عجيبة واما الاعداد التى نسبتها نسبة الثلثة الامثال فيتولد عنها ذوات المثل والثلث ويكون هاهنا ايضا عدة الاعداد المولدة مساوية لعدة الاعداد التى تتولد عنها وتكون الاعداد القصيآ التى من بعد الذهاب الذى يكتفى به الى قدام وهو الذى يكون فيه العدة مساوية للعدة اعداداً لا اثلاث لها وعلى هذا السبيل يجرى الامر فى الاعداد الزايدة ربعاً فانها تكون عن ذوات الاربعة امثال ويكون اخر عدد منها من بعد الذهاب الذى يكتفى به عدداً لا ربع له مثال ذلك ما قلناه ان الاعداد التى على نسب الضعف يكون عنها من نسب المثل والنصف ما يساوى عدده تلك التى عنها تولدت فنضع السطر الاول الاعلى من سطور ذوات الاضعاف واعداده هذه الاعداد ا ب د ح يو لب سد فلما كان الضعف الاول فى عدد الاثنين وكان من بعد الواحد بواحد صار له عدد واحد يناسبه بنسبة المثل والنصف وهو

عدد الثلثة وهو عدد لا نصف له فيتولد عنه هو ايضا نسبة المثل والنصف مرة اخرى فالضعف الاول انما يتولد عنه نسبة واحدة فقط من نسبة المثل والنصف واما العدد الثانى من اعداد نسبة الضعف وهو عدد الاربعة فيتولد عنه نسبتان من نسب المثل والنصف وذلك ان عدد الستة مثله مرة ونصف وعدد التسعة مثل عدد الستة مرة ونصف واما عدد التسعة فليس له عدد يكون مثله مرة ونصفا لانه لا نصف له واما عدد الثمانية الذى هو العدد الثالث من اعداد نسبة الضعف فانه يتولد عنه ثلاث نسب من نسب المثل والنصف اما احداهن فنسبة الاثنا عشر اليه والاخرى نسبة الثمانية عشر الى الاثنى عشر والثالثة نسبة السبعة وعشرين الى الثمانية عشر وليس يوجد هاهنا عدد رابع يكون حاله هذه الحال للامر العام الذى قد ذكرناه وذلك ان عدد السبعة والعشرين لا نصف له واما عدد الستة عشر الذى هو الرابع من الاعداد التى على نسبة الضعف فانه متقدم بعدد الاربعة والعشرين وبعدد الستة والثلثين وبعدد الاربعة والخمسين وبعدد الواحد والثمانين فيجب اضطراراً ان يكون عدد هذه الاعداد مساوية لعدة الاعداد التى عنها تولدت وذلك ان عدد الواحد وثمانين لا نصف له وانت تجد هذا الحكم جارياً على ما قلنا فى الذهاب فى هذه الاعداد الى ما لا نهاية ونخط صورة نجعلها مثالاً لنسبة الضعف وما يتولد عنها وهى هذه

(٤) ونحتاج فى المثال الذى ناتى به فى الثلثة الامثال الى صورة نسبة المتقدمة فانا نجد فيها اول

الاعداد التى يوجد فيها نسبة الثلثة الامثال وهو الثلثة متقدماً لنسبة واحدة فقط من نسب المثل والثلث وهى نسبة الاربعة اليه وعدد الاربعة لا يتولد عنه نسبة مساوية للذى ذكرنا وذلك انه لا ثلت له فليس له عدد يكون مثله من ذوات ثلث والذى من ذوات الثلثة الامثال هو التسعة ولذلك صار ابتدا النسبتين فقط من نسب المثل والثلث وهما نسبة الاثنى عشر الى التسعة ونسبة الستة عشر الى الاثنا عشر فعدد الستة عشر هو الذى حصل على ان ينقطع هذه النسب عنده وذلك انه لا ثلث له ولهذا السبب لا يوجد عدد يكون مثله من ذى ثلث ويتلو الاعداد التى ذكرنا من ذوات الثلثة الامثال عدد كز وهو فى المرتبة الثالثة من الواحد اذا اخذت الاعداد المتوالية على نسبة الثلثة الامثال وهى الواحد والثلثة والتسعة والسبعة والعشرون فيكون العدد الذى ذكرنا ابتدآ الثلث نسب من نسب المثل والثلث فقط لا اكثر من ذلك لان اول الاعداد الاخر الذى هو مرة وثلث مثل هذا العدد وهو الثانى من عدد الثمانية والاربعين والثالث الذى هو مرة وثلث مثل هذا العدد الذى ذكرنا هو عدد الاربعة والستين وليس لهذا العدد ثلث فلذلك لا يكون هاهنا عدد يكون مثله مرة وثلثا واما العدد الرابع من اعداد نسبة الثلثة الامثال فانه تقدم اربع نسب من نسب المثل والثلث والخامس تقدم خمس نسب من هذه النسب والمثال الذى ذكرنا وهو هذا واجعل ما يستعمل من صور المثالات فى ساير ذوات الاضعاف على هذا السبيل التى وصفنا واذا

فعلت ذلك وجدت تولد هذه النسب هاهنا ايضا على مثال ما كانت عليه فيما تقدم من النسب التى تظهر انها متقدمة بعضها لبعض نسبة الضعف لنسبة الثلثة امثال 〈ونسبة الثلثة امثال〉 لنسبة الاربعة الامثال ونسبة الاربعة امثال لنسبة الخمسة امثال ولا يزال ذلك يجرى على هذا المثال بالغاً ما بلغ فان كانت النسبة التى فى السطور الاعالى الاخذة عرضاً نسبة الضعف كانت النسب ايضا التى فى السطور الموازية له التى تحته تلك النسبة بعينها واما السطور التى توافق الزاوية القايمة وهى اخذة من زاوية الى الزاوية التى تقابلها فان النسب التى فيها هى النسب التى من جنس النسب التى فى السطور الاخذة عرضاً نسبة الثلثة الامثال فان النسبة التى فى السطور الاخذة من زاوية الى زاوية هى نسبة الاربعة الامثال وان كانت تلك النسبة نسبة الاربعة الامثال كانت هذه النسبة نسبة الخمسة الامثال ولا يزال الامر يجرى على هذا دايماً

(٥) فقد علينا ان نبين اولاً كيف يكون تاليف هذه النسب واى نسب يتولد من تاليفها ثم ننتقل الى ما يتلوا ذلك مما نحتاج الى ذكره فى كتابنا هذا الذى هو كتاب مدخل فنقول ان النسبتين الاولين من نسب المثل والجز اذا جمعتا فى نسبة واحدة كانت عنهما النسبة الاولى من نسبة ذوات الاضعاف وهى نسبة الضعف وذلك ان كل نسبة من نسب الضعف فانها تولف من نسبة المثل والنصف ونسبة المثل والثلث واذا الفت نسبتان احدهما نسبة المثل والنصف والاخرى نسبة المثل والثلث تولدت عنهما نسبة الضعف كما ان الثلثة مرة ونصف مثل الاثنين والاربعة مرة وثلث مثل الثلثة ويصير الاربعة ضعف الاثنين ويكون هذه النسبة مولفة من نسبة المثل والنصف ونسبة المثل والثلث وايضا فان الستة لما كانت ضعف الثلاثة وجدنا فما بينهما عدداً ما يكون النسبة بينه وبين احداهما نسبة المثل والنصف والتى بينه وبين الاخر بنسبة المثل والثلث وذلك ان عدد الاربعة فيما بين الثلثة والستة ونسبته الى الثلثة نسبة المثل والثلث ونسبة الستة اليه نسبة المثل والنصف فبحق ما

قيل ان نسبة الضعف اذا فصلت انقسمت الى نسبة المثل والنصف ونسبة المثل والمثلث وان نسبتى المثل والنصف والمثل والثلث اذا ركبتا كانت عنها نسبة الضعف والنوعان الاولان من انواع الزايدة جزاً اذا ركبا احدثا النوع الاول من انواع ذوات الضعف وايضا فاذا اذا ابتدانا ابتدآ اخر فركبنا النوع الاول من انواع ذوات الاضعاف الذى قد تولد لنا مع النوع الاول من انواع الزايد جزاً كان لنا من ذلك النوع ثلثة من الانواع المجانسة له وهو النوع الثانى من انواع ذوات الاضعاف وهو الثلثة امثال وذلك ان كل نسبة من نسب الضعف اذا ركبت مع نسبة من نسب المثل والنصف تولدت عنها نسبة الثلثة الامثال اضطراراً مثل عدد الاثنى عشر الذى هو ضعف الستة ويكون مثله مرة ونصفا عدد الثمانية عشرة فاذا ركبنا كانت نسبة الثمانية عشرة الى الستة [عشر] نسبة الثلثة الامثال وقد نعلم ذلك على وجه اخر ان شينا الا نجعل العدد المتوسط الاثنا عشر لكن العدد الذى هو مرة ونصف مثل الستة وهو عدد التسعة فانه يعرض من ذلك مثل الذى ذكرنا انفاً على جهة اخرى الا انه يكون موافقاً لما قلنا وذلك ان عدد الثمانية عشرة ضعف التسعة وتم به نسبة الثلثة الامثال الى عدد الستة فنسبة المثل والنصف مع نسبة الضعف اللتان هما النوعان الاولان من انواع نسب الزايدة جزاً ونسب ذوات الاضعاف يكون منهما اذا اجتمعا نسب الزايدة جزاً ونسب النوع الثانى من انواع ذوات الاضعاف وهو الثلثة الامثال وهو ينحل بالجملة الى هذين النوعين وذلك ان عدد الستة الذى هو ثلثة امثال الاثنين فيما بينه وبين الاثنين عدد الثلثة الذى يكون فيما بينه وبين هاذين العددين نسبتان احداهما نسبة الستة اليه وهى نسبة الضعف وان نحن ركبنا نسبة الثلثة الامثال التى هى النوع الثانى من انواع ذوات الاضعاف نع الزايد ثلثا الذى هو من انواع الثانى من انواع الزايدة جزاً تولد من هاتين النسبتين النوع الذى يتلو النوع الذى ذكرنا من انواع ذوات الاضعاف وهو الاربعة الامثال ومن الاضطرار ان يكون انحلال هذا النوع الى ذينك النوعين على السبيل التى ذكرنا واما الاربعة الامثال

اذا ركبنا معها الزايد ربعاً فانه يتولد من ذلك الخمسة الامثال وهذه النسبة ايضا مع نسبة المثل والخمس يكون منها نسبة الستة الامثال ولا يزال الامر جارياً على هذا الى اى موضع اردت فيكون ذوات الاضعاف الماخوذة من اولها على مراتبها من ذوات المثل والجز الماخوذ من اولها على مراتبها يتولد عنها ذوات الاضعاف التى تتلو النسب الماخوذة الى ناحية الاعظم واما الضعف والمثل والنصف فانه يتولد عنهما الثلثة الامثال واما الثلثة الامثال والمثل والثلث فيتولد عنهما الاربعة الامثال واما الاربعة الامثال والمثل الرابع فيتولد عنهما الخمسة الامثال ولا يزال ذلك على ما قلنا حتى يصل الى اى موضع اردت فانه لا يظهر لك انه يعرض خلاف ما وصفنا

(٦) واما فى هذا الموضع فقد بلغنا فى شرح ما نحتاج الى علمه من امر الحكمة المضافة مبلغاً نكتفى به فيما قصدنا له وقدرنا ذلك تقديراً على حسب احتمال المتعلمين ومن كان قريب عهد بالابتدا بالنظر فى العلوم واذ قد اتممنا الاشيا التى كانت قد بقيت علينا فى هذا الموضع فقد بقى علينا من تمام القول فى هذه الصناعة اشيا اخر للفحص عنها † قدر فى هذه الصناعة وموقع † وهى من الاشيا التى تعرض للكمية المفردة التى ليست بمضافة الى شى والاشيآ التى فى العلوم التعليمية كثيراً ما يدعوا الى نبين بعضها ببعض ونميز بعضها ببعض لارتباطها بعضها ببعض فالشى الذى يحتاج الى الفحص عنه وتقديم النظر فيه هاهنا من الاشيا التى ذكرنا هو القول فى الاعداد الخطوطية والمسطحة والمجسمة المكعبة منها والكرية والمتساوية الاضلاع والمختلفة الاضلاع والتى يقال لها دوقاس والتى تشبه الاخشاب وما اشبه ذلك وهذه اشيا يجب ان يخص بالقول فيها كتاب المدخل الى علم الهندسة التى هى فى امر المسايح ولكنها اشيا يتقدم ذكرها فى علم العدد كالشى الذى نسبته المراد كانت هذه الصناعة متقدمة لذلك وكانت لها بمنزلة الام وذلك انا قد بينا قبيل ان هذه الصنايع يرتفع بارتفاعها العلوم الاخر ولا ترتفع هى بارتفاع تلك وعكس ذلك ايضا اعنى ان يوجد تلك تحت وجود هذه اضطراراً ولا يجب وجود

تلك بوجود هذه وينبغى ان تعلم اولاً ان كل واحد من الحروف التى من عادتنا ان ندل بها على الاعداد على طريق العلامات كدلالة اليآ على عشرة ودلالة الكاف على عشرين ودلالة التا على الاربعماية انما تدل على الاعداد نسبةً نسبتها الناس ووضعاً وضعوها لا بانها تدل على الاعداد بطبايعها فاما الدلالة [الدلالة] الطبيعية التى ليست بصناعة من الصنايع او حيلة من الحيل وهى لذلك دلالة بسيطة تدل على الاعداد بالرسوم والعلامات فانها تكون على ما ينبغى بان توضع علامات الاحاد التى فى ذلك العدد بعضها الى جانب بعض بعدد ما فيه من الاحاد مثل الواحد اذا كتب بالف واحدة فان الالف حينيذ تدل على الواحد واذا كتبت آلفان احداهما الى جانب الاخرى دلت ذلك على اثنين وان كتبت ثلثة آلفات على استقامة دلت على ثلثة والاربع آلفات على اربعة والخمس الفات على خمسة وما بعد ذلك على هذا المثال دايماً فهذا الصنف من الكتاب ووضع العلامات وحده يمكن ان نبين ونوضح رسوم اشكال الاعداد المسطحة والمجسمة فنرسم الواحد هكذا آ والاثنين هكذا اا والثلثة هكذا ااا والاربعة هكذا اااا والخمسة هكذا ااااا وما بعد ذلك على هذا القياس والواحد موضعه موضع النقطة وحاله كحالها وذلك ان الواحد ابتدا الابعاد والاعداد فليس هو هذا ولا عداً كما ان النقطة ابتدآ الخط والبعد وليست خطاً ولا بعداً وليس يكون من تركيب نقطة مع نقطة شى غير الذى كان لان ما ليس بذى ابعاد اذا ركب مع ما ليس بذى ابعاد لم يحدث فيه ذلك بعداً كالانسان لو رام ان يركب مع لا شى لا شى فينظر ما الذى يكون من ذلك وعلى هذه السبيل ايضا قلنا فى المساواة انه اذا كانت نسبة الاول الى الثانى نسبة المساواة ونسبة الثانى الى الثالث نسبة المساواة فانه لا يحدث من ذلك فيما بين الحدين اللذين فى الطرفين بعداً كما يحدث فيما بينهما فى النسب الباقية وكذلك ايضا يكون الحال [يكون الحال] فى الواحد فانه اذا ضرب فى عدد ما اى عدد كان بقى ذلك العدد على حاله فلم يتولد عنه شى اخر فالواحد اذاً غير ذى بعد وهو ابتدا ساير الانواع واول ما يرى البعد ويظهر يكون

ظهور فى الاثنين ثم فى الثلثة ثم فى الاربعة ثم فيما بعد ذلك من الاعداد والبعد هو الذى يرى فيما بين حدين واول الابعاد الخط وذلك ان الخط هو ذو البعد الواحد واما البعدان فهو البسيط وذلك ان البسيط هو ذو البعدين واما الثلثة الابعاد فهى المجسم وذلك ان المجسم هو الثلثة الابعاد وليس يمكن ان يتوهم مجسم له اكثر من ثلثة ابعاد وهى العمق والعرض والطول وبهذه الابعاد تجد الست جهات التى يقال انها فى كل مجسم وهى التى بها نميز الحركات المكانية وهى الكاينة الى قدام والى خلف والى فوق والى اسفل والى ذات اليمين والى ذات الشمال وذلك ان لكل بعد جهتين متقابلتين اضطراراً اما البعد الواحد ففوق وتحت واما البعد الاخر فخلف وقدام واما البعد الاخر فاليمين والشمال ويجب ان ترتجع الحدود على ما اصف ان كان الشى مجسماً فان له الثلثة الابعاد كلها وهى الطول والعرض والعمق وعلى عكس ذلك ايضا متى كان للشى الثلثة الابعاد التى ذكرنا فان ذلك الشى بالجملة مجسم وليس واحد من الاشيا بمجسم والشى الذى له بعدان فقط ليس هو بمجسم لكنه بسيط وذلك ان البسيط هو الذى نبهنا ان يكون فيه بعدان فقط والذى عليه يرجع هذا الحد منعكساً ان البسيط هو الذى له بعدان وما كان انما له بعدان فهو ابدا بسيط وانما نقص الخط عن البسيط بعداً واحداً لان الخط هو ذو البعد الواحد وانما ينقص عن البسيط بعداً واحداً فقد وينقص عن المجسم بعدين واما هو نفسه فان الذى ينقص عنه بعداً واحداً هو النقطة ولذلك قد قيل اولاً ان النقطة ليست بذات ابعاد ونقصانها عن المجسم ثلثة ابعداد وعن البسيط بعدين وعن الخط بعداً واحداً

(٧) والنقطة هى ابتدا البعد وليست ذات بعد وهى ايضا ابتدا الخط وليست خطاً والخط ابتدا السطح وليس هو سطحاً وهو ابتدا ذى البعدين وليس بذى بعدين وبالواجب ما صار البسيط ابتدآ المجسم وليس بمجسم وصار ايضا ابتدا ذى الثلثة الابعاد وليس بذى ثلثة ابعاد وكذلك ايضا تجد الحال فى الاعداد من ان الواحد

ابتدا لجميع الاعداد التى تكون ذات بعد واحد بتزيدها وذهابها الى قدام بواحد واحد من الواحد من الواحد الى الاثنين وما بعد ذلك وان العدد الخطوطى ابتدآ العدد المسطح الذى ياخذ عرضا فى بعد واحد فينبسط وان العدد المسطح ابتدآ العدد المجسم وهو الذى له بعد ثالث ياخذ فيه عمقاً اذا مثلنا لذلك مثالاً على جهة التفصيل قلنا ان الاعداد الخطوطية هى بالجملة جميع الاعداد التى تبتدى من الاثنين وتمضى متزيدة بتفاضل واحد على سبيل البعد الواحد واما الاعداد المسطحة فهى التى يبتدى اساسها فى التسمية من عدد الثلثة وتاخذ فيما بعد ذلك متزايداً فى التسمية على حسب مراتب الاعداد المتوالية وذلك ان اول هذه الاعداد المسطحة هو ذو الثلثة الاضلاع ثم بعده المربع ثم بعده المخمس ثم المسدس والمسبع وما بعد ذلك الى ما لا نهاية واسماوها ماخوذة كما قلنا من الاعداد المتوالية المبتدية من الثلثة ويوجد الشكل المسطح الذى عليه العماد وهو الابتدا والاولى بان يكون عنصرا لغيره هاهنا ايضا الشكل المثلث وذلك انه كما ان السطح الخطوطية ان اخرجت من زواياها خطوط مستقيمة الى وساطها انقسم وانحل كل واحد من الاشكال المستقيمة الخطوط الى مثلثات يكون عددما كعدد الاضلاع التى تحد ذلك الشكل فان المثلث اذا لزمنا فيه تلك السبيل التى لزمناها فى الاشكال الباقية لم ينتقل ولم يتغير الى شى اخر من الاشكال لكنه يرجع الى مثله فيجب لهذا السبب ان يكون المثلث فى هذه الاشكال عنصراً لها وذلك ان الاشكال الباقية ينحل جميعها اليه اضطراراً وليس ينحل هو الى غيره وعنه يكون قوام الاشكال الباقية وليس يكون هو عن اجتماع اشيآ اخر فهو اذاً عنصر لساير الاشكال وليس شى من الاشكال بعنصر له كذلك ايضا يكون الحال فى السطوح العددية وذلك امر يتبين جميعه فيما بعد

(٨) فاما العدد المثلث فهو الذى ينحل الى الواحد ويكون رسم احاده اذا جعلت فى سطح مثلث رسماً تصير الاضلاع منها متساوية ومثالات هذه الاعداد وهى

ا ج و ى يه كا كح لو وما يتلو ذلك فى اشكال هذه المثلثات يكون على ترتيب لازم للتثليث ولا يستوى الاضلاع اذا رسمت هكذا ىع

واذا انت سلكت فى ذهابك فى الاعداد مثل هذه السبيل الى اى موضع منها شيت فعملت مثلثات كما عملنا وجدت العنصر الاقدم من هذه المثلثات قبل سايرها هو المثلث الكاين من الواحد الا ان الواحد انما هو مثلث بالقوة واما اول المثلثات بالفعل فهو الثلثة واضلاع هذه المثلثات تتزيد كتزيد الاعداد المتوالية وذلك ان ضلع المثلث الاول الذى هو مثلث بالقوة هو الواحد وضلع المثلث الاول من المثلثات الذى بالفعل هو الاثنان والمثلث نفسه ثلثة وضلع المثلث الثانى بالفعل هو الثلثة والمثلث نفسه ستة واما المثلث الثالث هو العشرة فان ضلعه اربعة واما المثلث الرابع فان ضلعه خمسة وضلع الخامس ستة وما بعد ذلك على هذا المثال دايماً وهذه المثلثات تولد من السطور التى فيها الاعداد على طبيعتها اذا ركبت اعداده وجمعت بعضها مع بعض من ابتدايها على الولآ وذلك ان كلما جمعنا وركبنا شياً من ذلك حدث لنا مثلث من المثلثات التى تجرى على ترتيب مثال ذلك انا نضع اعداد متوالية فى سطر واحد وهى ا ب ج د ه و ز ح ط ى يا يب يج يد يه فاذا نحن اخذنا اول شى فيه كان منه لنا المثلث الاول الذى هو مثلث بالقوة وهو الواحد واذا زدنا عليه العدد الذى يتلوه وهو الاثنان كان من ذلك المثلث الاول بالفعل وذلك ان الواحد والاثنين ثلثة وتشكيل هذا المثلث يكون

بان يوضع تحت الواحد اثنان فيصير الثلثة مثلثا واذا اضيف الى ذلك العدد الثلثة الذى يتلو ما ذكرنا وبسطت احاده ونضدت كان من ذلك عدد نسبة المثلث الثانى بالفعل ويكون تشكيله على حسب ما وصفنا واذا جمع مع ذلك العدد الذى يتلو هذه الاعداد وهو عدد الاربعة علمت من ذلك احاد الشكل المثلث الذى نرسم من بعد الذى ذكرنا وهو عدد العشرة فانه يعمل منه شكل مثلث وكذلك اذا زيد من بعد ما قلنا عدد الخمسة ثم الستة ثم السبعة وما بعد ذلك على الولآ ويكون فى ضلع كل واحد من هذه المثلثات من الاحاد مثل عدد الاعداد على وجهها وركبت فكان منها ذلك المثلث

(٩) اما العدد المربع فهو الذى يتلو الذى ذكرنا قبله لكنها اربع زوايا الا انه ايضا اذا شكل ورسم مربع كانت اضلاعه متساوية مثل الواحد والاربعة والتسعة والستة عشرة والخمسة وعشرين وستة وثلاثين والتسعة واربعين والاربعة وستين والواحد وثمانين والماية وذلك ان هذه الاعداد اذا رسمت على ما قد وصفنا كانت اضلاعها متساوية كما فى هذه الصورة

وما بعد ذلك على هذا المثال الى اى موضع اراد المريد وقد عرض لهذه الاعداد ايضا مثل الذى عرض للاعداد التى قبلها من ان شكول الاعداد التى لاضلاعها كشكول الاعداد اذا اخذت على تواليها وذلك انا نجد اول المربعة الذى هو

مربع بالقوة الواحد وضلعه واحد نجد اول المربعة بالفعل عدد الاربعة وضلعه اثنان والثانى من المربعة التى بالفعل عدد التسعة وضلعه ثلثة والذى بعد الثالث من المربعة الذى بالفعل عدد الستة عشر وضلعه اربعة والرابع الذى ضلعه خمسة والخامس الذى ضلعه ستة وما بعد ذلك من الاعداد على الولى اضلاع لما بعد ذلك من المربعة على الولآ وهذه الاعداد تنولد من السطر الذى يوضع فيه الاعداد اذا نحن جمعنا الاعداد مع الواحد الا انا لا نجمعها على الولآ كما فعلنا انفاً لكنا نجمع الاعداد التى يستعمل فيها اخذ واحد وترك واحد وجمع هذه الاعداد التى يجرى امرها على اخذ واحد وترك واحد هى الاعداد الافراد اما اول المربعة فهو الواحد مع الثلثة وهو الاول من الاعداد المربعة التى بالفعل واما الثالث منها فهو الواحد مع الثلثة والخمسة وهو الثانى من الاعداد المربعة التى بالفعل واما الرابع منها فهو الواحد مع الثلثة والخمسة والسبعة وهو الثالث من الاعداد المربعة التى بالفعل واما الذى بعد هذه فهو الذى يجتمع فيه مع ما ذكرنا عدد التسعة ويكون العدد المربع الذى بعد هذه الاعداد اذا زيد على ذلك احد عشر ولا يزال الامر على هذا فيما بعد ذلك دايماً وقد عرض لهذه الاعداد ايضا ان تكون عدة الاحاد التى فى ضلع كل واحد منها عدة الاعداد التى اجتمعت فة ذلك المربع حيث تولد

(١٠) واما العدد المخمس فهو الذى اذا بسطت احاده ووضعت فى سطح كان منه شكل مخمس متساوى الاضلاع مثل الواحد والخمسة والاثنى عشر والاثنين وعشرين والخمسة وثلاثين والواحد وخمسين والسبعين وما اشبه ذلك الا ان ضلع المخمس الاول من المخمسات التى بالفعل هو الاثنان واما الواحد فهو ضلع المخمس الذى هو بالقوة مخمس واما ضلع المخمس الثانى من التى بالفعل وهو الاثنا عشر فهو الثلثة واما ضلع المخمس الذى بعد هذا وهو الاثنان وعشرون فهو الاربعة وضلع المخمس الذى يتلوه وهو الخمسة وثلثون هو الخمسة والستة ضلع المخمس الذى يتلو هذا وهو الواحد وخمسون وما بعد ذلك على هذا المثال وبالجملة فان عدد

احاد كل واحد من اضلاع هذه المخمسات مساو لعدة الاعداد التى جمعت فى ذلك المخمس اذا عدت كما اخذت من سطر الاعداد الطبيعى والاعداد التى توخذ من ذلك السطر فيجمع ويتولد منها الاعداد المخمسة هى التى يبتدى فيها من الواحد فياخذ عدداً ويترك عددين الى اى موضع اردنا وهذه الاعداد هى التى تكون على تزيد ثلثة ثلثة والواحد هو الاول من التى شكلها هذا الشكل بالقوة واما المخمس الثانى وهو الخمسة فانه مركب من الواحد والاربعة واما الثالث وهو الاثنا عشر فانه مركب من الاثنين اللذين ذكرنا ومن عدد السبعة اذا زيد عليها وضلع هذا العدد يكون ثلثة لانه تولد من تركيب ثلثة اعداد كما ان عدد الخمسة الذى قبله الذى كان قد ضلعه اثنين لانه يتركب من عددين وصور الاشكال المخمسة تكون هكذا ooooo

واما الاعداد المخمسة التى بعد هذه فانها تتولد على الولآ اذا جمعت الاعداد التى تجرى على تزيد ثلثة ثلثة وما كان منها من بعد السبعة هى العشرة والثلثة عشر والستة عشر والتسعة عشر والاثنان وعشرون والخمسة وعشرون وما بعد ذلك الى ما لا نهاية له [ويكون له] ويكون الاعداد المخمسة التى بعد ما قدمنا ذكره منها هذه الاعداد كب له نا ع صب قيز وعلى هذا يجرى الامر بعد ذلك الى اى موضع اردنا

(١١) والاعداد ايضا المسدسة والمسبعة وما بعد ذلك من الاشكال على هذا المثال يجرى امرها وبهذا الطريق يعرف اذا جمع من الاعداد التى فى السطر الذى فيه الاعداد على طبيعتها ما كان تركه لما يترك من الاعداد على تزيد واحد واحد كما ان الاعداد منها التى تجتمع لتوليد المثلثات هى التى تجرى على تفاضل واحد واحد وليس يترك فيما بينهما شى من الاعداد والتى تجمع لوليد المربعة هى التى تجرى على تفاضل

اثنين اثنين ويترك فيما بينهما عدد عدد والتى تجتمع لوليد المخمسة هى التى تجرى على تفاضل ثلثة ثلثة ويترك فيما بينهما عددان وقد اتينا بمثالات هذه الاعداد التى تجمع والاعداد التى تجتمع منها وتتولد عنها فيما تقدم واذا وضعت على هذا المثال الاعداد المسدسة التى تولد عنها كانت الاعداد الاصلية التى عن تركيبها تتولد الاعداد المسدسة بهذه الاعداد ا ه ط يج يز كا وما بعد ذلك وتكون الاعداد المسدسة التة تتولد عنها ا و يه كح مه سو وما بعد ذلك الى اى موضع اراد المريد واما الاعداد المسبعة التى تتلو هذه فان الاعداد الاصلية التى عنها تتولد التى تتفاضل ما بينها بخمسة خمسة وتترك فيما بينها اربعة اعداد مثل والواحد والستة ويا و يو و كا وكو ولا ولو وما بعد ذلك على هذا المثال واما نفس الاعداد التى تتولد منه [ذلك] فهى الواحد والسبعة والثمانية عشرة والاربعة وثلاثون والخمسة وخمسون والواحد وثمانون والماية واثنا عشر والماية وثمانية واربعون وهذا الى اى مبلغ بلغه الانسان من ذلك واما الاعداد المثمنة فان ذهابها يكون على هذا المثال الذى ذكرنا والاعداد الاصلية التى عنها تتولد يكون تفاضلها واقعاً ما بينها على حسب ما يجب بقياس ما قدمنا فيكون الامر هاهنا ايضا باقيا على الحال الكلية التى قلنا وهى ان مقدار التفاضل الذى فيما بين الاعداد الاصلية التى لكل واحد من الاشكال يكون اقل من عدد زوايا ذلك الشكل باثنين اعنى ان هذا التفاضل يكون فى الاعداد الاصلية للمثلثات واحداً وللمربعات اثنين وللمخمسات ثلثة وللمسدسات اربعة وللمسبعات خمسة وللمثمنات ستة ولا يزال الامر يجرى على هذا التزيد

(١٢) وقد يكتفى بما قلنا فى الاشكال المسطحة على سبيل المدخل المتقدم فاما ان الحال فى ذلك موافقة للحال فى الاشكال الخطوطية غير مخالفة لها فهو امر بين

وليس انما يعلم ذلك من نفس صور الاشكال التى على هذين الوجهين جميعاً فقط لكن قد يعلم ذلك من ان كل مربع من المربعات التى هناك اعنى المربعات التى فى علم الهندسة اذا قسم بخط من زاوية منه الى الزاوية المايلة لها انحل وانقسم الى مثلثين وكل عدد مربع فانه ينقسم بمثلثين متواليين هو مركب من مثلثين متواليين مثال ذلك ان الاعداد المثلثة هى ا ج و ى يه كا كح لو مه نه وما بعد ذلك والاعداد المربعة هى ا د ط يو كه لو مط سد فا ق فاذا انت جمعت مثلثين من هذه المثلثات اى مثلثين منهما شيت كان لك من ذلك ابداً مربع وكل عدد مربع اى عدد كان فقد يمكنك ان تقسمه فتعمل منه مثلثين وايضا فان كل عدد مربع يضاف اليه عدد مثلث فيلتام معه كيف كان ذلك يكون عنه عدد مخمس مثل عدد الاربعة المربع فانك اذا اضفت اليه الواحد الذى هو مخمس كان من ذلك مخمس الخمسة واذا زدت على العدد المربع الذى من بعد العدد الذى ذكرنا وهو التسعة العدد المثلث الذى بعد الذى ذكرنا وهو الثلثة كان من ذلك العدد المخمس الذى يتلو المخمس المتقدم وهو الاثنا عشر واذا ركبت مع الستة عشر اذ كان هو العدد المربع للذى ذكرنا العدد المثلث الذى يتلو المثلثات المتقدمة وهو الستة علم من ذلك المخمس الذى بعد ما قد ذكرنا وهو الاثنان وعشرون ويكون من الخمسة والعشرين مع العشرة المخمس الذى هو خمس وثلثون وما بعد ذلك على هذا المثال ابداً يكون كذلك ايضا اذا زيدت المثلثات على مراتبها على المخمسات تولدت من ذلك المسدسات المتوالياة على مراتبها واذا قرنت المثلثات بالمسدسات كانت من ذلك المسبعات على مراتبها وبعد ذلك المثمنات وما بعد ذلك الى ما لا نهاية ولكى يسهل حفظ ذلك والوقوف عليه ينبغى لنا ان نرسم سطوراً متوازية نضع فيها اعداد الاشكال الكثيرة الزوايا وليكن السطر الاول منها للمثلثات والثانى الذى بعده للمربعات والذى بعد هاذين للمخمسات ثم من بعد ذبك المسدسات ثم للمسبعات ثم ان اراد مريد فيصنع بعذ ذلك سطوراً لما احب من

اعداد الاشكال الكثيرة الزوايا التى بعد هذه فعلى هذه الجهة يجب ان يكون وضعنا للاعداد التى وضعنا فى سطور متوازية وانت تجد بالجملة كل واحد من الاعداد المربعة مجتمعاً من المثلثات الذى فوقه الذى مرتبته كمرتبته مع المثلث الذى قبل ذلك المثلث كما ان عدد الاربعة مجمع من الثلثة والواحد والتسعة من الستة والثلثة والستة عشرة من العشرة والستة والخمسة وعشرين من الخمسة عشر والعشرة والستة وثلثون من الواحد وعشرين والخمسة عشر وعلى هذا يجرى الامر فيما بعد ذلك دايماً

واما الاعداد المخمسة فان كل واحد منها مجتمع من المربع الذى فوقه الذى مرتبته كمرتبته مع الثلث المتقدم له الذى مرتبته اقل من مرتبته بمرتبة واحدة مثل عدد الخمسة فانه مجتمع من الاربعة والواحد وعدد الاثنا عشر من التسعة والثلثة وعدد الاثنين وعشرين من الستة عشر والستة وعدد الخمسة وثلاثين من الخمسة وعشرين والعشرة وما بعد ذلك على هذا المثال وايضا فان كل واحد من الاعداد المسدسة مجتمع من العدد المخمس الذى فوقه الذى مرتبته كمرتبته مع المثلث المتقدم له فى المرتبة على مثل ما قلنا انفاً اما الستة فهى مجتمعة من الخمسة والواحد واما الخمسة عشر فمن الاثنا عشر والثلثة واما الثمانية وعشرون فمن الاثنين

وعشرين والستة واما الخمسة واربعون فمن الخمسة وثلثين والعشرة وما بعد ذلك الى اى موضع اردت وكذلك ايضا يجرى الامر فى الاعداد المسبعة وذلك ان عدد السبعة مجتمع مع الستة مع الواحد وعدد الثمانية عشر من الخمسة عشر مع الثلثة وعدد الاربعة وثلاثين من الثمانية وعشرين والستة وما بعد ذلك على الولآ فيكون كل واحد من الاشكال ذوات الاضلاع مجتمعاً من العدد الذى فوقه وهو الذى عدد اضلاعه اقل من اضلاعه بواحد اذا كانت مرتبته كمرتبته مع المثلث الذى هو اعلا مرتبة منه بمرتبة واحدة فبالواجب ما صار المثلث عنصراً للاشكال الكثيرة الاضلاع الخطوطية منها 〈و〉العددية وذلك ان ناخذ الاعداد التى فى هذه السطور اذا اخذنا فيها عرضاً من فوق الى اسفل كان لنا ابدا تفاضل ما بينها على الولآ الاعداد المثلثة على مراتبها

(١٣) واذ قد بينا ذلك فان الامر يسهل علينا من بعدها فى معرفة الاعداد المجسمة وكيف مضيها على تساو من اضلاعها واشكال الاعداد التى لها مع البعدين الكاينين فى رسم الاشكال المسطحة زيادة بعد اخر ثالث وهو الذى تسميه قوم العمق وتسميه قوم السمك ويسميه بعض الناس الاتفاع هى اشكال المجسمة التى لها ثلثة ابعاد وهى الطول والعرض والعمق واول الاعداد التى حالها هذه الحال هى الاعداد المخروطة وهذه الاعداد تبتدى من قواعد اعرض وتنتهى الى طرف حاد تنخرط اليه اما اولاً فعلى سبيل التثليث اذا هى ابتداآت من قواعد مثلثة والثانى بعد ذلك ما كان على سبيل التربيع اذا هى ابتداات من قواعد مربعة وبعد ذلك ما كان منها على سبيل المخمس اذا ابتداآت من قواعد مخمسة وعلى هذا السبيل يجرى الامر فى المخروطات التى بعد هذه اعنى المسدسة القواعد والمسبعة القواعد والمثمنة القواعد وما بعد ذلك الى ما لا نهاية كالحال فى الاشكال المجسمة الهندسبة وذلك انا ان توهمنا هناك مثلثاً متساوى

الاضلاع وتوهمنا خطوطاً مستقيمة تخرج من زوايا المثلث فى السمك وتكون متساوية لاضلاع ذلك المثلث وتلتقى على نقطة واحدة فان الشكل الذى يحدث من ذلك هو شكل مخروط يحيط به اربع مثلثات متساوية الاضلاع مساوية بعضها لبعض واحد منها المثلث الاول الذى جعل قاعدة المخروط والثلثة الباقية المثلثات التى تطيف به وهى التى حدثت عن الخطوط المستقيمة التى اخرجت وايضا فانا ان توهمنا سطحاً مربعاً وتوهمنا فى السمك اربع خطوط مستقيمة تخرج من زواياه وتكون مساوية لاضلاع ذلك المربع كل واحد منهما لكل واحد من تلك وتلتقى على نقطة واحدة فان الشكل الذى حدث من ذلك هو الشكل المخروط الذى قاعدته مربع ويرتفع على تربيع وينتهى منخرطاً الى نقطة وهذا المخروط يحتاط به اربع مثلثات متساوية الاضلاع والمربع الواحد الذى كان لنا اولاً وكذلك ايضا يكون الحال فى المخمسات والمسدسات والمسبعات وما بعد ذلك من الاشكال ذوات الاضلاع الى اى موضع اراد المريد فى انا متى توهمنا خطوطاً مستقيمة مساوية فى عددها لعدد زوايا ذلك الشكل خارجة من زواياه فى السمك وانما تلتقى على نقطة واحدة تكون راساً للمجسم فان ذلك المجسم يسمى مخروطاً قاعدته مخمس او مخروطاً قاعدته مسدس وما شا كل ذلك وكذلك ايضا يكون الامر فى الاعداد وذلك ان كل عدد خطوطى فهو يبتدى من الواحد كالمبتدى من نقطة ويتزيد فيما بعد ذلك مثل الواحد والاثنين والثلثة والاربعة والخمسة وما بعد ذلك الى ما لا نهاية وهذه الاعداد الخطوطية التى انما هى ذوات بعد واحد اذا ركبت ضرباً من التركيب لا كيف ما اتفق صنعت منها الاعداد المسطحة الكثيرة الزوايا اما الاعداد المثلثة فانها تتولد عن تركيب الاعداد المتوالية اذا لم يترك فيما بينها عدد يطرح واما

المربعة فيطرح عدد عدد واما المخمسة فيطرح عددان عددان وعلى هذا القياس يجرى الامر فيما بعد ذلك دايما وكذلك ايضا متى ركبت هذه الاعداد المسطحة الكثيرة الزوايا وجمع بعضها الى بعض بمنزلة البنا الذى بينا تولدت عنها الاشكال المخروطة المجانسة لها اما التى قواعدها مثلثة فيكون عن تركيب المثلثات واما التى قواعدها مخمسة فعن المخمسة والتى قواعدها مسدسة عن المسدسة كذلك ساير الاشكال المخروطة والاعداد المخروطة التى قواعدها مثلثة هى هذه ا د ى ك له نو فد وما بعد ذلك من الاعداد التى تولدت عن تركيب الاعداد المثلثة وجمعها بعضها مع بعض اولها الواحد ثم الواحد مع الثلثة... والستة ثم هذه مع العشرة ثم هذه الاعداد مع الخمسة عشرة ثم هذه الاعداد مع الواحد وعشرين ثم مع الثمانية وعشرين وما بعد ذلك الى ما لا نهاية ومن البين ان اعظم هذه الاعداد هو الذى يتوهم اسفلها كلها ثم اقربها من فوقه والذى بعد هذا فوقه حتى ينتهى الى الواحد فيصير اعلاه بمنزلة النقطة عندها يدق اعلاه فينقضى ذلك المخروط

(١٤) والاعداد المخروطة التى بعد هذه التى تبتدى من قاعدة مربعة وتصير بمثل هذه السبيل الى ما يشاكل نقطة واحدة والوجه فى عمل هذه المخروطات شبيه بالوجه فى تركيب المثلثات التى قدمنا ذكرها وذلك انا نضع الاعداد المربعة المبتدية من الواحد على مراتبها وهى الواحد والاربعة والتسعة والستة عشرة والخمسة وعشرون والستة وثلاثون والتسعة واربعون والاربعة وستون والواحد وثمانون والماية وما بعد ذلك فاذا جمعنا هذه الاعداد بعضها مع بعض على الولآ فجعلنا الواحد فى السمك فوق الاربعة كان من ذلك مخروط الخمسة الذى هو المخروط الاول بالفعل من المخروطات التى قواعدها مربعة وذلك ان المخروط الاول بالقوة هاهنا ايضا هو الواحد وايضا فانا اذا زدنا على هذا المخروط الذى ذكرنا كميته عدد التسعة المربع كان لنا من ذلك عدد مخروط قاعدته مربعة وهو الاربعة عشرة واضلاعه من كل ناحية ثلثة واضلاع المخروط الاول وهو الخمسة قد كانت اثنين اثنين

واما المخروط الاول بالقوة فان ضلعه الواحد فيجب من هذه الجهة ان يكون ما فى كل واحد من اضلاع مخروط من هذه المخروطات اى مخروط كان من عدد الاحاد مثل عدة الاشكال ذوات الاضلاع التى عن اجتماعها كان ذلك المخروط الذى اخذنا قاعدته المربعة تسعة وهو الاربعة عشرة فزدنا عليه عدد الستة عشرة المربع كان لنا من ذلك المخروط الرابع بالفعل الذى قاعدته مربعة وعلى هذه السبيل والنظام يجرى الامر فى المخروطات التى قواعدها مخمسة والتى قواعدها مسدسة والتى قواعدها مسبعة وما بعد ذلك فان تولدها بان نجمع الاعداد ذوات الاضلاع على هذا القياس والحكم الذى قد بيناه ونجعل ابتدانا من الواحد الذى هو الشى الاصغر وناخذ فيما بعد ذلك الى ما لانهاية وقد نعلم من هذه الاشيا التى ذكرنا ايضا ان المثلثات هى التى تجرى مجرى العنصر والاصل وذلك انا نجد جميع الاشكال المخروطة التى تستخرجها انما يحيط بها من جنباتها اشكال مثلثة تبتدى من قواعدها وترتفع الى رووسها وليلا يشتبه علينا الامر ونظن ظناً باطلا انا اذا قلنا قولورن وهو الكرسى وديقولورون وهو الكرسى الثانى وطريقولورن وهو الكرسى الثالث وانما هذه اسمآ من اسما المخروطات فان ذكر ذلك اذا جرى فى الكتب على هذا يدل فينبغى ان نعلم ان الشكل المخروط اذا ابتدى من قاعدة ما ذات اضلاع اما قاعدة مثلثة واما قاعدة مربعة واما مخمسة واما شى اخر مما بعد ذلك ثم سنى وزيد عليه مما يجانسه من اشكال الاعداد فلم ينخرط حتى ينتهى الى الواحد سمى ذلك كرسيا مطلقاً وذلك انه عدم الراس الطبيعى ورمى به منه لانه لم ينتهى الى الشكل الذى هو ذو اضلاع بالقوة وهو الواحد الذى يقوم مقام النقطة لكن الى شكل اخر ذى اضلاع الفعل وليس اعلاه بمنزلة راس له لكن اعلاه سطح له زوايا مساو عددها لعدد زوايا قاعدته فان لم ينته الى

الواحد ولا الى الشكل الذى يلى الواحد الذى هو الاول بالفعل لكن الى الثانى منها سمى ذلك الشكل الاسى الثانى فان لم ينته ايضا الى الشكل الثانى بالفعل لكن الى الذى تحته فقط سمى ذلك الشكل المجسم الكرسى الثالث وسمى الكرسى الرابع ان لم ينتهى الى الشكل الذى ذكرنا لكن الى الذى يليه وعلى هذا القياس يجرى الامر فى الكرسى الخامس وما بعده الى اى موضع اراد المريد

(١٥) وقد وصفنا الحال فى كون الاعداد المجسمة المخروطة وكيف تزيدها وذهابها من الواحد الى اخر والاصل الذى منه تولدها وانه الاشكال المجانسة لها من ذوات الاضلاع وتركيبها بعضها من بعض وهاهنا نظام لجنس اخر من الاشكال المجسمة وهى التى يقال لبعضها مكعبة ولبعضها دوقيدس ولبعضها ملبنة ولبعضها سفيقسوه ومعناها الشبيهة بالاخشاب ولبعضها الكرية المتوازية الاضلاع وشكولها فى الاعداد على ما اصف ن

الاعداد المربعة التى قد ذكرناها انفا وهى الواحد والاربعة والتسعة والستة عشرة والخمسة وعشرون والستة وثلثون والتسعة والاربعون وما بعد هذه انما هى ذوات بعدين واذا عملت منها اشكال مسطحة كان لها طول وعرض فقط واذا صار لها مع ذلك بعد ثالث فصارت مجسمات ذوات ابعاد فكان البعد الثالث الذى يضرب فيه كل واحد منها هو مبلغه فان الذى يجتمع هو عدد مكعب واما عدد الاربعة الذى هو مجتمع من ضرب اثنين فى اثنين فينبغى ان يضرب فى الاثنين مرة اخرى فيصير ثمانية واما عدد التسعة الذى هو مجتمع من ضرب ثلثة فى ثلثة فينبغى ان يضرب فى الثلثة مرة اخرى فيصير سبعة وعشرين فاما عدد الستة عشر المجتمع من ضرب الاربعة فينبغى ان يضرب فى ضلعه الذى هو اربعة فيصير

المجتمع اربعة وستين وما بعد ذلك على هذا المثال بالغاً ما بلغ وعدد الاحاد التى فى ضلع كل واحد من هذه المكعبات مساو لعدد المربعات التى من اجتماعها تولد ذلك المكعب اما الاحاد التى فى عدد الاثنين الذى هو ضلع مكعب الثمانية فان عددها كعدد ما فى ذلك المكعب من المربعات التى تكون اربعة واما الاحاد التى فى الثلثة التى هى ضلع مكعب السبعة وعشرين فان عددها مثل عدد ما فى السبعة وعشرين من امثال التسعة وفى الاربعة التى هى ضلع الاربعة وستين من الاحاد مثل ما فى الاربعة والستين من امثال الستة عشر وما بعد ذلك على هذا المثال فيكون على هذا القياس فى ضلع الواحد الذى هو مكعب بالقوة وهو الواحد مثل ما فى المكعب نفسه من امثال الواحد الذى هو مربع بالقوة وكل مربع بالجملة فهو مسطح واحد وله اربعة اضلاع واربعة زوايا واما المكعب فان ضلعه يضاعف بعدد ما فى مربعه من الاحاد وله ابدا ستة سطوح كل سطح منها مساو للمربع الذى عنه تولد المكعب وله من الاضلاع اثنا عشر ضلعاً مساوية بعضها لبعض وفيها من الاحاد ضلع المربع الذى عنه كان ذلك المكعب وله الزوايا ست زوايا مجسمة يحيط بكل زاوية منها ثلاث زوايا مسطحة مساوية لكل واحدة من زوايا المربع الذى عنه كان المكعب

(١٦) ولما كان المكعب شكلاً مجسماً متساوى الاضلاع من كل جهة اعنى فى جهة الطول وجهة العرض وجهة العمق وكان امتداده فى الجهات الست المتداداً متساوياً كان من الواجب ان يكون الشكل المقابل له الشكل الذى ليس فيه بعد مساو لبعد لكن عمقه مخالف لعرضه وكل واحد من هاذين لطوله مثل الاثنين فى الثلثة فى الاربعة او الاثنين فى الاربعة فى الثمانية او الثلثة فى الخمسة فى الاثنا عشر او غير ذلك من الاضلاع المختلفة وهو اسم ماخوذ من اسم المراقى وهو الذى جميع ابعاده مخالفة

بعضها لبعض وقد سمى قوم هذا الضرب من المجسمات سفينسقوس وهو الشبيه بالاخشاب وذلك ان الاخشاب يجعلها النجارون والبناوون والصفارون وساير الصناع مختلفة الاضلاع مبتدية من طرف حاد متزيدة فى العرض والغلظ مختلفة الابعاد وقد سمى قوم اخرون هذا الضرب من المجسمات المجسمات المحصرة وذلك انه كما قد عرض للاشيا المحصرة ان يكون غلظها مختلفاً كذلك ايضا مختلف ابعاد هذا المجسم وقد سماه قوم اخرون الشبيه بالمذبح وذلك ان المذابح القديمة وخاصة المنسوبة الى اهل بلاد ايونيا لا يساوى عرضها سمكها ولا عرضها وسمكها يساويان طولها ولا قواعدها تساوى اعلاها لكنها مختلفة المقادير من جميع الوجوه فيكون النوعان اللذان ذكرنا نوعين متباعدين فى الطرفين اعنى نوع المكعبة ونوع الشكل الذى يقال له سٯىالسون وهو المختلف الاضلاع وذلك ان النوع الاول منها متساوى الابعاد والثانى مختلف الابعاد وفيما بين هذين النوعين نوع اخر من مجسمات الاعداد وهو الذى يسمى المتوازى الاضلاع والسطح الذى يكون عنه هذا العدد هو العدد المختلف الطولين كما ان السطح الذى يكون عنه العدد المكعب هو العدد المربع على ما بينا انفاً

(١٧) وايضا فانا نبتدى من اول الامر فنقول ان العدد الذى يقال له المختلف الطولين وهو الذى اذا رسم منه سطح لم يستوى اضلاعه لكن يكون عرضه مخالفاً لطوله وينقص عنه واحداً مثل الاثنين والستة والاثنى عشر والعشرين والثلثين والاربعين وما بعد ذلك وذلك ان الانسان اذا رسم من هذه الاعداد مسطحا كان ذلك اما اثنين مرة واحدة فهكذا oo واما ثلثة مرتين فهكذا oooooo واما اربعة ثلاث مرات فهكذا oooooooooooo وما بعد ذلك على هذا المثال اربع مرات خمسة اوخمس مرات ستة او ست مرات سبعة او سبع مرات ثمانية وما بعد ذلك الى ما لا

نهاية بعد ان يكون احد الضلعين يزيد على الاخر واحداً واما عدد اخر فلا واما ان زاد احد الضلعين مزيد على الاخر شيا اخر غير الواحد مثل الاثنين والثلثة والاربعة او غير ذلك من الاعداد التى بعدها فليس تسمى هذه الاعداد مختلفة الطولين تسمية صحيحة مثل الاربعة مرتين او الستة ثلث مرات او الثمانية ثلث مرات اوغير ذلك مما اشبهه لكن هذه الاعداد تسمى المتباينة الطولين وذلك ان القدمآ اللذين كانوا على عهد فوثاغورس واللذين قبلوا عنهم التعليم وتوارثوه انما كانوا يقولون ان الشى الاصلى الذى يظهر فيه الغير والاختلاف هو الاثنان وانما المشتبه والاشتباه وان يقال للشى انه هو انما يظهر فى الواحد ختى يكون مبادى هذه الاسباب سببين وهذان السببان انما بينهما اختلاف بواحد فيكون الشى المخالف انما الاصل فى خلافه ايضا الواحد لا غيره من الاعداد ولهذا السبب صار اسم الغيرية انما يقع عند المتكلمين المتصيبين فى كلامهم على الاثنين لاعلى اكثر من ذلك بحسب ما جرت به عادتهم وايضا فانا قد بينا ان نوع كل عدد فرد فانما يكون على الواحد واما الاعداد الازواج فعن الاثنين ومما قلنا نعلم ان العدد الفرد مشارك الاشتباه والهوهو وان العدد الزوج مشارك لطبيعة الغيرية وذلك انه يكون من جميع اعداد كل واحد من هاذبن النوعين ما يشاكله فى هذه الطبيعة اما من جميع الاعداد المبتدية من الواحد والاعداد المربعة واما من الاعداد الازواج المبتدية من الاثنين والاعداد المختلفة الطولين ومن الضرورة ان نظن بان المربع طبيعته الهو هو لان قياس اضلاعه بعضها الى بعض ونسبتها نسبة المساواة التى ليس فيها تغير وان نظن ان المختلف الطولين طبيعته طبيعة الغيرية وذلك انه كما ان الاختلاف فيما بين الواحد والاثنين انما هو الواحد فقط كذلك ايضا الاختلاف من ضلعى العدد المختلف الطولين انما هو واحد ومما تبين ما قلنا ايضا انا نضع الاعداد المتوالية المبتدية من الواحد فنميزها ونضع الافراد منها فى

سطر واحد والازواج فى سطر واحد فيكون هذان السطران على ما اصف اما من الاعداد الافراد فنضع هذه

ا ج ه ز ط يا يج يه يز يط كا كج كه

واما من الاعداد الازواج فانا نضع هذه ىع

ب د و ح ى يب يد يو يح ك كب كد

فابتدا السطر الذى فيه الاعداد الافراد وهو الواحد طبيعته طبيعة الهو هو وطبيعة الفرد ولذلك لا يكون منه اذا ضرب فى نفسه على جهة المسطحات ولا اذا ضرب فى غيره اخرجه عما كان عليه اولاً لمكنه يحفظ على الحال التى كان عليها وليس يوجد ذلك فى شى من الاعداد واما ابتدا السطر الاخر فهو عدد الاثنين الذى طبيعته الزوج منه ابتدا الغيرية وذلك انه ان ضرب فى غيره فهو يخرج ما يضرب فيه عما كان عليه مثل الثمانية فى الاثنين فاما اذا ضربت الثمانية فى الثمانية وما اجتمع فى الاثنين او فى ثلثة فان المجتمع من ذلك يسمى الشكل الملبن وذلك انه مجتمع من ضرب فى عدد مساو له وما اجتمع مما هو اصغر من ذلك العدد الاول فاما ان ضرب عدد مربع فى عدد اكثر من ضلعه يكون سمكاً له فان المجتمع من ذلك يسمى دوقيدس مثل الثلثة فى الثلثة وما اجتمع فى سبعة او فى ستة او فى تسعة وفى اى عدد كان بعداً يكون زايداً على كل واحد من العددين الاولين وذلك ان العدد الذى يقال له دوقيدس هو المجتمع من ضرب عدد فى عدد مساو له وما اجتمع له فى عدد اكثر من ذلك العدد الاول وقد كنا قلنا ان الاعداد التى تشبه الاخشاب هى التى تجتمع من ضرب عدد فى عدد غير مساو له وما اجتمع فى عدد غير مساو لواحد منها وان الاعداد المكعبة هى المجتمعة من ضرب عدد فى مثله وما اجتمع فى مثل ذلك العدد الاول وهذه

الاعداد المكعبة التى قد وصفناها بهذه الصفة منها اذا ما ضرب فى مثله وما اجتمع فى مثل ذلك وكذلك فيما بعد كان ما ينقضى عنده كل واحد من الاعداد المجتمعة مثل الاول الذى عنه كان فهذا الصنف من الاعداد المكعبة يسمى الاعداد الكرية ويسمى ايضا الاعداد الدورية مثل الاعداد التى ضلعها عدد الخمسة والتى ضلعها عدد الستة وذلك انك اذا ضربتها فى مثلها كم مرة شيت كان ما ينقضى عنده كل واحد منها ابدا مثل الضلع الذى عنه كان اما ما اجتمع من الستة فينقضى عند الستة واما ما اجتمع من الخمسة فعند الخمسة مثل الخمسة فى مثلها فانها تنقضى عند الخمسة واذا ضرب ذلك فى خمسة كان فى اخر ما يجتمع منه عدد الخمسة وكذلك ايضا ان ضرب ما اجتمع فى خمسة ولو فعل ذلك الى ما لا نهاية لما وجد فى اخره الا الخمسة وكذلك ايضا ينتهى الاعداد المجتمعة من الستة الى عدد الستة لا الى غيره وعلى هذا القياس يكون الواحد كرياً ودورياً بالقوة وذلك انه يعرض مثل الذى يعرض للكرة وللدايرة وذلك ان كل واحد من هذين الشكلين ينتهى الى الموضع الذى منه يبتدى فيكون الاعداد التى ذكرنا وحدها هى التى ترجع رجوعاً مستويا الى ما كانت عليه اولاً فى اواخر ما يجتمع من كل مرة فضرب فى نفسه او فى المجتمع من ذلك الا انه متى ضرب العدد مرة واحدة فكان ذا بعدين كما يكون السطوح سمى ذلك العدد دايرة مثل الواحد والخمسة وعشرين والستة وثلاثين فانها مجتمعة من الواحد مرة واحدة والخمسة خمس مرات والستة ست مرات فمتى ضرب العدد ثلث مرات فكان ذا ثلثة ابعاد او اكثر من ذلك فان المجتمع من ذلك يسمى عدداً كرياً مثل الواحد والماية وخمسة وعشرين والمايتين وستة عشر وعلى جهة اخرى وستماية وخمسة وعشرين والف ومايتين وستة وتسعين

(١٨) وقد بكتفى فى هذا الموضع بما قد ذكرناه من امر الاعداد المجسمة ولما كان اصحاب علم الطبيعة واصحاب العلوم التعليمية انما يجعلون مبادى الاشيا كلها الهوهو

والغيرية وكان قد تبين ان الهوهو موجود فى الوحدة وفى الاعداد الافراد التى كانت عنه وبخاصة فى المربعات التى انما تكون من جميع هذه الاعداد وذلك ان التساوى يظهر فى اضلاعها ويتبين ان فى كل الاعداد المسطحة الكاينة عن جمع الاعداد الازواج وذلك لما فيها من الاختلاف الاول والغيرية الموجودة فيما بين اضلاعها فان الواجب ايضا ان نبين كيف يظهر فى كل واحد من هاذين الصنفين بمتزلة المبادى والاصول التى هى كالنور بالقوة جميع خواص الاعداد اعنى انواعها واقسامها وتشاكلها والاشكال ذوات الاضلاع منها وما اشبه ذلك وينبغى اولاً ان نخبر بالفرق فيما بين الاعداد المتباينة الطولين وبين المختلفة الطولين فنقول ان العدد المختلف الطولين كما ذكرنا انفا هو الكاين من ضرب عدد فى عدد اعظم منه بواحد مثل عدد الستة الذى هو مجتمع من ضرب ثلثة فى اثنين ومثل عدد الاثنا عشر الذى هو مجتمع من ضرب ثلثة فى اربعة واما العدد المتباين الطولين فهو ايضا مجتمع من ضرب عددين غير متساويين احدهما فى الاخر الا ان ما بينهما من الاختلاف ليس هو الواحد لكن عدد ما اكثر من الواحد مثل الاثنين فى الاربعة والثلثة فى الستة والاربعة فى الثمانية وما اشبه ذلك من الاعداد التى يتجاوز اختلاف ما بين طوليها الواحد فيزيد عليه فلما كان العدد المربع مجتمعاً من ضرب عدد ما فى مثله صار طوله وعرضه واحداً ولذلك يسمى اطوالها اطوالا واحدة مثل الاثنين فى الاثنين والثلثة فى الثلثة والاربعة فى الاربعة وما اشبه ذلك ولما كان ذلك كذلك صار الشى الذى [الذى] يقال له هوهو موجوداً فى هذه الاعداد وذلك ان التساوى موجود ولذلك صارت محدودة متناهية لان التساوى والهو هو انما يكونان على جهة واحدة محدودة [لا] يشار اليها ولما كانت الاعداد المختلفة الطولين ليس انما تجتمع من ضرب عدد فى مثله لكن من ضرب عدد فى عدد اخر ولذلك صارت مختلفة الطولين صارت مظهرة الاختلاف ولما ليس بمتناه ولا محدود فجميع الامور العددية ينقسم قسمين ويظهر فيه التضاد

والاختلاف وكذلك ايضا الحال فى كون ما يكون فى العالم وقد اجاد القدمآ لما ابتدوا فى صفة العلم الطبيعى حيث جعلوا اول قسمة قسموا

اما افلاطون فانه ذكر هذه القسمة حيث وصف طبيعة الهوهو والغيرية وسماها بهذين الاسمين وحيث وصف الشى الذى لا ينقسم وجوهره باق على حال واحدة والشى الذى هو منقسم ن واما فلولاوس فانه قال يجب ان يكون... الموجود اما غير متناهية واما متناهية... وغير متناهية معا وهذا الامر الاخير هو الذى يجب ان يتوهم فقد تبين مما قلنا ان هاولاى القوم قد جعلوا العالم من المتناهية ومن التى ليست بمتناهية على مثال الاعداد وذلك ان جميع الاعداد ازواجها وافرادها انما تكون عن الواحد وعن الاثنين وهذان شيان يظهر فيهما الهو هو والغيرية التى من طبيعة المتناهى والمحدود وغير المحدود

(١٩) ولكن نتبين ما قلنا بياناً واضحاً فانما نتبين ان هذه الاشيا انما هى عن تاليف الاشيا النتباينة المتضادة والتاليف بالجملة انما يكون عن الاشيا المتضادة وذلك ان التاليف هو اتحاد اشيا مختلفة منفقة والجمع بين اشيا منفردة بعضها عن بعض فى الوهم فنضع فى سطرين الاعداد متوازيين اخذين طولاً ولا نضع فيهما الاعداد الازواج المبتدية من الواحد على حذة كما فعلنا انفاً لكنا نضع فيهما الاعداد التى كانت عن جمع هذه الاعداد اما عن جمع الاعداد الافراد فالاعداد المربعة واما عن جمع الازواج فالاعداد المختلفة الطولين فانا اذا وضعنا هذين السطرين هذا الوضع وقابلنا بينهما تعجبنا من ايتلافهما وتضافرهما فى توليد ساير الاشيا وحدوثها عنهما فنفهم من ذلك كيف فعلت ذلك العناية المرتبة للعالم فى طبيعة الكل فليكن السطران اللذان ذكرنا هذين السطرين اما السطر منهما الذى فيه الاعداد المربعة المبتدية من الواحد فهذا السطر

ا د ط يو كه لو مط سد فا ق قكا قد قسط قصو ركه

واما السطر الذى فيه الاعداد المختلفة الطولين المبتدية من الاثنين فهذا السطر

ب و يب ك ل مب نو عب ص قى قلب قنو قغب رى رم

اما اولا فانا نجد نسبة اول ما فى احد السطرين الى اول ما فى السطر الاخر النسبة الاصلية من نسب ذى الاضعاف واما نسبة الثانى الى الثانى فنسبة المثل والنصف ونسبة الثالث الى الثالث نسبة المثل والثلث ونسبة المثل والسدس وما بعد ذلك على هذا القياس الى ما لانهاية له واما فضول ما بين كل واحد من اعداد احد السطرين وبين نظيره من اعداد السطر الاخر فانها اذا اخذت على وحدة جارية على ترتيب الاعداد المتوالية المبتدية من الواحد اما فضل ما بين الاول فالواحد واما فضل ما بين الثانى والثانى فالاثنان واما فضل ما بين الثالث والثالث فالثلاثة وما بعد ذلك على هذا المثال ثم انه قيس الثانى مما فى السطر من الاعداد المربعة باول ما فى سطر المختلفة الطولين وهو الاثنان والثالث من تلك بالثانى من هذه والثالث... وما بعد ذلك على الولآ كانت النسب هاهنا مثل النسب المتقدمة لا فرق بينها وبينها واما اختلاف ما بينها وبينها فانه لا يبتدى من الواحد فى ذهابه الى ما يتلو من الاعداد لكن من الاثنين وايضا فانا لما قسناها فى احد هذين السطرين بما فى السطر الاخر على القياس الاول كانت لنا نسبة الاول مما فى احدهما الى الاول مما فى الاخر النسبة الاصلية من نسب ذوات الاضعاف وكانت لنا نسبة الثانى الى الثانى النسبة الثانية من النسبة الاصلية التى ذكرناها وهى نسبة المثل والنصف وكانت لنا نسبة الثالث الى الثالث النسبة الثالثة من النسبة الاصلية وهى نسبة المثل والثلث وما بعد ذلك على هذا المثال وايضا فان اختلاف ما بين الاعداد المربعة الافراد وحدها واختلاف ما بين الاعداد المختلفة الطولين هو الاعداد الازواج وحدها وايضا فانا ان وضعنا الاول من المختلفة الطولين فيما بين الاولين من المربعة وجعلنا الثانى من تلك فيما بين المربعين اللذين بعد ذلك

والثالث فيما بين التى بعد هذه والرابع فيما بين التى تتلو ذلك فان كل ثلثة منها ترى عند ذلك متناسبة الاعظم منها الى الاوسط كنسبة الاوسط الى الاصغر وليس للنسبة التى بين الثلاثة منها كالنسبة التى بين الثلاثة التى تتلوها لكنها تتغير ابدا الى النسبة التى تتلو تلك النسبة ويكون المجتمع من ضرب احد العددين المربعين فى الاخر من كل ثلثة من هذه الاعداد المقترنة التى ذكرنا مثل المربع الكاين من الاوسط منها واذا جمع العددان اللذان فى الطرفين من كل ثلثة اعداد منها مع ضعف العدد الاوسط كان ذلك عدداً مربعاً ويعرض فيها ايضا شى الطف من هذا وهو ايضا فى هذين السطرين اذا جمع كل واحد مع نظيره من الاجزا كانت من ذلك الاعداد المثلثة على الولى [فيكون ذلك دليلاً على ان اعداد هذين السطرين اذا جمع كل واحد نظيره من الاجزا كانت من ذلك الاعداد المثلثة على الولى] فيكون ذلك دليلاً على ان اعداد هذين السطرين هى الطبيعة كالمبدا والاصل الاول لجميع الاعداد وذلك ان الواحد مع الاثنين عدد مثلث وكذلك الاثنان مع الاربعة والاربعة مع الستة والستة مع التسعة والتسعة مع الاثنى عشر والاثنى عشر مع والستة عشر مع العشرين وما بعد ذلك تولد الاعداد المثلثة على مراتبها وهى التى يتولد عنها ساير الاشكال ذوات الاضلاع

(٢٠) وايضا فان كل عدد مربع يزاد عليه ضلعه فانه يصير عددا مختلف الطولين وهكذا يفهم امر الغيرية اذا قيس بالهوهو وذلك ان التغير يكون الى الكثرة والى القلة اذا كان ذلك انما يكون الى الزيادة والى النقصان كما ان نوعى الاختلاف وهما العظم والصغر انما يحدثان 〈ان〉 يزاد على المساوى او ينقص منه ذلك ايضا دليل كاف على مشاركة الهوهو والغيرية للنوعين اللذين ذكرنا اما الغيرية فتشارك ما ليس بمحدود واما الهوهو فيشارك الشى المحدود اما على الحقيقة والاثنين والواحد واما على جهة عرضية فان الفرد يشارك الهوهو وذلك انه مجانس للواحد والزواج

فيشارك الغيرية وذلك انه مجانس للاثنين وايضا فانه يعلم علماً ابين من هذا ان الاعداد المربعة مجانسة للهوهو وذلك انما مركبة من الاعداد الافراد وان الاعداد المختلفة الطولين مجانسة للغيرية وذلك انها مركبة من الاعداد الازواج وايضا فان الالفة التى بينها ... هذين السطرين يتعاقبان فى امر التفاضل وامر النسب فاذا لم يكن النسب فيما بين اعدادها متساوية وذلك ان فضل ما بين الاربعة والاثنين اللذين نسبتهما نسبة الضعف مثل فضل ما بين الستة والاربعة اللذين نسبتهما نسبة المثل والجز وايضا فان فضل ما بين التسعة والستة نسبتهما نسبة المثل والنصف مثل فضل ما بين الاثنى عشر والتسعة اللذين نسبتهما نسبة المثل والثلث وما بعد ذلك على هذا المثال وما يعنى بالكيفية وهاهنا كيفية النسبة ويعنى بالكمية كمية التفاضل كانت الكيفية فيه من هذه الاعداد كيفية واحدة فان الكمية مختلفة وعلى عكس ذلك اعنى ان كانت الكمية فيه واحدة فان الكيفية فيه مختلفة وايضا فانه يجب اضطراراً ان يكون فضل ما بين كل واحد من حدود هذه النسب جزاً من اضغرهما وان يكون اختلاف ما بين الجزين الاخرين جزاً يخالف تسميته تسمية الجز الاول بواحد فيكون بعضها نصفاً ويكون الذى بعده ثلثاً او تكون احدى النسبتين ربعا ً والاخرى خمساً وما بعد ذلك على هذا المثال ومما يصح ان الفرد سبب للهوهو وان الزوج لا يكون سبباً لذلك ان يتبين ذلك فى جميع الاعداد المتناسبة التى تبتدى من الواحد مثل الاعداد المتناسبة بنسبة الضعف وهى الواحد والاثنان والاربعة والثمانية والستة عشر والاثنان والثلثون والاربعة وستون والماية والثمانية وعشرون والمايتان وستة وخمسون ومثل الاعداد المتناسبة نسبة الثلاثة الامثال وهى الواحد والثلثة والتسعة والسبعة وعشرون والواحد وثمانون والمايتان وثلثة واربعون والسبع ماية وتسعة وعشرون والالفان وماية وسبعة وثمانون وما بعد ذلك الى اى موضع اراد المريد فانك تجد ما كان

موضعه من هذه الاعداد عن الواحد فى احد المواضع التى عددها فرد عدداً مربعاً وتجد شيا من الاعداد الباقية اعنى الاعداد التى هى فى احد المواضع التى عددها زوج عدداً مربعاً وايضا فان جميع الاعداد التى تجتمع من ضرب عدد فى مثله وما اجتمع فى مثل ذلك العدد الاول وهى الاعداد المكعبة التى لها ثلثة ابعاد وتظن انها تشارك الهوهو مشاركة شديدة انما يكون عن الاعداد الافراد لا عن الازواج وهى الواحد والثمانية والسبعة وعشرون والاربعة وستون والماية وخمسة وعشرون والمايتان وستة وخمسون وما بعد ذلك على هذا الطريق وعلى سبيل بسيطة غير متعبة وذلك انا اذا وضعنا الاعداد الافراد المتوالية المبتدية من الواحد بلا نهاية كان الاول منها وهو الواحد مكعباً بالقوة وكان العددان اللذان بعدهما مجموعين المكعب الثانى وكانت الثلاثة الاعداد التى بعد هذا المكعب الثالث والاربعة التى تتلو هذا المكعب الرابع والخمسة التى بعدها المكعب الخامس والستة التى تتبعها المكعب السادس وما بعد هذا على هذا المثال دايماً

(٢١) وقد ان لنا من بعد ما قلنا فى هذا الموضع الا بالوحا وهى تساوى القياس اذا كان ذلك مما يضطر الحاجة اليه وفى علم الطبيعة وفى الموسيقى وعلم الكرة والهندسة وينفع منفعة ليست بالدون فى قراة كتب القدما وفهمها ثم نختم كتابنا هذا اذا كان قد بلغ المبلغ الذى يكتفى به فى المدخل الى علم العدد ن فنقول ان تساوى القياس بالحقيقة هو اخذ نسبتين معا واما على جهة اعم من هذه فان تساوى القياس هو اخذ قياسين او اكثر معا وان لم يكن ذلك على شى [و]من النسب لكن على شى من التفاضل او من شى غيرهما والنسبة هى قياس حدين احدهما الى الاخر ومن تركيب مثل هذه الاشيا يكون تساوى القياس فيجب ان يكون اقل ما يعرض استوا القياس فى ثلثة حدود اذ كان بعضها يتلو بعضاً

على تساو من الاختلاف والبعد بينهما او على تساوى النسبة مثل نسبة الواحد الى الاثنين فانها نسبة الضعف وهى نسبة واحدة فيما بين حدين وهى كنسبة الاثنين الى الاربعة والواحد والاثنان والاربعة متساوية القياس وذلك ان نسب هذه الحدود بعضها الى بعض نسبة واحدة وقد يفهم مثل ذلك ايضا فى الحدود التى هى اكثر عدداً وذلك انا ان وضعنا بعد هذه الحدود حداً رابعاً وهو الثمانية كان قياسه الى الاربعة مشبها للمتقدم وذلك انه ضعفه فان كان الحد الواحد بعينه يقاس الى الحدين اللذين على جنبتيه اما الى الحد الذى هو اعظم منه فكالتابع له فى النسبة واما الى الحد الذى هو اصغر منه فكالمتقدم له فى النسبة فان التساوى فى القياس يقال له المتصل والمتوالى مثل الواحد والاثنين والاربعة اذا كان قياسهما فى الكيفية اعنى فى النسبة وذلك ان نسبة الاربعة الى الاثنين مثل نسبة الاثنين الى الواحد وعلى عكس ذلك ايضا نسبة الواحد الى الاثنين كنسبة الاثنين الى الاربعة واما اذا كان القياس فى الكمية فمثل الواحد والاثنين والثلثة وذلك ان مقدار زيادة الثلثة على الاثنين مثل مقدار زيادة الاثنين على الواحد وعلى عكس ذلك ايضا مقدار نقصان الواحد عن الاثنين مثل مقدار نقصان الاثنين عن الثلثة واما اذا كان قرين الحد الاصغر حداً ما اعظم مقدماً فى النسبة وكان قرين الحد الاعظم حداً اخر غير الحد الذى ذكرنا متاخراً عنه فى النسبة واصغر منه فان هذا النوع من التوسط وهذا التساوى فى القياس لايقال له متصلاً على توالى لكن منفصلاً ومثال ذلك فى الكيفية الواحد والاثنان والاربعة والثمانية وذلك ان نسبة الاثنين الى الواحد كنسبة الثمانية الى الاربعة وعلى عكس ذلك ايضا نسبة الواحد الى الاثنين كنسبة الاربعة الى الثمانية وعلى الابدال ايضا نسبة الواحد الى الاربعة كنسبة الاثنين الى الثمانية او نسبة الاربعة الى الواحد كنسبة الثمانية الى الاثنين واما على سبيل الكمية فان مثال ما قلنا الواحد والاثنان والثلثة والاربعة وذلك ان نقصان الواحد عن الاثنين مثل نقصان الثلثة عن الاربعة او زيادة الاربعة على الثلثة مثل زيادة الاثنين على الواحد على سبيل الخلط يكون زيادة الثلثة على الواحد مثل زيادة الاربعة على الاثنين او نقصان الواحد عن الثلثة مثل نقصان الاثنين عن الاربعة

(٢٢) وتساوى القياسات القديمة التى قد اجمع عليها جميع القدمآ وذكرها فيثاغورس وافلاطون وارسطوطاليس هى ثلثة متقدمة لغيرها وهى العددى والهندسى والتاليفى واما الثلاثة الاخر المقابلة لهذه الثلثة فليس لها اسما الا انه يقال لها قولاًعاماً التوسط الرابع والتوسط الخامس والتوسط السادس وقد وجد من اتى من بعد القدمآ اربع وسايط اخر من بعد هذه التى ذكرنا متممة عشر توسطات الذى هو عند اصحاب قوثاعورس عدد اتم من غيره وهو ايضا العدد المحيط بالعشر النسب التى ذكرناها قبيل وكذلك ايضا عدد القاطيغوريات وهى المقولات تكون عشرة واقسام الاطراف والاصابع واشكالها عشرة وكذلك ايضا يوجد اشيا اخر كثيرة جارية على هذا العدد وسنبين ذلك فى موضع اخر من المواضع التى تليق به واما الان فانا نرجع من اول هذا المعنى ونقول فى ذلك قولاً على نظام ونبتدى اولاً فنذكر ارتباط القياسات بعضها مع بعض اذ كان فى الكمية الكاينة بحسب تفاضل ما بين الحدود وكان هذا التفاضل مساوياً وهذا الضرب من تساوى القياس هو الذى قلنا انه العدد وذلك ان هذا النوع وجدت خاصة العدد وانما بدانا اولاً بذكر هذا النوع قبل غيره لان طبيعته ترى متقدمة لطبايعها وذلك انه يرى ويظهر فى الاعداد اذا وضعت على وجهها وطبيعتها من غير ان يترك ويسقط واحد منها مع ذلك ايضا فانا قد بينا بقياس اتينا به فيما تقدم ان هذا المدخل اعنى المدخل الى علم العدد متقدم لساير نظايره وذلك ان تلك ترتفع بارتفاع هذا واما هذا فليس يرتفع بارتفاع تلك وانه 〈لا〉 يدخل بدخوله تلك و[لا] يدخل هو بدخول تلك فبالواجب ما صار التوسط الواقع فى الاسم لصناعة العدد متقدماً للتوسطات الموافقة فى الاسم لتلك الباقية اعنى التوسط الهندسى والتوسط التاليفى واما المتوسطات المقابلة لهذه الثلثة فان من البين جداً ان التوسط العددى شديد التقدم لها اذا كان متقدماً للتوسطين اللذين هما اقدم منها فاذا كان التوسط العددى متقدماً لغيره بالطبيعة

مستحقاً للابتدآ به فان من الواجب ان نمتثل نحن ايضا ذلك فنذكره قبل الباقية فنقول

(٢٣) ان التوسط العددى يكون اذا وضعنا وتوهمنا ثلثة حدود متوالية او اكثر من ثلثة حدود وكان التفاضل فيما بين الحدود التى تلى بعضها بعضا مقداراً واحداً الا ان نسبة التى فيما بين تلك الحدود ليست نسبة واحدة مثل الواحد والاثنين والثلثة والاربعة والخمسة والستة والسبعة والثمانية والتسعة والعشرة والاحدى عشرة والاثنا عشرة والثلثة عشرة وذلك انا اذا وضعنا الاعداد هذا الوضع الطبيعى لها وجدنا كل حد من هذه الحدود اذا قيس بالحدين اللذين عن جنبتيه كان منه منهما التوسط العددى وذلك ان فضل ما بينه وبين كل واحد من العددين اللذين عن جنبتيه فضل مساو الا ان النسبة بينه وبينهما ليست واحدة ونحن نعلم ان الاعداد التى وضعها هذا الوضع قد يكون فيها على سبيل الانفصال وذلك انه ان كان الحد الواحد بعينه متقدماً فى احدى النسبتين تاليا فى النسبة الاخرى اذا قيس الى الحدين اللذين عن جنبتيه المفرق بينهما كان تساوى هذا القياس يكون على سبيل الانفصال وان اقتطعت من الاعداد التى وضعها الوضع الذى ذكرنا ثلثة حدود متوالية اى حدود كانت على سبيل التوسط المتصل او اربعة حدود او اكثر من ذلك على سبيل التوسط المنفصل فان التفاضل بينهما يكون واحداً ابدا واما النسب فانها مختلفة فى جميع ذلك فان لم تكن الحدود التى لم توجد متوالية لكن فيما بينهما حدود اخر الا ان ما يترك من الحدود وفيما بينها مساوى العدد ان كان واحداً فواحد وان كان اثنين فاثنين وان كان اكثر من ذلك فاكثر فان فضل ما بينها ان كان ما يترك من الحدود واحداً واحداً فهو اثنان اثنان من العدد فى جميع ذلك والتوسط الذى ذكرنا ان كان فى ثلثة اعداد فهو على سبيل الاتصال وان كان اكثر من ذلك فعلى سبيل الانفصال فاما ان كان ما يترك من الاعداد فيما بين الحدود عددين عددين فان الاختلاف فيما بين تلك الحدود ثلثة ثلثة فى المتصل منها وفى المنفصل واما ان كان ما يترك من الاعداد ثلثة اعداد ثلثة اعداد فان التفاضل اربعة اربعة وان كان ما يترك اربعة اربعة

فان التفاضل خمسة خمسة وما فوق ذلك على هذا المثال بمقدار تفاضل الحدود هاهنا وكمية مقدار مساو واما فى كيفية الحدود بعضها عند بعض فلا ولذلك صار هذا التوسط عددياً فاما ان كانت الكيفية متساوية فان هذا التوسط يكون هندسياً بدل العددى ولهذا التوسط العددى خاصة لم تعرض لغيره وهى الطرفان من حدوده اذا جمعا كان مثلى وسط ما بينهما من الاعداد ان كان هذا التوسط على سبيل الاتصال وان كان على سبيل الانفصال فضل واحد ذلك على طريق الابدال وذلك انه اما ان يكون الاوسط مع نفسه مرةً اخرى مساوياً للطرفين مجموعين واما ان يكون الاوسطان اذا جمعا مرةً اخرى مساوياً للطرفين مجموعين وايضا فان لهذا التوسط خاصة اخرى وهو ان نسبة كل واحد من حدوده الى نفسه كنسبة اختلاف ما بين الحدود بعضها الى بعض وذلك انها متساوية وايضا فان له خاصة اخرى هى اغمض مما ذكرنا وقد ذهبت على كثير من الناس وهى ان المجتمع من ضرب الطرفين احدهما فى الاخر اقل ابدا من المربع الكاين من الحد الاوسط بمثل المجتمع من ضرب واحد الاختلافين اللذين بين حدين من تلك الحدود فى الاختلاف الاخر منهما ان كان هذان الاختلافان واحداً واحداً وان كانا اثنين اثنين وان كانا ثلثة ثلثة او اربعة اربعة او غير ذلك من الاعداد اى عدد كان والخاصة الرابعة من خواص هذا التوسط التى هى خاصة قد ذكرها جميع القدمآ هى ان النسبة التى بين الحدين الاصغرين اعظم من النسبة التى بين الحدين الاعظمين واما التوسط التاليفى فان امرها بين النسبتين فيه على ضد ما هما عليه هاهنا

التوسط التاليفى ما كان منها التوسط العددى وفيما بين هاذين التوسطين اللذين هما كالطرفين التوسط الهندسى لان النسب التى بين حدوده الصغار ونحن نرى المساوى متوسطاً فيما بين الاعظم والاصغر فهذا ما نقوله فى التوسط العددى

(٢٤) الهندسى فهو وحده يسمى تساوى القياس والمناسبة على حقيقة التسمية اذ كانت النسب التى فيما بين حدوده نسبا متساوية وهذا التوسط يكون متى كانت ثلثة حدود او اكثر من ذلك فكانت نسبة الحد الاعظم منها الى الذى يتلوه كنسبة ذلك الحد الثانى الى الذى يتلوه وان زادت الحدود الثلثة الى الحد الذى يزيد مثل تلك النسبة ومقدار التفاضل بين هذه الحدود ليس مقداراً واحداً فاما كيفية نسبها فواحد وهذا ضد ما يظهر من التوسط العددى مثل ذلك انه ان وضعت الحدود المبتدية من الواحد المتوالية على نسب الضعف وهى ا ب د ح يو لب سد وما بعد ذلك على هذه النسبة الى ما لا نهاية ووضعت ايضا الحدود المبتدية من الواحد المتوالية على نسبة الثلثة الامثال وهى ا ج ط كز فا رمج وما بعد ذلك او المتوالية على نسبة الاربعة الامثال او الخمسة الامثال او غير ذلك مما يشبه وضعنا فانا اذا اخذنا من الحدود التى فى احد هذه السطور ثلثة منها متوالية او اربعة او غير ذلك كايناً ما كان فان حالها بعضها عند بعض حال تساوى القياس الهندسى فتكون نسبة الاول منها الى الذى يتلوه كنسبة ذلك الثانى الى الذى يتلوه وكنسبة هذا الى الذى يتلوه ولا يزال الامر جارياً على هذا الى اى موضع اراد المريد وكذلك ايضا يكون فى مذهب الخلط مثل الاثنين والاربعة والثمانية وذلك ان نسبة الثمانية الى الاربعة كنسبة الاربعة الى الاثنين وهى فى تفاضل ما بينهما على عكس ما قلنا لانها فى ذلك غير متساوية وايضا فانا ان جعلنا هذه الحدود اثنين واربعة وثمانية وستة عشرة فانه ليس انما نرى ان نسبة الستة عشر الى الثمانية فقط مساوية للنسبة التى قدمنا ذكرها وان تفاضل ما بينها مختلف لكن يكون ذلك على مثل ما وصفنا على طريق الابدال ايضا وعلى عكس الابدال وذلك ان نسبة الاربعة الى الاثنين كنسبة الستة عشرة الى الثمانية وعلى عكس ذلك نسبة الاثنين الى الثمانية كنسبة الاربعة الى الستة عشرة وعلى جهة الانفصال تكون نسبة الاثنين الى الاربعة كنسبة الثمانية الى الستة عشرة واما على جهة عكس النسبة التى على جهة الانفصال فتكون نسبة الستة عشرة الى الثمانية كنسبة الاربعة

الى الاثنين وللتوسط العددى خاصة ليست لشى من الباقية وهى ان نسب اختلافات ما بين الحدود بعضها الى بعض كنسب الحدود انفسها الى الحدود التى تليها اذا نسبت الكبار منها الى الصغار والصغار الى الكبار ويكون نسب الاختلافات اذا عكست كنسب الحدود اذا عكست ولهذا التوسط خاصة اخرى وهى ان اختلاف ما بين الحدود الكبار من كل واحد من نسبة وبين الصغار منها اذا كانت النسبة بين الحدود نسبة الضعف مساو للحدود الصغار واختلاف ما بين حدوده الكبار مخالف اختلاف ما بين حدود الصغار بمثل اختلاف ما بين الحدود الصغار فاما ان كانت النسبة التى بين الحدود نسبة الثلثة الامثال فان اختلاف ما بين الحدود التى ذكرنا واختلاف ما بين الاختلافات التى ذكرنا يكون مرتين مثل ما قلنا واما ان كانت النسبة التى بين الحدود نسبة الاربعة امثال فان ذلك يكون ثلث مرات مثل ما قلنا وان كانت النسبة خمسة امثال فان ذلك يكون اربع مرات مثل ما قلنا وما بعد ذلك الى حيث ما اراد المريد وليس انما يكون استوا القياس الهندسى فى ذوات الاضعاف فقط لكنه يكون ايضا فى جميع انواع الزايدة جزاً والزايدة اجزآ وما يتركب من ذلك ومن خواص هذه التوسطات التى تسلم وتلزم فى جميع هذه الانواع ان الذى يكون من ضرب احدى الطرفين منها احدهما فى الاخر مساو الذى يكون من ضرب الحد الاوسط فى نفسه اذا كان هذا التوسط على سبيل الاتصال واما اذا كان هذا التوسط على سبيل الانفصال وكانت حدوده اكثر مما قلنا او ان كانت على سبيل الاتصال الا ان عددها عدد زوج وان الذى يكون من ضرب احدى الطرفين احدهما فى الاخر مثل الذى يكون من ضرب الاوسطين احدهما فى الاخر واما المثال الذى نبين به ان هذه الخاصة التى ذكرنا فيه على حال واحدة فى جميع نسب ذوات الاضعاف والزايدة جزاً والزايدة اجزا وفيما يتركب من ذلك فانا نكتفى فيه بما اتينا به من ذلك فى وصفنا للوجه الذى يتولد بسببه 〈نسب〉 غير

المساواة عن نسب المساواة اذا حفظت فى ذلك الثلث الوصايا التى قدمنا ذكرها والتى بها يرد ذلك على العكس وذلك ان فى كل واحد من الاعمال التى ذكرنا هناك توسطاً هندسياً يجب فيه الخواص التى وصفنا كلها ويجب مع ذلك ايضا امر رابع وهو ان النسبة تكون واحدة فى الحدود الكبار وفى الحدود الصغار وايضا فانا ان وضعنا هاهنا ايضا السطر المشترك للاعداد المختلفة الطولين والاعداد المربعة وجعلنا ترتيب ما فيه ترتيبا يحيط بجميع ما فى هذين الجنسين على ان نجعل منه واحداً من احدهما وواحداً من الاخر ثم تاملنا كل ثلثة نقط تقع منها وابتدانا من الواحد بعد ان نجعل المقدمة منها موخرة والموخرة مقدمة [كانا] نجد هذه النسب تبتدى من الضعف ثم تاخذ ذاهبة فى جميع نسب ذوات المثل والرابع وما بعد ذلك على هذا المثال وقد ينبغى لنا الان ان نذكر معنى تابعاً لما قلنا مما نحتاج اليه فى بعض المعانى التى ذكرها افلاطون وهو ان المسطحات انما يقول انه يصل فيما بينها حد واحد متوسط فيما بينها حدان متوسطان لها نحن نذهب فى ذلك الى هذا التوسط الهندسى فان هذا النوع من تساوى القياس وذلك انه انما يوجد للعددين المربعين اذا كانا متواليين عدد واحد فقط يوجد فيه هذا النوع من تساوى القياس الذى هو الهندسى وهو المتقدم فى النسبة بقياسه الى الحد الاصغر والثانى فى النسبة بقياسه الى الحد الاعظم وليس يوجد فيما بين عددين من الاعداد التى وصفنا اكثر من عدد واحد على ما قلنا فيكون بين الحد الاوسط وبين الحدين اللذين فى الطرفين بعدان تكون النسبة فيهما جميعاً نسبة واحدة وايضا فان كل عددين مكعبين متواليين فانه يوجد بينهما حدان متوسطان من الاعداد على سبيل المناسبة الهندسية ولا يوجد بينهما اكثر من ذلك فتكون الابعاد بينهما ثلثة واحد منها فيما بين الحدين الاوسطين واثنان اخران فيما بين هذين الحدين وبين الحدين اللذين فى الطرفين من الجهتين جميعا وعلى هذه الجهة يقال فى المجسمات انها ذوات ثلثة ابعاد وان المسطحات ذوات بعدين مثل

عدد الاربعة والتسعة المربعين فان بينها عدداً مناسباً لهما وهو الستة الذى نسبة الاعظم من هذه الاعداد اليه كنسبته هو الى العدد الاصغر وكنسبة اختلاف ما بين الاعظم والاوسط الى اختلاف ما بين الاوسط والاصغر وسبب ذلك ان ضلعى المربعين اللذين لكل واحد منهما ضلع منهما هما جميعاً ضلعان عنهما يتولد ذلك العدد الاوسط واما لمكعبات مثل الثمانية والسبعة وعشرين فانه لا يوجد بينهما عدد واحد مناسب لهما لكن يوجد بينهما عددان مناسبان لهما وهما عدد الاثنى عشر وعدد الثمانية عشرة وتكون هذه الاعداد الاربعة متناسبة واختلاف ما بينها ايضا بمثل نسبها وسبب ذلك ايضا هو ان الاضلاع التى عنها يكون هذان العددان المتوسطان هى اضلاع المكعبين اللذين هما بينها مختلطة بعضها مع بعض وذلك ان احدهما مجتمع من اثنين فى اثنين فى ثلثة والاخر مجتمع من ثلثة فى ثلثة فى اثنين وايضا فان المجتمع من المربع فى المربع بالجملة يكون مربعاً والمجتمع من المربع فى المختلف الطولين لا يكون مربعاً واذا ضرب المكعب فى المكعب كان المجتمع مكعباً وان ضرب مكعب فى مختلف الطولين او مختلف الطولين فى مختلف الطولين لم يكن من ذلك مكعب كما ان الزوج اذا ضرب فى الزوج كان المجتمع زوجاً والفرد اذا ضرب فى الفرد كان المجتمع فرداً واذا ضرب زوج فى فرد او فرد فى زوج فان المجتمع ابدا زوج ولا يكون فرداً ابداً وشرح ذلك وموضع الحاجة اليه يعلم من قراة الموضع الذى ذكر فيه افلاطون امر التزويج فى كتابه الذى يقال له فوليطيا وهو كتاب السياسة وينبغى الان ان ننتقل الى القول فى استوا القياس الثالث وهو الذى يسمى التاليفى فنقول

(٢٥) ان التوسط الثالث فى المرتبة وهو الذى يقال له التاليفى يكون متى كانت ثلثة حدود فلم يكن الحد الاوسط منها مناسباً للطرفين نسبة واحدة اذا جعل مقدماً فى احدى النستين تاليا فى النسبة الاخرى كما يعرض فى التوسط الهندسى ولم تكن الابعاد التى بين الحدود مساوية ونسبها مختلفة كما تكون فى التوسط العددى ويكون

نسبة الحد الاعظم الى الحد الاصغر كنسبة اختلاف ما بين الحد الاعظم والاوسط الى اختلاف ما بين الاوسط والاصغر مثل الثلثة والاربعة والستة ومثل الاثنين والثلثة والستة وذلك ان عدد الستة يزيد على الاربعة مثل ثلثه لان ثلث الستة اثنان وعدد الثلثة ينقص عن عدد الاربعة ثلث الثلاثة لان ثلث الثلاثة واحد والمثال الاول من المثالين اللذين ذكرنا يكون نسبة احد الطرفين فيه الى الاخر نسبة الضعف وكذلك ايضا نسبة اختلاف ما بينهما وبين الحد الاوسط احدهما الى الاخر واما المثال الثانى من المثالين ذكرنا فان النسبة التى قلنا تكون فيه نسبة الثلثة الامثال ولهذا التوسط كما قلنا خاصة مضادة لخاصة التوسط العددى وذلك ان النسب التى كانت تكون هناك فيما بين الحدود الصغار كانت تكون اعظم والتى كانت تكون بين الحدود العظام كانت تكون اصغر واما هاهنا فان الامر يكون على عكس ذلك لان النسب التى بين الحدود العظام تكون اعظم والتى بين الصغار تكون اصغر فيكون من اجل ذلك التوسط الهندسى كالمتوسط فيما بين هذين اذ كانت نسبتاه اللتان عن الجنبتين تريان متساويتين متوسطتين فيما بين العظم والصغر وايضا فان التوسط العددى تكون فيه النسبة التى بينه وبين زيادته على الحد الاصغر والتى بينه وبين نقصانه عن الحد الاعظم نسبة واحدة اذا نسب ذلك الفضل اليه وجعل جزاً منه واما اذا نسب ذلك الفضل الى الحدين الاخرين فان جزوه منهما يكون مختلفاً واما فى التوسط التاليفى فيعرض ضد ما قلنا وذلك ان الحد الاوسط يكون فضل ما بينه وبين الحدين اللذين عن جنبتيه اجزآ مختلفة من اجزايه بها يكون اعظم من احدهما او اصغر واما اذا قيس الفضل الذى بينه وبينهما اليهما فان جزاه منهما يكون مساوياً كل واحد من نظيره وذلك انه اما ان يكون مثل نصف كل واحد منهما واما مثل ثلثه واما غير ذلك من اجزايه واما التوسط الهندسى فهو متوسط فيما بين هاذين وذلك انه لا يظهر ذلك منه فى الحد الاوسط وحده ولا فى الحدين اللذين فى الطرفين وحدهما لكن فى الاوسط وفى الطرفين معا وقد يعرض لهذا

التوسط عرض اخر خاص وهو ان الحدين منه اللذين فى الطرفين اذا جمعا وضربا فى الحد الاوسط كان ما يجتمع من ذلك ضعف المجتمع من ضرب الطرفين احدهما فى الاخر وانما سمى هذا الجنس من التوسط تاليفاً لان التوسط العددى انما يقاس من جهة الكمية فكان الامر فيه من هذا الوجه عايداً على المساواة اذا اخذت ابعاد ما بين حدوده فى المقدار واما التوسط الهندسى فان القياس الماخوذ فيه انما هو قياس من جهة كيفية الاضافة وفيها يوجد تساوى القياس فيما بين حدوده واما هذا التوسط التاليفى فان القياس فيه قياس فى الكيفية الا ان ذلك على انواع مختلفة وذلك انه ليس انما يكون ذلك فى الحدود وحدها ولا فى اختلافات ما بين الحدود فقط لكن بعض ذلك فى الحدود وبعضه فى اختلاف ما بين الحدود لان نسبة الجز الاعظم من حدوده الى الجز الاصغر كنسبة فضل ما بين الاعظم والذى يليه الى ما بين الاصغر وذلك الحد بعينه وعلى عكس هذا ايضا

(٢٦) وقد قلنا فيما تقدم ان علم المضاف من الاشيا الموجودة هو من قسم علم التاليف وايضا فان نسبت الاتفاقات التى فى علم الموسيقى انما توجد خاصة فى هذا التوسط الذى ذكرنا اما الاتفاق الذى باربع الذى هو كالاصل فان نسبته نسبة المثل والثلث كنسبة الاربعة الى الثلثة اللذين هما حدان من حدود هذا التوسط فى المثال الذى وضعناه له اذا اجرى امره على نسبة الضعف وهما ايضا اختلافان من الاختلافات التى من حدوده فى المثال الذى وضعناه له اذا اجرى امره على نسبة الثلثة الامثال وذلك ان العددين اللذين ذكرناهما هما زيادة الستة على الاثنين وزيادة ايضا على الثلثة ويتلو هذا الاتفاق الذى ذكرنا الاتفاق الذى بخمس الذى نسبته نسبة المثل والنصف التى هى نسبة الثلثة الى الاثنين او الستة الى الاربعة اذا قيس حد من هذه الحدود حدا ويتلو هذين الاتفاقين بعدهما الاتفاق المساوى لهما اذا جمعا وهو الاتفاق الذى بالكل الذى نسبته نسبة الضعف التى هى كنسبة الستة الى الثلثة من المثالين جميعا اللذين وضعناهما اتفاق الاتفاق الذى بعد هذا وهو الذى بالكل والخمس والذى نسبته نسبة الثلثة الامثال وهو من اجتماع الضعف

مع المثل والنصف ونسبته نسبة الستة الى الاثنين من المثال الذى وضعناه على سبيل نسبة الثلثة الامثال وكنسبة الاختلاف ايضا الى الاختلاف فى هذا المثال بعينه واما فى المثال الذى وضعناه على سبيل الضعف فانه يكون كنسبة الحد الاعظم الى اختلاف ما بينه وبين الحد الاوسط وكنسبة اختلاف ما بين الطرفين الى اختلاف ما بين الحدين الاصغرين واما الاتفاق الاخير الاعظم الذى يقال له اتفاق ضعف الذى بالكل وهو الضعف اذا اخذ مرتين ونسبته نسبة الاربعة الامثال فان نسبته كنسبة الحد الاوسط من المثال الذى وضعناه على سبيل الضعف الى اختلاف الاصغر وكنسبة اختلاف ما بين الطرفين من المثال الذى اتينا به على نسبة الثلثة الامثال الى اختلاف ما بين الحدين الاصغرين واما قوم من الناس فانهم ظنوا انه لما سمى هذا التوسط تاليفياً بالاتباع فى ذلك لفيلولاوس لان هذا التوسط موافق لكل تاليف هندسى انما يعنون بقولهم تاليف هندسى الشكل المكعب وذلك انه مولف من ثلثة ابعاد متساوية اذ كان مجتمعاً من شى فيما يساويه وما اجتمع فيما يساوى ذلك الشى الاول وكل شكل بالجملة فان هذا التوسط يظهر فيه وذلك ان عدد اضلاع كل مكعب يكون اثنى عشر وزواياه ثمانية وسطوحه ستة وعدد الثمانية متوسط فيما بين الاثنى عشر وبين الستة هذا الضرب من التوسط اعنى توسطاً عددياً وذلك ان نسبة الطرفين احدهما الى الاخر كنسبة اختلاف ما بين الحد الاعظم والحد الاوسط الى اختلاف ما بين الحد الاوسط والحد الاصغر وايضا فان اختلاف ما بين الحد الاوسط وبين الاعظم هو جز من اجزاويه واما صغره وعظمه من الطرفين فهو جز واحد بعينه منهما جميعاً وايضا فان الطرفين اذا جمعا وضربا فى الحد الاوسط كان ما يجتمع مثلى المجتمع من ضرب الطرفين احدهما فى الاخر والاتفاق الذى باربع نسبته نسبة الثمانية الى الستة لانها نسبة

المثل والثلث والاتفاق الذى بخمس نسبته نسبة الاثنى عشر الى الثمانية وذلك ان نسبته نسبة المثل والنصف فاما الاتفاق الذى بالكل اذ كان مثل الاتفاقين اللذين ذكرنا مجموعين وان نسبته تكون كنسبة الاثنا عشر الى الستة وذلك انها نسبة الضعف فاما الاتفاق الذى بالكل والخمس معا فان نسبته لما كانت نسبة الثلثة الامثال صارت كنسبة اختلاف ما بين الطرفين الى اختلاف ما بين الحدين الاصغرين واما اتفاق ضعف الذى بالكل فان نسبته كنسبة الحد الاوسط الى اختلاف ما بينه وبين الاصغر فبالواجب اذا سمى هذا التوسط توسطاً تاليفياً

(٢٧) وكما ان 〈فى〉 قسمة القانون من صناعة الموسيقى ايضا تمد وترا واحداً ويوضع انبوب له طول ما ويبقى الطرفان من كل واحد منهما ثابتين لا يتحركان ويتعين فيتنقل وسط ما بين الطرفين اما فى الانابيب فبالثقب التى فيها واما فى الاوتار فبالحاملة التى تكون تحتها وتكون من ذلك الثلثة الاجناس التى ذكرنا انفاً من اجناس التوسط وهو التوسط العددى والتوسط الهندسى والتوسط التاليفى فسمى كل واحد منهما توسطا من معنى مفهوم واجب اذ كانت تكون عن تغير موضع الحد الاوسط وانتقاله كذلك ايضا يكون الحال فى الاعداد متى وضع حدان من الاعداد اما فرادان جميعاً واما زوجان فانه قد يمكننا ويجب علينا ان نعلم متى اردنا كيف نترك ذينك الحدين ثابتين على امرهما غير متغيرين ونضع بينهما حداً متوسطاً لهما على كل واحد من اجناس التوسط الثلثة على حسب التوسط العددى فبان يكون الحد المتوسط الذى يزيد على احد الطرفين ويزيد هو على الطرف الاخر زيادة مساوية واما على حسب التوسط الهندسى فبان تكون نسبة ما بين الاوسط والطرفين متساوية واما على حسب التوسط التاليفى فبان تكون زيادة الاوسط على احد الطرفين وزيادة الاخر عليه مقادير تكون نسبته الى تلك الاطراف مساوية كل واحدة الى نظيرها فليكن اولاً الحدان الموضوعان اللذان نريد ان نبين كيف يحد بينهما كل واحد من الحدود المتوسط على الثلثة الاجناس

التى ذكرنا من التوسط زوجين وهما العشرة والاربعون ونطلب اولاً معرفة التوسط العددى فنجعله خمسة وعشرين ويكون خواص هذا التوسط كلها لازمة له هاهنا ايضا وذلك ان نسبة كل واحد من هذه الحدود الى نفسه كنسبة الاختلاف الى الاختلاف وذلك ان كل واحد منهما مساو لصاحبه وزيادة الحد الاعظم على الاوسط مثل زيادة الحد الاوسط على الاصغر والطرفان اذا جمعا يكونان على ضعف الاوسط والنسبة التى بين الحدود الصغار اعظم نمن النسبة التى بين الحدود العظام والذى يكون من ضرب الطرفين احدهما فى الاخر اقل من الذى يكون من ضرب الاوسط فى نفسه بمثل المربع الكاين من اختلافى الحدود والحد الاوسط تكون زيادته على احد الطرفين وزيادة الطرف الاخر عليه جزاً واحداً بعينه من الاوسط واما اذا قيس ذلك الاختلاف الى الطرفين ونسب اليهما فان نسبته اليهما تكون مختلفة فاما ان نحن جعلنا الحد الاوسط الداخل فيما بين الحدين الاخرين اللذين ذكرناهما اللذان هما عددان زوجان عدد العشرين فان خواص التوسط الهندسى تظهر وتبين وتبطل خواص التوسط العددى وذلك ان نسبة الحد الاعظم الى الاوسط كنسبة الاوسط الى الاصغر والذى يكون من ضرب الطرفين احدهما فى الاخر الذى يكون من ضرب الاوسط فى نفسه ونسب اختلافات حدود هذا التوسط بعضها الى بعض كنسب الحدود انفسها بعضها الى بعض ولا يكون التفاضل بين الحدود الى الزيادة والنقصان جزاً واحداً بعينه من الطرفين لكن من الحد الاوسط ومن احد الحدين اللذين عن جنبتيه ويكون النسب التى فيما بين الحدود العظام مساوية للتى فيما بين الحدود الصغار واما ان نحن جعلنا الحد الاوسط عدد الستة عشر بدل الحدين الاوسطين اللذين قدمنا ذكرهما فان خواص التوسطين الاخرين تبطل ويظهر خواص التوسط التاليفى والحدود اعداد ازواج وذلك ان نسبة الحد الاعظم الى الحد الاصغر تكون كنسبة اختلاف ما بين الحدين الاعظمين الى اختلاف ما بين الحدين الاصغرين واجزا ما ينقص الحد الاوسط عن الحد الاعظم من الحد الاعظم نفسه

مثل اجزا ما يزيد هذا الحد الاوسط على الاصغر من الاصغر والنسبة التى فيما بين الحدود العظام اعظم من غير هذا واذا جمع الحدان اللذان فى الطرفين وضربا فى الحد الاوسط كان المجتمع من ذلك مثلى ما يجتمع من ضرب الحدين اللذين فى الطرفين احدهما فى الاخر فاما ان لم نجعل حدى الطرفين عددين زوجين لكن فردين مثل الخمسة والخمسة واربعين فانا ان جعلنا الحد الاوسط خمسة وعشرين كان التوسط عددياً وسبب ذلك ان عددى الحدين اللذين عن جنبتيه يزيد على احدهما ويزيد الاخر عليه زيادتين متساويتين فيكون اختلاف ما بينهما وبينه اختلافاً واحداً واما ان جعلنا الحد الاوسط عدد الخمسة عشر فانه يكون من ذلك التوسط الهندسى فتكون نسبته اليهما نسبة الثلثة الامثال والنسبة المقابلة للثلثة الامثال واما ان جعلنا الحد الاوسط عدد التسعة فانه يكون من ذلك التوسط التاليفى وذلك ان الاجزا التى بمقدار تزيد على الحد الاصغر وهى اربعة اخماس الاصغر بمثلها من الاجزآ تنقص عن الاعظم من اجزا الاعظم وذلك انها اربعة اخماس واذا انت تاملت فى هذه الاعداد ساير خواص هذا التوسط التة قدمنا ذكرها وجدتها لازمة لها واما الطريق الصناعى الذى به توجد الحدود التى قدمنا ذكرها حتى تكون الحدود جارية على الثلثة الاصناف التى ذكرنا من تساوى القياس فهو على ما اصف اما التوسط العددى فانك تجده فيما بين الحدين الفردين وفيما بين الحدين الزوجين اللذين قدمنا ذكرهما بان نجمع ذينك الحدين اللذين هما الطرفان وناخذ نصفهما فنجعله حداً متوسطاً بينهما او ناخذ نصف فضل ما بين الحد الاعظم والحد الاصغر فنزيد〈ه〉 على الاصغر فيكون من ذلك الحد الاوسط واما التوسط الهندسى فانك تجده بان تضرب حدى الطرفين احدهما فى الاخر

وتاخذ جذر ما اجتمع فتجعله حداً متوسطاً او اطلب الحد الذى يقسم نسبة احد الطرفين الى الاخر نسبتين متساويتين فاجعله حداً متوسطاً [او ooo اطلب الحد الذى يقسم نسبة احد الطرفين ooo] مثل نسبة الاربعة الامثال التى تنقسم الى الضعف واما التوسط التاليفى فانك تجده بان تاخذ فضل ما بين الطرفين فتضربه فى الحد الاصغر فما اجتمع قسمته على الحد الاعظم والاصغر مجموعين فما خرج من القسمة زدته على الاصغر فما اجتمع فهو متوسط ما بين ذينك الحدين على السبيل التاليفية

(٢٨) فهذا ما قدرنا ان نقول فى الثلثة الاصناف من تساوى القياس التى ذكرها القدمآ وانما اطلنا القول فى عملها وشرحناه لانا نجد ذكرها فى كتب القدماً ذكراً كثيراً مفصلاً واما اصناف التوسط التى تتلو هذه فان القدمآ انما ذكروها ذكراً ناقصاً ليس الكثير وانما وجدناها نحن باعتبارنا وعلمنا الوجه فى حسابها واذا نحن رتبناها وجدناها مقابلة للثلث التوسطات التى بينا ذكرها وانها كالاساس لها وعنها اخذت ومراتبها كمراتبها اما التوسط الرابع وهو الذى يسمى المقابل وذلك انه مقابل للتوسط التاليفى ومكاف له فانه يكون متى كانت ثلثة حدود وكانت نسبة الاعظم منها الى الاصغر كنسبة فضل ما بين الحدين الاصغرين 〈الى〉 فضل ما بين الحدين الاعظمين مثل الثلثة والخمسة والستة وذلك ان النسب التى ذكرنا فى هذه الاعداد هى نسبة الضعف ومن البين ان هذا التوسط يخالف التوسط التاليفى ويضاده على التمام وذلك انه اذا كان الطرفان فى هذين التوسطين جميعاً مشتركين وكانت نسبة احدهما الى الاخر نسبة الضعف فان التوسط الذى قبل هذا كانت توجد فيه هذه النسبة بعينها كنسبة فضل ما بين الحدين الاعظمين من حدوده الى فضل ما بين الحدين الاضغرين منها واما فى هذا التوسط فان هذه النسبة توجد على عكس ذلك اعنى ان النسبة التى ذكرنا تكون كنسبة فضل ما بين الحدين الاصغرين الى فضل ما بين الحدين الاعظمين ومما يخص ذلك ايضا ان يكون

المجتمع من ضرب الحد الاعظم فى الحد الاوسط مثلى المجتمع من ضرب الحد الاوسط فى الحد الاصغر وذلك ان الثلثة خمس مرات ضعفه الخمسة ست مرات واما التوسطان الاخران وهما الخامس والسادس فانما اخذا جميعاً من التوسط الهندسى والفرق بينهما ان التوسط الخامس يكون اذا كانت ثلثة حدود وكانت نسبة الاوسط منها الى الاصغر كنسبة فضل ما بين الاعظم والاوسط مثل اعداد الاثنين والاربعة والخمسة وذلك ان الاربعة ضعف الاثنين وهذه هى نسبة الحد الاوسط الى الحد الاصغر والاثنان ايضا ضعف الواحد والاثنان هما فضل ما بين الحدين الاصغرين والواحد فضل ما بين الحدين الاعظمين والشى به صار هذا التوسط مضاداً للتوسط الهندسى هو ان التوسط الهندسى كانت تكون فيه نسبة الحد الاوسط الى الحد الاصغر كنسبة فضل ما بين الحدين الاعظمين الى فضل ما بين الحدين الاصغرين واما فى هذا التوسط فان النسبة التى ذكرنا تكون كنسبة فضل ما بين الحدين الاصغرين الى فضل ما بين الحدين الاعظمين وقد يخص ذلك ايضا هاهنا ان يكون المجتمع من ضرب الاعظم فى الاوسط ضعف المجتمع من ضرب الاعظم فى الاصغر وذلك ان الاربعة خمس مرات ضعف الاثنين خمس مرات واما التوسط السادس فانه يكون اذا كانت ثلثة حدود وكانت نسبة الحد الاعظم منها الى الحد الاوسط كنسبة فضل ما بين الاوسط والاصغر الى فضل ما بين الاعظم والاوسط مثل الواحد والاربعة والستة وذلك ان كل واحد من النسبتين اللتين ذكرنا هى نسبة المثل والنصف وهاهنا ايضا سبب به وجب ان يكون هذا التوسط مضاداً للتوسط الهندسى وهو ان شابه النسب ينعكس هاهنا ايضا كما انعكس فى التوسط الخامس فهذه هى الستة التوسطات التى ذكرنا انفاً اما الثلثة منها فهى التى بمنزلة الاساس وهى التى تادت منذ زمان فيثاغورس الى زمان

ارسطوطاليس وافلاطون واما الثلثة الاخر المضادة لهذه فان المستعملين لها كانوا من وضع الكتب من بعدها ولا من العلمآ واصحاب الكلام وهاهنا اربع توسطات اخر وجدها قوم وهى مخالفة فى حدودها وفى اختلاف ما بين حدودها لتلك المتقدمة ولا يكاد ان توجد كثيراً فى كتب القدمآ لكن هاولاى اللذين ذكرنا غاصوا فى طلبها وليلا تكون لنا غير معلومة فانا نذكرها بهذا الذكر فنقول ان اولها وهو التوسط السابع من التوسطات كلها يكون متى كانت نسبة الحد الاعظم الى الاصغر كنسبة فضل ما بين هذين الحدين الى فضل ما بين الحدين الاصغرين مثل التسعة والثمانية والستة وذلك ان كل واحدة من النسبتين اللتين ذكرنا تكون هاهنا نسبة المثل والنصف واما التوسط الثامن الذى هو الثانى من هذه الاربعة الاواخر فانه يكون متى كانت نسبة الحد الاعظم الى الحد الاصغر كنسبة اختلاف ما بين الطرفين الى اختلاف ما بين الحدين الاعظمين مثل الستة... والتسعة وهذا التوسط الذى ذكرناه توجد فيه النسبتان اللتان وصفنا تسمى المثل والنصف ايضا واما التوسط التاسع من الجميع وهو الثالث من التى وجدت اخيراً فانه يكون متة كانت ثلثة حدود وكانت نسبة الحد الاوسط منها الى الحد الاصغر كنسبة فضل ما بين حدى الطرفين الى فضل ما بين الحدين الاصغرين مثل الاربعة والستة والسبعة [واما التوسط العاشر من الجميع وهو الرابع من التوسطات التى وضعها من كان من بعد القدمآ فانه يكون متى كانت ثلثة حدود وكانت نسبة الحد الاوسط منها الى الاصغر كنسبة فضل ما بين الحدين الاصغرين مثل الاربعة والستة والسبعة] واما التوسط العاشر من الجميع وهو الرابع من التوسطات التى وضعها من كان بعد القدمآ فانه يكون متى كانت ثلثة حدود وكانت نسبة الحد الاوسط منها الى الاصغر كنسبة فضل ما بين حدى الطرفين الى فضل ما بين الحدين الاعظمين مثل الثلثة والخمسة والثمانية وذلك ان كل واحدة من النسبتين

اللتين وصفنا تكون هاهنا مثلا وثلثين وينبغى ان نضع هاهنا حدوداً تكون مثالات للتوسطات العشرة مجموعة فى مكان واحد وهى هذه

مثال التوسط الاول	احد	اثنان	ثلثة
مثال التوسط الثانى	احد	اثنان	اربعة
والتوسط الثالث	اثنان	ثلثة	ستة
والتوسط الرابع	ثلثة	خمسة	ستة
والتوسط الخامس	اثنان	اربعة	خمسة
والتوسط السادس	احد	اربعة	ستة
والتوسط السابع	ستة	ثمانية	تسعة
والتوسط الثامن	ستة	سبعة	تسعة
والتوسط التاسع	اربعة	ستة	سبعة
والتوسط العاشر	ثلثة	خمسة	ثمانية

(٢٩) وقد بقى علينا الان ان نبين امر التوسط التام الذى هو ذى ثلثة ابعاد وهو التوسط الجامع النافع فى معرفة صناعة الموسيقى وعلم الطبيعة وهو التوسط الذى بالاستحقاق وعلى ما كان يجب سميناه التاليفى دون الثانية اذ كان هذا التوسط ليس مجراه مجرى الاعداد المسطحة الذى يقع فيما بينها عدد واحد متوسط على توال من النسبة لكن من التى يقع فيما بينهما عددان فهى بهذا السبب ذوات ثلثة ابعاد كما انا بينا قبيل ان المكعب يوجد فيه التوسط التاليفى فاذا كان حدان وكان كل واحد منهما ذا ثلثة ابعاد ان كانا من التى تجتمع من ضرب شى فيما يساويه [وما اجتمع] وما اجتمع فيما يساوى الاول حتى يكونا جميعاً مكعبين فان كانا من التى تجتمع من ضرب شى فيما يساويه وما اجتمع فيما لا يساوى الاول

حتى يكون شكلهما الشكل الذى يقال له دوقيدس او الذى يقال له الملبن وان كانا من التى تجتمع من ضرب شى فيما لا يساويه وما اجتمع فيما لا يساوى الاولين حتى 〈يكون〉 شكلهما الشكل الذى يقال له يقالينوس وكان فيما بين الحدين اللذين ذكرنا حدان اخران من جنسهما وكانا مناسبين لهما على جهة الابدال او على غير الابدال وكان احد الحدين المتوسطين يتم منه مع الحدين الاولين توسط تاليفى فان الحد الاخر منهما يتم منه مع الحدين الاولين توسط عددى ومن ضرورة متى وضعت هذه الاربعة الحدود هذا الوضع ان يظهر التوسط الهندسى 〈و〉يكون عن تركيب التوسطين الاخرين اللذين ذكرنا وذلك يكون متى نسبت الحد الاعظم من هذه الحدود الى الحد الثالث منها فوجدنا نسبته اليه كنسبة الحد الثانى الذى دون الاول الى الحد الرابع وان الامر متى كان كذلك صار المجتمع من ضرب العددين الاوسطين احدهما فى الاخر مثل المجتمع من ضرل الطرفين احدهما فى الاخر وايضا فانه متى وجد فضل ما بين الحد الاعظم وبين الحد الذى دونه مساوياً لفضل ما بين ذلك الحد الاصغر كان ذلك توسطاً عددياً ومتى جمع الطرفان كانا ضعف الحد الاوسط وان كانت زيادة الحد الاوسط على احد الطرفين وزيادة الطرف الاخر عليه جزاً واحداً بعينه من الطرفين كان ذلك توسطاً تاليفياً والذى يكون من ضرب الحد الاوسط فى احد الطرفين مجموعين وهو ضعف المجتمع من ضرب الطرفين احدهما فى الاخر ونجعل مثال ما قلنا هذه الاعداد و ح ط يب واما عدد الستة منها فشكله شكل الذى يقال له سقالينوس وهو المختلف الاضلاع اذ كان مجتمعاً من ضرب الواحد فى الاثنين فى الثلثة واما عدد الاثنى عشر فانه مجتمع من عدد الاثنين الذى يتلو الواحد فى الاثنين فى الثلثة واما العددان الاوسطان فان الاصغر منهما يجتمع من ضرب الواحد فى الاثنين

ثم فى الاربعة واما الاعظم منهما فانه يجتمع من ضرب الواحد فى الثلثة ثم فى ثلثة فالحدان اللذان فى الطرفين هما عددان مجسمان ذوا ثلثة ابعاد والحدان المتوسطان فيما بينهما ايضا مجانسان لهما وهذه الحدود على سبيل التوسط الهندسى يكون نسبة الحد منها الاعظم وهو الاثنى عشر الى الثمانية كنسبة التسعة الى الستة واما على سبيل التوسط العددى فان زيادة الاثنا عشر منها على التسعة مثل زيادة التسعة على الستة واما على سبيل التوسط التاليفى فان جز عدد الستة الذى بمثله يزيد عليه عدد الثمانية مثل جز عدد الاثنا عشر الذى بمثله يزيد على الثمانية وايضا فان نسبة الثمانية الى الستة ونسبة الاثنا عشر الى التسعة هى نسبة الاتفاق الذى باربع التى هى نسبة المثل والثلث واما نسبة التسعة الى الستة ونسبة الاثنى عشر الى الثمانية فهى نسبة الاتفاق الذى بخمس التى هى نسبة المثل والنصف واما نسبة الاثنا عشر الى الستة فانها نسبة الاتفاق الذى بالكل التى هى نسبة الضعف وتبقى نسبة التسعة الى الثمانية التى تخص باسم المدة ونسبتها نسبة المثل والثمن التى هى بمنزلة مقدار مشترك يقدر به جميع النسب التى فى الموسيقى وهى نسبة بينة معروفة اذ كانت فضل ما بين الاتفاقين الاولين الاصليين ففيها قد قلنا ما يكتفى به فى امر الاعداد وما يظهر ويعرض فيها اذ كان غرضنا فى ذلك ان نصفه على سبيل المدخل والابتدآ ن

تمت المقالة الثانية من كتاب المدخل الى علم العدد الذى وضعه نيقوماخس الجاراسينى من شيعة فوثاغورس مما ترجمه ثابت ابن قرة وهو الكتاب المسمى بالارثماطيقى وبتمامها تم الكتاب والحمد لله كثيراً كما هو اهله ومستحقه والصلاة على محمد نبيه وعلى اله وسلم